[Analisi 2] Dimostrare che non è iniettiva

[dan952]

Sia $f: RR^2 \mapsto RR$ un campo scalare di classe $C^1$. Dimostrare che $f$ non è iniettiva.

[Rigel1]

Dalla formula di coarea (che vale per \(f\) Lipschitziana), si ha che
\[
\int_A | Df(x)|\, dx = \int_{\mathbf{R}} \mathcal{H}^1 (A\cap f^{-1}(y))\, dy
\]
per ogni \(A\subset\mathbf{R}^2\) misurabile e limitato.
Se supponiamo per assurdo \(f\) iniettiva, si ha \( \mathcal{H}^1 (A\cap f^{-1}(y)) = 0\) per ogni \(y\); di conseguenza, si avrebbe \(|D f| = 0\) quasi ovunque, cioè \(f\) costante, assurdo.

[dan952]

La soluzione è sempre abbastanza meccanica ma più friendly...

[Rigel1]

Più friendly di così
Vabbé, ci riprovo.

Sia \(x_0\in\mathbf{R}^2\) un punto tale che \(\nabla f(x_0) \neq 0\). Per il teorema del Dini, in un intorno di \(x_0\) l'insieme di livello di \(f\) è una curva regolare; di conseguenza, in tal caso \(f\) non è iniettiva.
D'altra parte, se \(\nabla f\) è identicamente nullo, \(f\) è costante.

[dan952]

Si può risolvere pure con il teorema di invertibilità locale...

[Rigel1]

"dan95":Si può risolvere pure con il teorema di invertibilità locale...

Vabbé, teorema della funzione implicita e di invertibilità locale sono essenzialmente la stessa cosa.

[dan952]

E allora perché sono due teoremi diversi?

[Rigel1]

Sono essenzialmente la stessa cosa nel senso che, una volta dimostrato uno dei due, l'altro si ricava come corollario.

[dan952]

Ah ok non sapevo che si potesse ricavare dal teorema delle funzioni implicite quello di invertibilità.

[Rigel1]

Se \(f\colon \Omega\subset\mathbf{R}^n\to\mathbf{R}^n\) è una funzione \(C^1\) nell'aperto \(\Omega\), con determinante jacobiano non nullo in \(x_0\in\Omega\), ti basta applicare il teorema della funzione implicita alla funzione
\[
F(x,y) := f(x) - y
\]
nel punto \((x_0, f(x_0))\) per ottenere il teorema di invertibilità locale.