VAN, Duration, convexity e immunizzazione portafoglio
Vediamo un paio di esercizi relativi a questi argomenti (possono essere di aiuto per tutti, per chi come me deve sostenere questa materia) che forse sono tra i più ostici del programma. Secondo me , si svolgono nel seguente modo.
Testo:
il signor Bianchi ha la possibilità di scegliere tra:
- Un investimento A che prevede, a fronte del versamento odierno di 120.000 euro, un incasso di 5000 euro annui per i primi 5 anni e di 7000 euro per i successivi 15:
- un investimento B che prevede, a fronte del versamento odierno di 90.000 euro, un incasso di 10000 annui euro per i primi cinque anni e di 7000 per i successivi 10 anni.
A) determinare il valore attuale al tasso del 3% per i primi 5 anni e al tasso del 5% per gli anni successivi.
B) calcolare la duration agli stessi tassi delle entrate dei due investimenti.
Risoluzione:
A) investimento a : $ -120000+25000*(1+0,03)^(-5) + 105000*(1+0,05)^(-15)=-47927,99 $
Investimento B: $ -90000+50000*(1+0,03)^(-5) + 70000*(1+0,05)^(-10)=-3895,6322 $
B) duration : $ (25000*(1+0,03)^-5 + 105000*(1+0,05)^-15)/(25000+105000)=0,5544 $
Stesso discorso per investimento B.
È corretta la mia interpretazione ?
Testo:
il signor Bianchi ha la possibilità di scegliere tra:
- Un investimento A che prevede, a fronte del versamento odierno di 120.000 euro, un incasso di 5000 euro annui per i primi 5 anni e di 7000 euro per i successivi 15:
- un investimento B che prevede, a fronte del versamento odierno di 90.000 euro, un incasso di 10000 annui euro per i primi cinque anni e di 7000 per i successivi 10 anni.
A) determinare il valore attuale al tasso del 3% per i primi 5 anni e al tasso del 5% per gli anni successivi.
B) calcolare la duration agli stessi tassi delle entrate dei due investimenti.
Risoluzione:
A) investimento a : $ -120000+25000*(1+0,03)^(-5) + 105000*(1+0,05)^(-15)=-47927,99 $
Investimento B: $ -90000+50000*(1+0,03)^(-5) + 70000*(1+0,05)^(-10)=-3895,6322 $
B) duration : $ (25000*(1+0,03)^-5 + 105000*(1+0,05)^-15)/(25000+105000)=0,5544 $
Stesso discorso per investimento B.
È corretta la mia interpretazione ?
Risposte
Altri simili:
In data 1 gennaio 2015 sono disponibili sul mercato i seguenti ZC: ZC 31 dicembre 2015 quotato 94, ZC 31 dicembre 2017 quotato 86,5 e ZC 31 dicembre 2020 quotato 81.
A)Determinate i tassi spot dei tre titoli ed i tassi forward per i periodi compresi tra le scadenze del primo e del secondo titolo e tra le scadenze del secondo e del terzo titolo.
Il signor Rossi ha l'opportunità di effettuare il seguente investimento: a fronte del versamento odierno di 100.000 euro, si prevedono un incasso di 38.000 euro alla fine del primo anno, 30.000 alla fine del terzo anno, e 35.000 alla fine del sesto anno.
B)Determinare il Valore Attuale Netto dell'investimento ai tassi corrispondenti alla struttura a termine di cui sopra;
C)Determinare la duration e la convessità agli stessi tassi dell'entrate dell'investimento.
