VAN, Duration, convexity e immunizzazione portafoglio
Vediamo un paio di esercizi relativi a questi argomenti (possono essere di aiuto per tutti, per chi come me deve sostenere questa materia) che forse sono tra i più ostici del programma. Secondo me , si svolgono nel seguente modo.
Testo:
il signor Bianchi ha la possibilità di scegliere tra:
- Un investimento A che prevede, a fronte del versamento odierno di 120.000 euro, un incasso di 5000 euro annui per i primi 5 anni e di 7000 euro per i successivi 15:
- un investimento B che prevede, a fronte del versamento odierno di 90.000 euro, un incasso di 10000 annui euro per i primi cinque anni e di 7000 per i successivi 10 anni.
A) determinare il valore attuale al tasso del 3% per i primi 5 anni e al tasso del 5% per gli anni successivi.
B) calcolare la duration agli stessi tassi delle entrate dei due investimenti.
Risoluzione:
A) investimento a : $ -120000+25000*(1+0,03)^(-5) + 105000*(1+0,05)^(-15)=-47927,99 $
Investimento B: $ -90000+50000*(1+0,03)^(-5) + 70000*(1+0,05)^(-10)=-3895,6322 $
B) duration : $ (25000*(1+0,03)^-5 + 105000*(1+0,05)^-15)/(25000+105000)=0,5544 $
Stesso discorso per investimento B.
È corretta la mia interpretazione ?
Testo:
il signor Bianchi ha la possibilità di scegliere tra:
- Un investimento A che prevede, a fronte del versamento odierno di 120.000 euro, un incasso di 5000 euro annui per i primi 5 anni e di 7000 euro per i successivi 15:
- un investimento B che prevede, a fronte del versamento odierno di 90.000 euro, un incasso di 10000 annui euro per i primi cinque anni e di 7000 per i successivi 10 anni.
A) determinare il valore attuale al tasso del 3% per i primi 5 anni e al tasso del 5% per gli anni successivi.
B) calcolare la duration agli stessi tassi delle entrate dei due investimenti.
Risoluzione:
A) investimento a : $ -120000+25000*(1+0,03)^(-5) + 105000*(1+0,05)^(-15)=-47927,99 $
Investimento B: $ -90000+50000*(1+0,03)^(-5) + 70000*(1+0,05)^(-10)=-3895,6322 $
B) duration : $ (25000*(1+0,03)^-5 + 105000*(1+0,05)^-15)/(25000+105000)=0,5544 $
Stesso discorso per investimento B.
È corretta la mia interpretazione ?
Risposte
"tommik":
controlla bene col prof se gli basta la convessità così come te l'ho calcolata, ovvero media delle scadenze più scadenze al quadrato, oppure se vuole l'indicatore moltiplicato per il fattore di correzione $1/(1+i)^2$. Te lo chiedo perché alcuni testi la colcolano in un modo altri, nell'altro. Se il tuo prof vuole il secondo caso occorre anche ricalcolare il TIR
Mamma mia che casino!
allora dalle slide del prof, la convessità ha questa formula:
$ (V(i))/(V(i))=(sum^(k =1 \ldots) xtk*-(tk)*(-tk-1)*(1+i)^(-tk-2))/(sum(xtk*(1+i)^(-tk)) $
dove la v al numeratore è la derivata seconda ma non sapevo come inserire il simbolo.. pressoché è quella
come casino? a me è chiarissimo!
