$A^\emptyset$? $\emptyset^B$?
Voglio proporre un quesito di teoria degli insiemi che mi sembra molto interessante.
Siano $A$ e $B$ due insiemi non vuoti. L'insieme $B^A$ è per definizione l'insieme di tutte le funzioni da $A$ a $B$.
Come sono fatti gli insiemi $A^\emptyset$ e $\emptyset^B$ ? (ovviamente $\emptyset$ è l'insieme vuoto)
Dò io la definizione formale di funzione. Questa definizione però dipende dalla definizione formale di relazione binaria e di dominio di una relazione, quindi devo dare prima queste due:
Siano $A$ e $B$ due insiemi non vuoti. L'insieme $B^A$ è per definizione l'insieme di tutte le funzioni da $A$ a $B$.
Come sono fatti gli insiemi $A^\emptyset$ e $\emptyset^B$ ? (ovviamente $\emptyset$ è l'insieme vuoto)
Dò io la definizione formale di funzione. Questa definizione però dipende dalla definizione formale di relazione binaria e di dominio di una relazione, quindi devo dare prima queste due:
[*:l24ix6nh] Una relazione binaria da un insieme $X$ a un insieme $Y$ è un qualunque sottoinsieme del prodotto cartesiano $X\times Y$
[/*:m:l24ix6nh]
[*:l24ix6nh] Se $\mathcal{R}$ è una relazione binaria da $X$ a $Y$ il suo dominio è per definizione l'insieme $D(\mathcal{R})=\{x;x\in X\wedge\exists y\in Y\ [(x,y)\in\mathcal{R}\ ]\}$
[/*:m:l24ix6nh]
[*:l24ix6nh] Dati due insiemi $X$ e $Y$ una funzione $f$ da $X$ a $Y$ è una relazione da $X$ a $Y$ tale che
[*:l24ix6nh] $D(f)=X$[/*:m:l24ix6nh]
[*:l24ix6nh] $[(x,y)\in f, (x,z)\in f\ ]\Rightarrow (y=z)$[/*:m:l24ix6nh][/list:u:l24ix6nh][/*:m:l24ix6nh][/list:u:l24ix6nh]
Allora, come sono fatti $A^\emptyset$ e $\emptyset^B$ ?
Risposte
Da quel poco che mi ricordo di teoria degli insiemi mi sembra che
$A^\emptyset={f_\emptyset}$, dove $f_\emptyset$ è la funzione vuota (che però non mi ricordo assolutamente com'è definita
). Invece $\emptyset^B$ è vuoto se $B$ non è vuoto, mentre se $B$ è vuoto è di nuovo il singolo contenente solo la funzione vuota.
Però ti consiglio di aspettare pareri più esperti, potrei aver detto stupidaggini.
$A^\emptyset={f_\emptyset}$, dove $f_\emptyset$ è la funzione vuota (che però non mi ricordo assolutamente com'è definita
). Invece $\emptyset^B$ è vuoto se $B$ non è vuoto, mentre se $B$ è vuoto è di nuovo il singolo contenente solo la funzione vuota.Però ti consiglio di aspettare pareri più esperti, potrei aver detto stupidaggini.
Tra parentesi mi pare che proprio il fatto che $\emptyset^\emptyset=\{f_\emptyset\}$ venga preso da alcuni come una giustificazione della posizione $0^0=1$.
"Lemniscata":
Tra parentesi mi pare che proprio il fatto che $\emptyset^\emptyset=\{f_\emptyset\}$ venga preso da alcuni come una giustificazione della posizione $0^0=1$.
Noo, per favore !!! Non tirare in ballo quella storia che qui sopra ci sono state lunghissime discussioni al riguardo. Per un fatto poi assolutamente insignificante... Mah.
"dissonance":
[quote="Lemniscata"]Tra parentesi mi pare che proprio il fatto che $\emptyset^\emptyset=\{f_\emptyset\}$ venga preso da alcuni come una giustificazione della posizione $0^0=1$.
Noo, per favore !!! Non tirare in ballo quella storia che qui sopra ci sono state lunghissime discussioni al riguardo. Per un fatto poi assolutamente insignificante... Mah.[/quote]
Lungi da me l'idea di scatenare inutili guerre di religione, Dissonance!