Risoluzione:
A)Tassi Spot: $i(0,1)=(100/94)-1=6,38%$, $i(0,3)=(100/86,5)^(1/3)-1=4,95%$, $i(0,6)= (100/81)^(1/6)-1=3,57%$
Tassi Forward: $f(1,3)= [(1+0,0495)^(3)/(1+0,0638)]^(1/2)-1=4,24%$ $f(3,6)= [(1+0,0357)^(6)/(1+0,0495)^(3)]^(1/3)-1=2,20%$
B) Investimento: $-100.000 + 38.000*(1+0,0638)^(-1)+ 30.000*(1+0,0495)^(-3)+ 35.000*(1+0,0357)^(-6)=-10329,56$
C) Duration:$ [1*38.000*(1+0,0638)^(-1)+ 3*30.000*(1+0,0495)^(-3)+6*35.000*(1+0,0357)^(-6)]/103.0000$
In data 1 gennaio 2015 sono disponibili sul mercato i seguenti ZC: ZC 31 dicembre 2015 quotato 94, ZC 31 dicembre 2017 quotato 86,5 e ZC 31 dicembre 2020 quotato 81.
A)Determinate i tassi spot dei tre titoli ed i tassi forward per i periodi compresi tra le scadenze del primo e del secondo titolo e tra le scadenze del secondo e del terzo titolo.
Il signor Rossi ha l'opportunità di effettuare il seguente investimento: a fronte del versamento odierno di 100.000 euro, si prevedono un incasso di 38.000 euro alla fine del primo anno, 30.000 alla fine del terzo anno, e 35.000 alla fine del sesto anno.
B)Determinare il Valore Attuale Netto dell'investimento ai tassi corrispondenti alla struttura a termine di cui sopra;
C)Determinare la duration e la convessità agli stessi tassi dell'entrate dell'investimento.
Risoluzione:
A)Tassi Spot: $i(0,1)=(100/94)-1=6,38%$, $i(0,3)=(100/86,5)^(1/3)-1=4,95%$, $i(0,6)= (100/81)^(1/6)-1=3,57%$
Tassi Forward: $f(1,3)= [(1+0,0495)^(3)/(1+0,0638)]^(1/2)-1=4,24%$ $f(3,6)= [(1+0,0357)^(6)/(1+0,0495)^(3)]^(1/3)-1=2,20%$
B) Investimento: $-100.000 + 38.000*(1+0,0638)^(-1)+ 30.000*(1+0,0495)^(-3)+ 35.000*(1+0,0357)^(-6)=-10329,56$
C) Duration:$ [1*38.000*(1+0,0638)^(-1)+ 3*30.000*(1+0,0495)^(-3)+6*35.000*(1+0,0357)^(-6)]/103.0000$
"carlo91":
Vediamo un paio di esercizi relativi a questi argomenti (possono essere di aiuto per tutti, per chi come me deve sostenere questa materia) che forse sono tra i più ostici del programma. Secondo me , si svolgono nel seguente modo.
Testo:
il signor Bianchi ha la possibilità di scegliere tra:
- Un investimento A che prevede, a fronte del versamento odierno di 120.000 euro, un incasso di 5000 euro annui per i primi 5 anni e di 7000 euro per i successivi 15:
A) investimento a : $ -120000+25000*(1+0,03)^(-5) + 105000*(1+0,05)^(-15)=-47927,99 $
domani li guardo con calma...ma questo è già sbagliato!
l'investimento prevede un incasso di 5000 euro per i primi 5 anni....significa 5000 euro il primo anno, 5000 euro il secondo anno, 5000 euro il terzo anno, 5000 euro il quarto anno e 5000 il quinto anno....hai disegnato prima l'asse dei tempi ed attualizzato tutte le poste? no! altrimenti non avresti attualizzato 25000 per 5 anni!
qui devi ovviamente fare il valore attuale dei primi 5000 euro, il valore attuale dei 7000 per 15 anni e poi attualizzare il secondo valore attuale per i 5 anni rimanenti....
quindi il punto a) viene:
$-120.000+5000(1-1,03^(-5))/(0,03)+7000(1-1,05^(-15))/(0,05)1,05^(-5)$
Ps: dovresti cancellare il secondo esercizio e fare un altro Topic: un topic un esercizio....sempre, altrimenti è il caos (anche per altri utenti interessati al problema)
$-120.000+5000(1-1,03^(-5))/(0,03)+7000(1-1,05^(-15))/(0,05)1,05^(-5)$
Ps: dovresti cancellare il secondo esercizio e fare un altro Topic: un topic un esercizio....sempre, altrimenti è il caos (anche per altri utenti interessati al problema)
Ok, Provvedo a cancellarlo! Volevo riunirli tutti nello stesso topic visto che parliamo dello stesso argomento così da essere più organico! Comunque per quanto riguarda l'esercizio, come mai quelle operazioni? Se fa 5000 annui per 5 anni , non dovrebbero essere 25.000 come ho fatto io? Così è come se portiamo indietro solo "una quota" . Mi potresti spiegare meglio per favore ?
