$A^\emptyset$? $\emptyset^B$?

[Sk_Anonymous]

Voglio proporre un quesito di teoria degli insiemi che mi sembra molto interessante.
Siano $A$ e $B$ due insiemi non vuoti. L'insieme $B^A$ è per definizione l'insieme di tutte le funzioni da $A$ a $B$.
Come sono fatti gli insiemi $A^\emptyset$ e $\emptyset^B$ ? (ovviamente $\emptyset$ è l'insieme vuoto)

Dò io la definizione formale di funzione. Questa definizione però dipende dalla definizione formale di relazione binaria e di dominio di una relazione, quindi devo dare prima queste due:

[*:l24ix6nh] Una relazione binaria da un insieme $X$ a un insieme $Y$ è un qualunque sottoinsieme del prodotto cartesiano $X\times Y$
[/*:m:l24ix6nh]
[*:l24ix6nh] Se $\mathcal{R}$ è una relazione binaria da $X$ a $Y$ il suo dominio è per definizione l'insieme $D(\mathcal{R})=\{x;x\in X\wedge\exists y\in Y\ [(x,y)\in\mathcal{R}\ ]\}$
[/*:m:l24ix6nh]
[*:l24ix6nh] Dati due insiemi $X$ e $Y$ una funzione $f$ da $X$ a $Y$ è una relazione da $X$ a $Y$ tale che


[*:l24ix6nh] $D(f)=X$[/*:m:l24ix6nh]
[*:l24ix6nh] $[(x,y)\in f, (x,z)\in f\ ]\Rightarrow (y=z)$[/*:m:l24ix6nh][/list:u:l24ix6nh][/*:m:l24ix6nh][/list:u:l24ix6nh]

Allora, come sono fatti $A^\emptyset$ e $\emptyset^B$ ?

[Lemniscata1]

"Dreamphiro":[quote="Lemniscata"]Come già prima nel caso dei gatti, dire che tutti gli elementi dell'insieme vuoto hanno una proprietà non significa dire che gli elementi di quell'insieme esistono e hanno tale proprietà. Significa invece che se esistono, allora devono avere tale proprietà. Quindi in realtà tale affermazione è innocua; infatti non vincola nessun oggetto ad avere quella tale proprietà, dato che nessun oggetto è elemento dell'insieme vuoto. Un'implicazione dice qualcosa sulle proprietà necessariamente soddisfatte dagli oggetti che soddisfano il suo antecedente, e solo da quelli. Quindi se, come è assunto, nessun oggetto è elemento del vuoto, ne segue che queste implicazioni apparentemente paradossali non dicono niente.

Si, appunto, sarebbe ragionevole il tuo discorso, ma ti ho fatto notare che poi posso affermare 'tutti i gatti qua dentro sono verdi' e quindi concludere, secondo il tuo ragionamento, che 'se esistono sono verdi'. Eppure prima ho dimostrato che se esistono sono bianchi.[/quote]

Ma infatti non c'è contraddizione, dal momento che ragionando in maniera analoga, anche l'implicazione contenuta nell'affermazione "tutti i gatti nella cesta sono bianchi e verdi e rossi e gialli" è vera, se la cesta non contiene gatti! Se l'antecedente non è soddisfatto da nessun oggetto, qualunque conseguente metti rende comunque l'implicazione vera, per i motivi detti prima.

Volendo, potrei sconvolgerti ancora di più: se la cesta non contiene gatti, anche l'implicazione contenuta nell'affermazione "tutti i gatti nella cesta non sono nella cesta" è vera!

[Dreamphiro]

Capito! Grazie a tutti, anche se il post non era mio ahahahahaahahaha.