solo che invece di scrivere $(t+t^2)$ ha scritto $-t(-t-1)$ perché l'ha calcolata, giustamente, facendo la derivata seconda del VAN...cosa che potresti fare anche tu, per esercizio. Quindi vuole anche il fattore di correzione $1/(1+i)^2$. lo capisci perché al numeratore c'è anche un $-2$ all'esponente che invece al denominatore non c'è
Quindi per calcolare la convexity, prima ti calcoli il tasso medio dell'investimento. Poi calcoli la convexity come ti ho detto io ed infine moltiplichi il tutto per $1/(1+i)^2$
PS: la formula del tuo prof è la più corretta
solo che invece di scrivere $(t+t^2)$ ha scritto $-t(-t-1)$ perché l'ha calcolata, giustamente, facendo la derivata seconda del VAN...cosa che potresti fare anche tu, per esercizio. Quindi vuole anche il fattore di correzione $1/(1+i)^2$. lo capisci perché al numeratore c'è anche un $-2$ all'esponente che invece al denominatore non c'è
Quindi per calcolare la convexity, prima ti calcoli il tasso medio dell'investimento. Poi calcoli la convexity come ti ho detto io ed infine moltiplichi il tutto per $1/(1+i)^2$
PS: la formula del tuo prof è la più corretta
"carlo91":
$ (sum_(k )(-t_(k)*(-t_(k)-1)) x_(t_(k))(1+i)^(-tk-2))/(sumx_(t_(k))*(1+i)^(-tk) $
dove la v al numeratore è la derivata seconda ma non sapevo come inserire il simbolo.. pressoché è quella
te l'ho scritta meglio...così è corretta.
Mm. Va bene appena posso provo.. Il denominatore resta identico praticamente . Per tasso medio del'investimento cosa intendiamo ?
il tasso medio è quello che uguaglia il valore attuale dell'investimento....ma in questo caso ne possiamo fare a meno. Basta utilizzare la formula che ha messo il tuo prof sulle slide....e fai in un attimo
$(38\cdot1,0638^(-3)+(3+9)30\cdot1,0495^(-5)+(6+36)35\cdot1,0357^(-8))/(38\cdot1,0638^(-1)+30\cdot1,0495^(-3)+35\cdot1,0357^(-6))$
dato che le rate sono sia al numeratore che al denominatore si può dividere per 1000.
dimentica il discorso del tasso medio; si usa quando il tasso è sempre lo stesso...allora si calcola la scadenza media di $(t+t^2)$ e poi si moltiplica per $1/(1+i)^2$
Con la formula che hai visto sulle slide risolvi subito e senza problemi.
In realtà la convexity è solo un indicatore, quindi ne esistono varie versioni, tutte accettabili
$(38\cdot1,0638^(-3)+(3+9)30\cdot1,0495^(-5)+(6+36)35\cdot1,0357^(-8))/(38\cdot1,0638^(-1)+30\cdot1,0495^(-3)+35\cdot1,0357^(-6))$
dato che le rate sono sia al numeratore che al denominatore si può dividere per 1000.
dimentica il discorso del tasso medio; si usa quando il tasso è sempre lo stesso...allora si calcola la scadenza media di $(t+t^2)$ e poi si moltiplica per $1/(1+i)^2$
Con la formula che hai visto sulle slide risolvi subito e senza problemi.
In realtà la convexity è solo un indicatore, quindi ne esistono varie versioni, tutte accettabili
ok, allora calcolare la convessità è una cavolata come la duration; questo mi rende felice 
Scherzi a parte, devo semplicemente fare la somma con i quadrati al numeratore e lasciare il denominatore come la duration, e poi il risultato ottenuto lo moltiplico per $1/(1+i)$?
Per quanto riguarda, invece, la duration relativa ai due investimenti, ho provato a calcolarla. Ma facendolo posta per posta viene un numeratore praticamente lunghissimo, del tipo:
$ Dur=(1*5000*(1+0,03)^-1+2*5000*(1+0,03)^-2+3*5000*(1+0,03)^-3+4*5000*(1+0,03)^-4+5*5000*(1+0,03)^-5+6*7000*(1+0,05)^-6+7*7000*(1+0,05)^-7+8*7000*(1+0,05)^-8)/(5000*(1+0,03)^-1+5000*(1+0,03)^-2+5000*(1+0,03)^-3+5000*(1+0,03)^-4+5000*(1+0,03)^-5+7000*(1+0,05)^-6+7000*(1+0,05)^-7+7000*(1+0,05)^-8) $ e questa è soltanto fino all'ottavo anno, continua fino a 20 anni in pratica! penso ci sarà un modo per farla più breve!
Scherzi a parte, devo semplicemente fare la somma con i quadrati al numeratore e lasciare il denominatore come la duration, e poi il risultato ottenuto lo moltiplico per $1/(1+i)$?