Credo di aver capito! l'investimento B verrà allora:
$ -90000+10000*(1-1,03^(-5))/(0,03)+ 7000*(1-1,05^(-10))/0,05*1,03^-5 $
Per un semplice motivo: rappresentando sull'asse dei tempi questo investimento, notiamo che gli incassi previsti sono 5000 euro ogni anno per i primi cinque anni, e 7000 ogni anno per i primi 10 anni. Noi siamo al tempo t=0, dove investiamo 90.000, quindi un periodo prima il primo investimento. Li trattiamo come val attuale posticipato di una rendita (quindi come una progressione geometrica) che considera tutte le poste. Tuttavia, la seconda, va scontata per gli anni rimanenti perché facendo il val attuale elevato a -10 torniamo indietro di 10 anni, ma non al tempo 0! quindi togliamo i 5 anni dei 5000 euro. Giusto?
$ -90000+10000*(1-1,03^(-5))/(0,03)+ 7000*(1-1,05^(-10))/0,05*1,03^-5 $
Per un semplice motivo: rappresentando sull'asse dei tempi questo investimento, notiamo che gli incassi previsti sono 5000 euro ogni anno per i primi cinque anni, e 7000 ogni anno per i primi 10 anni. Noi siamo al tempo t=0, dove investiamo 90.000, quindi un periodo prima il primo investimento. Li trattiamo come val attuale posticipato di una rendita (quindi come una progressione geometrica) che considera tutte le poste. Tuttavia, la seconda, va scontata per gli anni rimanenti perché facendo il val attuale elevato a -10 torniamo indietro di 10 anni, ma non al tempo 0! quindi togliamo i 5 anni dei 5000 euro. Giusto?
Non sono riuscito a cancellare il messaggio dell'altro esercizio, non compare più la X accanto. Per quanto riguarda la Duration, non si calcola allora: $Dur= (22898,536 *5 +62675,84*15)/(22898,536+62675,84)$ per il primo investimento?
Sì giusto. Però ho cambiato idea sull'ultimo fattore di attualizzazione. $1,05^(-5) $ perché è legato alla seconda parte di investimento
Magnifico, quindi conviene usare l'altro tasso. Finalmente ho un quadro più completo e credo di aver capito abbastanza bene l'argomento; disegnando l'asse dei tempi tutto risulta più immediato e semplice, magari assegnando date arbitrarie. Detto questo, la duration nel caso del primo e del secondo esercizio va bene? Come vedi, però, non sono riuscito a calcolare la convessità!
Altra domanda sempre con riferimento a quesiti del genere: se invece il testo dicesse che a fronte di un investimento di X euro, con Y euro per il primo anno e incassi crescenti in progressione (con un tasso j) per i successivi 4 anni, è il caso di utilizzare la formula per la rendita variabile in progressione geometrica? $(1-(qv)^(n))/(i-j)$? Magari lo svolgo in un altro topic, così è più ordinato
Altra domanda sempre con riferimento a quesiti del genere: se invece il testo dicesse che a fronte di un investimento di X euro, con Y euro per il primo anno e incassi crescenti in progressione (con un tasso j) per i successivi 4 anni, è il caso di utilizzare la formula per la rendita variabile in progressione geometrica? $(1-(qv)^(n))/(i-j)$? Magari lo svolgo in un altro topic, così è più ordinato
"carlo91":
Magnifico, quindi conviene usare l'altro tasso.
sul discorso di questo tasso sono un po' indeciso....lì dipende da come sono definiti i due tassi....se fossero tassi spot, dovresti usare il 5% per il secondo investimento....se fossero forward sarebbe più corretto attualizzare i primi 5 anni al 3%. Questa è una domanda che potresti porre al prof...giusto per sapere in genere come li intende....
no la duration è sbagliata!