In effetti non c'è nulla di serio, e invece c'è molto di "religioso", credo, in quello che ho scritto; non per niente sono stato attento ad usare il termine giustificazione al posto di dimostrazione. In ogni caso, l'uguaglianza insiemistica che ho scritto dovrebbe logicamente portare, passando ai cardinali, all'uguaglianza incriminata.
Quindi ora mi sorge spontanea la domanda: $0^0=1$ vale, almeno nel regno dell'aritmetica cardinale?
E se vale, dobbiamo allora dedurne che i naturali come cardinali finiti e i naturali come sottoinsieme dei reali non sono identificabili tra loro?
Chi ne sa un po' di più mi illumini, grazie.
"dissonance":Noo, per favore !!! Non tirare in ballo quella storia che qui sopra ci sono state lunghissime discussioni al riguardo. Per un fatto poi assolutamente insignificante... Mah.[/quote]Segnalo per esempio questo.
[quote="Lemniscata"]Tra parentesi mi pare che proprio il fatto che $\emptyset^\emptyset=\{f_\emptyset\}$ venga preso da alcuni come una giustificazione della posizione $0^0=1$.
$A^\emptyset$ ha un unico elemento, la funzione vuota, per ogni $A$. Se $B$ non e' vuoto, $\emptyset^B$ e' vuoto. Fine della storia.
"killing_buddha":
$A^\emptyset$ ha un unico elemento, la funzione vuota, per ogni $A$. Se $B$ non e' vuoto, $\emptyset^B$ e' vuoto. Fine della storia.
Wikipedia parte subito specificando che i due insiemi devono essere non vuoti nella definizione di funzione, quindi non dovrebbero essere vuoti entrambi gli insiemi che hai scritto? La funzione vuota non dovrebbe nemmeno essere una funzione stando alla definizione.
A quale definizione di funzione ti stai rifacendo? Una relazione R tra A e B e' una funzione quando (scrivo la definizone nella forma $p\Rightarrow q$)
\[(a\in A) \Rightarrow (\exists! \;\; b\in B : (a,b)\in R)\]
dunque se $A=\emptyset$, $a\in A$ e' sempre falsa, e l'implicazione sempre vera, per ovvi motivi ($(p\Rightarrow q)=q\vee \not p$, come saprai, e in questo caso e' uguale a 1).
Se e' B ad essere vuoto, e' $q$ ad essere sempre falsa, dunque l'implicazione non e' mai vera ($q\vee\not p=0$).
\[(a\in A) \Rightarrow (\exists! \;\; b\in B : (a,b)\in R)\]
dunque se $A=\emptyset$, $a\in A$ e' sempre falsa, e l'implicazione sempre vera, per ovvi motivi ($(p\Rightarrow q)=q\vee \not p$, come saprai, e in questo caso e' uguale a 1).
Se e' B ad essere vuoto, e' $q$ ad essere sempre falsa, dunque l'implicazione non e' mai vera ($q\vee\not p=0$).
"killing_buddha":
A quale definizione di funzione ti stai rifacendo? Una relazione R tra A e B e' una funzione quando (scrivo la definizone nella forma $p\Rightarrow q$)
\[(a\in A) \Rightarrow (\exists! \;\; b\in B : (a,b)\in R)\]
dunque se $A=\emptyset$, $a\in A$ e' sempre falsa, e l'implicazione sempre vera, per ovvi motivi ($(p\Rightarrow q)=q\vee \not p$, come saprai, e in questo caso e' uguale a 1).
Se e' B ad essere vuoto, e' $q$ ad essere sempre falsa, dunque l'implicazione non e' mai vera ($q\vee\not p=0$).
Ma ci sono relazioni sul vuoto? Prima di verificare l'implicazione non dovresti provare che esistono relazioni sul prodotto cartesiano tra il vuoto e un insieme? Comunque ho preso la definizione di Wikipedia, sulla pagina dedicata al concetto di funzione.
Qui ti volevo. Una relazione sul vuoto e' un sottoinsieme del vuoto; ce n'e' solo uno, quindi vai sul sicuro.
"killing_buddha":
Qui ti volevo. Una relazione sul vuoto e' un sottoinsieme del vuoto; ce n'e' solo uno, quindi vai sul sicuro.