Per quanto riguarda, invece, la duration relativa ai due investimenti, ho provato a calcolarla. Ma facendolo posta per posta viene un numeratore praticamente lunghissimo, del tipo:
$ Dur=(1*5000*(1+0,03)^-1+2*5000*(1+0,03)^-2+3*5000*(1+0,03)^-3+4*5000*(1+0,03)^-4+5*5000*(1+0,03)^-5+6*7000*(1+0,05)^-6+7*7000*(1+0,05)^-7+8*7000*(1+0,05)^-8)/(5000*(1+0,03)^-1+5000*(1+0,03)^-2+5000*(1+0,03)^-3+5000*(1+0,03)^-4+5000*(1+0,03)^-5+7000*(1+0,05)^-6+7000*(1+0,05)^-7+7000*(1+0,05)^-8) $ e questa è soltanto fino all'ottavo anno, continua fino a 20 anni in pratica! penso ci sarà un modo per farla più breve!
"carlo91":
ok, allora calcolare la convessità è una cavolata come la duration; questo mi rende felice
Scherzi a parte, devo semplicemente fare la somma con i quadrati al numeratore e lasciare il denominatore come la duration, e poi il risultato ottenuto lo moltiplico per $1/(1+i)$?
no. in tale caso devi moltiplicare per $1/(1+i)^2$..tale formula funziona solo se il tasso non cambia. Ti consiglio quindi di usare la formula del prof che ti ho anche tradotto in numeri.....dove:
il denominatore è lo stesso della duration (ed è il VAN!!!)
al numeratore abbiamo i numeri di cui fare la media, ovvero la somma delle durate più le durate al quadrato ma pesate con il valore delle poste attualizzato DUE PERIODI IN PIU'
"carlo91":
Per quanto riguarda, invece, la duration relativa ai due investimenti, ho provato a calcolarla. Ma facendolo posta per posta viene un numeratore praticamente lunghissimo, del tipo:
$ Dur=(1*5000*(1+0,03)^-1+2*5000*(1+0,03)^-2+3*5000*(1+0,03)^-3+4*5000*(1+0,03)^-4+5*5000*(1+0,03)^-5+6*7000*(1+0,05)^-6+7*7000*(1+0,05)^-7+8*7000*(1+0,05)^-8)/(5000*(1+0,03)^-1+5000*(1+0,03)^-2+5000*(1+0,03)^-3+5000*(1+0,03)^-4+5000*(1+0,03)^-5+7000*(1+0,05)^-6+7000*(1+0,05)^-7+7000*(1+0,05)^-8) $ e questa è soltanto fino all'ottavo anno, continua fino a 20 anni in pratica! penso ci sarà un modo per farla più breve!
beh lunghissimo..è una media di 20 numeri...altre formule riassuntive si possono trovare ma ti confondi le idee
certo che tu per scrivere $5\cdot1,05^(-2)$ scrivi $5000\cdot(1+0,05)^(-2)$ certo che ti allunghi il brodo...
non dico che sia immediato ma con excel ci ho messo non più di 30 secondi...per fare un piano di ammortamento arrivo anche a 45....secondi 
. Senza utilizzare fogli elettronici è un calcolo che, con una buona calcolatrice finanziaria (che sicuramente avrai 
), lo fai in un paio di minuti....considerando anche il tempo per ragionare e scrivere la formula su un pezzo di carta...
. Senza utilizzare fogli elettronici è un calcolo che, con una buona calcolatrice finanziaria (che sicuramente avrai ), lo fai in un paio di minuti....considerando anche il tempo per ragionare e scrivere la formula su un pezzo di carta...
Mi piace quello schema, la imposterò così! Ok ho capito praticamente tutto , preferisco questi piuttosto che le rendite ahaha grazie mille!
"carlo91":
Mi piace quello schema, la imposterò così! Ok ho capito praticamente tutto , preferisco questi piuttosto che le rendite ahaha grazie mille!