Per calcolare facilemente duration e Convessità di consiglio di fare così:
1) Considera tutte le scadenze, diciamo $t_(i)$ e il loro quadrato $t_(i)^2$
2) Calcoli tutti i valori attuali di tutte le poste, una per una...
3) Duration: è la media aritmetica ponderata di tutte le scadenze ponderate rispetto ai valori attuali del punto 2)
4) Convexity: è la media ponderata di $t_(i)+t_(i)^2$ ponderata nel medesimo modo del punto 3)
5) Volatilità: è la duration moltiplicata per $1/(1+i)$
6) Convexity modificata: è la Convexity moltiplicata per $1/(1+i)^2$
facciamo un esempio di duration....poi lo applichi al tuo caso che è più lungo da svolgere....non sono a casa e non ho carta e penna....
supponiamo di avere un investimento che ci dà un incasso di 5 euro ogni anno per 3 anni al 10%
avremo:
$D=(1\cdot5\cdot1,1^(-1)+2\cdot5\cdot1,1^(-2)+3\cdot5\cdot1,1^(-3))/(5\cdot1,1^(-1)+5\cdot1,1^(-2)+5\cdot1,1^(-3))$
Duration modificata, ovvero volatilità= $-1/(1+i)D$
Convexity:
$C=((1+1^2)\cdot5\cdot1,1^(-1)+(2+2^2)\cdot5\cdot1,1^(-2)+(3+3^2)\cdot5\cdot1,1^(-3))/(5\cdot1,1^(-1)+5\cdot1,1^(-2)+5\cdot1,1^(-3))$
convexity modificata= $1/(1+i)^2C$
supponiamo di avere un investimento che ci dà un incasso di 5 euro ogni anno per 3 anni al 10%
avremo:
$D=(1\cdot5\cdot1,1^(-1)+2\cdot5\cdot1,1^(-2)+3\cdot5\cdot1,1^(-3))/(5\cdot1,1^(-1)+5\cdot1,1^(-2)+5\cdot1,1^(-3))$
Duration modificata, ovvero volatilità= $-1/(1+i)D$
Convexity:
$C=((1+1^2)\cdot5\cdot1,1^(-1)+(2+2^2)\cdot5\cdot1,1^(-2)+(3+3^2)\cdot5\cdot1,1^(-3))/(5\cdot1,1^(-1)+5\cdot1,1^(-2)+5\cdot1,1^(-3))$
convexity modificata= $1/(1+i)^2C$
qui ti avevo messo anche le formule,
viewtopic.php?f=24&t=153097&start=50#p957741
alla fine sono concetti molto semplici....basta fare un po' di esercizio....se hai chiaro il concetto di media ponderata non dovresti avere problemi....
l'errore che hai fatto nel calcolo della duration è di considerare le 5 poste insieme, così come le 15 successive...ma non si può, a meno di non calcolare prima la scadenza media dei due gruppi di poste....ma viene un disastro....
viewtopic.php?f=24&t=153097&start=50#p957741
alla fine sono concetti molto semplici....basta fare un po' di esercizio....se hai chiaro il concetto di media ponderata non dovresti avere problemi....
l'errore che hai fatto nel calcolo della duration è di considerare le 5 poste insieme, così come le 15 successive...ma non si può, a meno di non calcolare prima la scadenza media dei due gruppi di poste....ma viene un disastro....
per quanto riguarda la rendita con rate in progressione geomentrica la formula sintetica non me la ricordo a mente...se però il progetto ha poche poste, conviene sempre fare i conti rata per rata....come sempre....la formula sintetica solo quando hai un piano di finanziamento / investimento con molte rate, come quello di questo topic
per quanto riguarda la seconda parte, quello con i tassi spot e forward, la duration è invece corretta? visto era più elementare senza quel discorso annuale etc? comunque ora ci provo 
comunque è praticamente impossibile farlo per 15 rate, cioè verrebbe troppo lungo! posso capire le prime cinque, ma gli altri 15 anni successivi...
comunque è praticamente impossibile farlo per 15 rate, cioè verrebbe troppo lungo! posso capire le prime cinque, ma gli altri 15 anni successivi...