Giusto! A patto che uno abbia chiaro come mai l'insieme vuoto é sottoinsieme di tutti gli insiemi e abbia un solo sottoinsieme. La storiella di negare 'scelto ogni elemento di x' e farlo diventare 'esiste almeno un x' non mi ha mai convinto in quanto sostengo che un predicato del gene non abbia senso sull'insieme vuoto che non contiene elementi. Perché se io prendo una cesta di legno vuota e affermo 'Tutti i gatti qui dentro sono bianchi' allora dovrebbe essere vera in quanto non ce ne sono. Dato che una affermazione del genere porta una informazione, dicendola a qualcuno, quest'ultimo dovrebbe concludere che nella cesta ci sono dei gatti e sono bianchi.
"Dreamphiro":
[quote="killing_buddha"]Qui ti volevo. Una relazione sul vuoto e' un sottoinsieme del vuoto; ce n'e' solo uno, quindi vai sul sicuro.
Giusto! A patto che uno abbia chiaro come mai l'insieme vuoto é sottoinsieme di tutti gli insiemi e abbia un solo sottoinsieme. La storiella di negare 'scelto ogni elemento di x' e farlo diventare 'esiste almeno un x' non mi ha mai convinto in quanto sostengo che un predicato del gene non abbia senso sull'insieme vuoto che non contiene elementi. Perché se io prendo una cesta di legno vuota e affermo 'Tutti i gatti qui dentro sono bianchi' allora dovrebbe essere vera in quanto non ce ne sono. Dato che una affermazione del genere porta una informazione, dicendola a qualcuno, quest'ultimo dovrebbe concludere che nella cesta ci sono dei gatti e sono bianchi.[/quote]
L'affermazione non può essere falsa: se lo fosse infatti, dovrebbe esistere un controesempio, ovvero un gatto non bianco dentro la cesta. Comunque la tua affermazione non dice: "Dentro la cesta ci sono dei gatti, e quelli che ci sono sono bianchi". Dice solo che se ci sono dei gatti nella cesta, allora sono bianchi. Il che è ben diverso, e prescinde assolutamente dall'esistenza effettiva di gatti nella cesta.
"Lemniscata":
[quote="Dreamphiro"][quote="killing_buddha"]Qui ti volevo. Una relazione sul vuoto e' un sottoinsieme del vuoto; ce n'e' solo uno, quindi vai sul sicuro.
Giusto! A patto che uno abbia chiaro come mai l'insieme vuoto é sottoinsieme di tutti gli insiemi e abbia un solo sottoinsieme. La storiella di negare 'scelto ogni elemento di x' e farlo diventare 'esiste almeno un x' non mi ha mai convinto in quanto sostengo che un predicato del gene non abbia senso sull'insieme vuoto che non contiene elementi. Perché se io prendo una cesta di legno vuota e affermo 'Tutti i gatti qui dentro sono bianchi' allora dovrebbe essere vera in quanto non ce ne sono. Dato che una affermazione del genere porta una informazione, dicendola a qualcuno, quest'ultimo dovrebbe concludere che nella cesta ci sono dei gatti e sono bianchi.[/quote]
L'affermazione non può essere falsa: se lo fosse infatti, dovrebbe esistere un controesempio, ovvero un gatto non bianco dentro la cesta. Comunque la tua affermazione non dice: "Dentro la cesta ci sono dei gatti, e quelli che ci sono sono bianchi". Dice solo che se ci sono dei gatti nella cesta, allora sono bianchi. Il che è ben diverso, e prescinde assolutamente dall'esistenza effettiva di gatti nella cesta.[/quote]
Va bene, allora dopo affermo 'ci sono dei gatti verdi'. Come la metti adesso?
Esistono gatti verdi" è falso. "questa cesta è vuota se esistono gatti verdi" è vero sia che la cesta sia piena sia che sia vuota.
"killing_buddha":
Esistono gatti verdi" è falso. "questa cesta è vuota se esistono gatti verdi" è vero sia che la cesta sia piena sia che sia vuota.
Uhm, va bene......
In ogni caso, queste affermazioni sull'insieme vuoto:
L'insieme vuoto é unico
L'insieme vuoto é sottoinsieme di tutti gli insiemi
Sfruttano il fatto che negando 'tutti' si ottiene 'esiste almeno un' dimenticandosi che tutti sull'insieme vuoto non ha significato, dato che non ha elementi (almeno per me).
"Dreamphiro":
[quote="killing_buddha"]Esistono gatti verdi" è falso. "questa cesta è vuota se esistono gatti verdi" è vero sia che la cesta sia piena sia che sia vuota.
Uhm, va bene......