...e ovviamente ne puoi fare uno simile per la Convexity
l'ho fatto in fretta e furia....mentre faccio anche altro...spero di non aver fatto qualche errorino....ma direi che va bene
certo, con le dovute modifiche! Riepilogando, per esempio nel caso del secondo investimento, verrebbe così:
Van= $ -90.000+10.000*(1-(1,03)^-5)/(0,03)+7.000*(1-(1,05)^-10)/(0,05)*(1,05)=-1851,65 $
Duration:
Per quanto riguarda, invece, la convexity del secondo esercizio:
Conv= $ ((1+1^2)*38.000*1,0638^-3+(3+3^2)*30.000*1,0495^-5+(6+6^2)*35.000*1,0357^-8)/(38.000*1,0638^-1+30.000*1,0495^-3+35.000*1,0357^-6)$
giusto?
Mentre:
Dur= $ (1*1,0638^-1*38.000+3*1,0495^-3*30.000+6*1,0357^-6*35.000)/(38.000*1,0638^-1+30.000*1,0495^-3+35.000*1,0357^-6) $
Van= $ -90.000+10.000*(1-(1,03)^-5)/(0,03)+7.000*(1-(1,05)^-10)/(0,05)*(1,05)=-1851,65 $
Duration:
Per quanto riguarda, invece, la convexity del secondo esercizio:
Conv= $ ((1+1^2)*38.000*1,0638^-3+(3+3^2)*30.000*1,0495^-5+(6+6^2)*35.000*1,0357^-8)/(38.000*1,0638^-1+30.000*1,0495^-3+35.000*1,0357^-6)$
giusto?
Mentre:
Dur= $ (1*1,0638^-1*38.000+3*1,0495^-3*30.000+6*1,0357^-6*35.000)/(38.000*1,0638^-1+30.000*1,0495^-3+35.000*1,0357^-6) $
mmmmhh vista così la Convexity già non mi piace...$1+2=3$ perché hai messo esponente $=-2$ nel primo termine del numeratore?
la formula te l'avevo già scritta ieri:
"tommik":
$(38\cdot1,0638^(-3)+(3+9)30\cdot1,0495^(-5)+(6+36)35\cdot1,0357^(-8))/(38\cdot1,0638^(-1)+30\cdot1,0495^(-3)+35\cdot1,0357^(-6))$
ops hai ragione! ho sbagliato!
la duration è giusta...ma viene 6,38....non puoi arrotondare a 6 
...e se dovessi calcolare la volatilità?
beh direi che stiamo migliorando no?
ora devi fare bene attenzione all'uso delle formule sintetiche (che onestamente ti sconsiglio, a meno che tu non abbia un progetto con 20 rate o più...)
devi studiare bene le varie parti teoriche, ammort francese, americano, italiano e fare esempi....
direi che più o meno ci siamo
ora devi fare bene attenzione all'uso delle formule sintetiche (che onestamente ti sconsiglio, a meno che tu non abbia un progetto con 20 rate o più...)
devi studiare bene le varie parti teoriche, ammort francese, americano, italiano e fare esempi....
direi che più o meno ci siamo
"tommik":
beh direi che stiamo migliorando no?
ora devi fare bene attenzione all'uso delle formule sintetiche (che onestamente ti sconsiglio, a meno che tu non abbia un progetto con 20 rate o più...)
devi studiare bene le varie parti teoriche, ammort francese, americano, italiano e fare esempi....
direi che più o meno ci siamo
direi di sì! le formule sintetiche preferisco evitarle se posso, tranne in alcuni dove risultano più semplici da applicare; per quanto riguarda i vari ammortamenti e la teoria in generale l'ho studiata praticamente tutta, tranne qualcosina da completare. Gli ammortamenti sono semplici: francese rata costante (si tratta come il val.posticipato di una rendita), italiano quota costante (C/n), tedesco una variante delle prime due dove gli interessi vengono corrisposti anticipatamente all'inizio di ciascun periodo, per cui usiamo il tasso di sconto d (infatti per l'equivalenza finanziaria gli interessi anticipati corrispondono a quelli posticipati attualizzati), americano abbiamo un fondo dove le quote capitale anziché essere messe a disposizione del creditore, vengono poste in questo fondo e ivi lasciate maturare fin quando il montante - dopo gli n periodi del prestito- eguaglia il capitale prestato C; oltre a questo saranno versati interessi C*i. si trova con Q ed S figurato.
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