"carlo91":
per quanto riguarda la seconda parte, quello con i tassi spot e forward, la duration è invece corretta?
no è sbagliata!
"carlo91":
C) Duration:$ [1*38.000*(1+0,0638)^(-1)+ 3*30.000*(1+0,0495)^(-3)+6*35.000*(1+0,0357)^(-6)]/103.0000$
$ [1*38.000*(1,0638)^(-1)+ 3*30.000*(1,0495)^(-3)+6*35.000*(1,0357)^(-6)]/ [38.000*(1,0638)^(-1)+ 30.000*(1,0495)^(-3)+35.000*(1,0357)^(-6)]$
così è giusta
Convexity:
$ [1*38.000*(1,0638)^(-1)+ (3+9)*30.000*(1,0495)^(-3)+(6+36)*35.000*(1,0357)^(-6)]/ [38.000*(1,0638)^(-1)+ 30.000*(1,0495)^(-3)+35.000*(1,0357)^(-6)]$
$ [1*38.000*(1,0638)^(-1)+ (3+9)*30.000*(1,0495)^(-3)+(6+36)*35.000*(1,0357)^(-6)]/ [38.000*(1,0638)^(-1)+ 30.000*(1,0495)^(-3)+35.000*(1,0357)^(-6)]$
non ho controllato se i tassi utlizzati sono giusti...sono in viaggio, sto tornando dagli Stati Uniti....
ah ho sbagliato il denominatore!! Pardon!
Conv= $((1+1(^2)) * 38.000 * (1,0638)^(-1) + (3+3^(2))* 30.000 * (1,0495)^(-3) + (6+6^(2))* 35.000 * (1,0357)^(-6))$
Con denominatore identico alla duration! non lo ricopio
Dalla teoria ricordo che la convessità è la semielasticità di secondo ordine della variazione del valore attuale complessivo dei flussi rispetto alla variazione del tasso di interesse. Ovvero la derivata seconda della duration! Però non riuscivo a interpretare la formula
Buon rientro!
Conv= $((1+1(^2)) * 38.000 * (1,0638)^(-1) + (3+3^(2))* 30.000 * (1,0495)^(-3) + (6+6^(2))* 35.000 * (1,0357)^(-6))$
Con denominatore identico alla duration! non lo ricopio
Dalla teoria ricordo che la convessità è la semielasticità di secondo ordine della variazione del valore attuale complessivo dei flussi rispetto alla variazione del tasso di interesse. Ovvero la derivata seconda della duration! Però non riuscivo a interpretare la formula
Buon rientro!
controlla bene col prof se gli basta la convessità così come te l'ho calcolata, ovvero media delle scadenze più scadenze al quadrato, oppure se vuole l'indicatore moltiplicato per il fattore di correzione $1/(1+i)^2$. Te lo chiedo perché alcuni testi la colcolano in un modo altri, nell'altro. Se il tuo prof vuole il secondo caso occorre anche ricalcolare il TIR
"carlo91":
ah ho sbagliato il denominatore!! Pardon!
Conv= $((1+1(^2)) * 38.000 * (1,0638)^(-1) + (3+3^(2))* 30.000 * (1,0495)^(-3) + (6+6^(2))* 35.000 * (1,0357)^(-6))$
Con denominatore identico alla duration! non lo ricopio
Dalla teoria ricordo che la convessità è la semielasticità di secondo ordine della variazione del valore attuale complessivo dei flussi rispetto alla variazione del tasso di interesse. Ovvero la derivata seconda della duration! Però non riuscivo a interpretare la formula
Buon rientro!
ok così va bene....thanks...ho trovato alcuni intoppi per il disastro di Parigi di venerdì
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