In ogni caso, queste affermazioni sull'insieme vuoto:
L'insieme vuoto é unico
L'insieme vuoto é sottoinsieme di tutti gli insiemi
Sfruttano il fatto che negando 'tutti' si ottiene 'esiste almeno un' dimenticandosi che tutti sull'insieme vuoto non ha significato, dato che non ha elementi (almeno per me).[/quote]
L'insieme vuoto non ha elementi per definizione, quindi non solo per te, ma per chiunque. Ed è proprio questo il punto: negare che una proprietà è goduta da tutti gli elementi di un insieme significa far vedere che esiste almeno un elemento di quell'insieme che non gode di tale proprietà. Ma il vuoto non ha elementi, quindi non puoi mai esibire un tale controesempio. Ma tutto ciò non è paradossale: dire che tutti gli elementi dell'insieme vuoto soddisfano qualunque proprietà è del tutto innocuo, non dice nulla, dato che il vuoto non ha elementi.
Almeno, questo è quello che ho capito io, correggetemi se sbaglio.
"Lemniscata":
[quote="Dreamphiro"][quote="killing_buddha"]Esistono gatti verdi" è falso. "questa cesta è vuota se esistono gatti verdi" è vero sia che la cesta sia piena sia che sia vuota.
Uhm, va bene......
In ogni caso, queste affermazioni sull'insieme vuoto:
L'insieme vuoto é unico
L'insieme vuoto é sottoinsieme di tutti gli insiemi
Sfruttano il fatto che negando 'tutti' si ottiene 'esiste almeno un' dimenticandosi che tutti sull'insieme vuoto non ha significato, dato che non ha elementi (almeno per me).[/quote]
L'insieme vuoto non ha elementi per definizione, quindi non solo per te, ma per chiunque. Ed è proprio questo il punto: negare che una proprietà è goduta da tutti gli elementi di un insieme significa far vedere che esiste almeno un elemento di quell'insieme che non gode di tale proprietà. Ma il vuoto non ha elementi, quindi non puoi mai esibire un tale controesempio. Ma tutto ciò non è paradossale: dire che tutti gli elementi dell'insieme vuoto soddisfano qualunque proprietà è del tutto innocuo, non dice nulla, dato che il vuoto non ha elementi.
Almeno, questo è quello che ho capito io, correggetemi se sbaglio.[/quote]
Per me non ha semplicemente senso, appunto dato che prima di dire che tutti gli elementi godono di una certa proprietà, come minimo uno si aspetta che tali elementi ci siano. Altrimenti, su cosa parleremmo?
Come già prima nel caso dei gatti, dire che tutti gli elementi dell'insieme vuoto hanno una proprietà non significa dire che gli elementi di quell'insieme esistono e hanno tale proprietà. Significa invece che se esistono, allora devono avere tale proprietà. Quindi in realtà tale affermazione è innocua; infatti non vincola nessun oggetto ad avere quella tale proprietà, dato che nessun oggetto è elemento dell'insieme vuoto. Un'implicazione dice qualcosa sulle proprietà necessariamente soddisfatte dagli oggetti che soddisfano il suo antecedente, e solo da quelli. Quindi se, come è assunto, nessun oggetto è elemento del vuoto, ne segue che queste implicazioni apparentemente paradossali non dicono niente.
"Lemniscata":
Come già prima nel caso dei gatti, dire che tutti gli elementi dell'insieme vuoto hanno una proprietà non significa dire che gli elementi di quell'insieme esistono e hanno tale proprietà. Significa invece che se esistono, allora devono avere tale proprietà. Quindi in realtà tale affermazione è innocua; infatti non vincola nessun oggetto ad avere quella tale proprietà, dato che nessun oggetto è elemento dell'insieme vuoto. Un'implicazione dice qualcosa sulle proprietà necessariamente soddisfatte dagli oggetti che soddisfano il suo antecedente, e solo da quelli. Quindi se, come è assunto, nessun oggetto è elemento del vuoto, ne segue che queste implicazioni apparentemente paradossali non dicono niente.
Si, appunto, sarebbe ragionevole il tuo discorso, ma ti ho fatto notare che poi posso affermare 'tutti i gatti qua dentro sono verdi' e quindi concludere, secondo il tuo ragionamento, che 'se esistono sono verdi'. Eppure prima ho dimostrato che se esistono sono bianchi.
Zero e' un numero, per te? Se si', non puoi non accettare questo, oppure non puoi non accettare che stai affermando cose contraddittore.
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