Multifunzioni di migliore risposta
Salve devo trovare le multifunzioni di miglior risposta per il giocatore 1 e 2 e gli eventuali ed. Nash,avendo le seguenti funzioni: $f1(x,y) = -(x-1)^2 + 4xy$ e $f2(x,y)= -xy$ con $S1 = [0,1]$ e $S2 = [-1.1]$. Io ho svolto l'esercizio ma mi trovo dinanzi a diversi dubbi e speravo di risolverli e per questo vi dico un pò come ho proceduto... per il I giocatore ho 3 casi, nel primo caso la miglior risposta è 0 con $y \in [-1,-1/2]$, nel 2° $2y+1$ con $y \in [-1/2,0]$ e nel 3° è 1 con $y \in [ 0,1]$ ora purtroppo il grafico non riesco a metterlo. Nel giocatore 2 iniziano i maggiori dubbi!! anche qui ho 3 casi: 1° x>0 mi trovo 1 con $ \in x[0,1]$; 2° x<0 trovo che x appartiene al vuoto ; 3° x=0 è una costante per tutto l'intervallo [0,1]. Sapreste dirmi se e/o dove ho sbagliato? grazie
[mod="Fioravante Patrone"]Ho "editato" il messaggio, con la speranza di migliorarne la leggibilità.
Ricopio sotto il messaggio come era, nel caso avessi preso delle cantonate.[/mod]
Salve devo trovare le multifunzioni di miglior risposta per il giocatore 1 e 2 e gli eventuali ed. Nash,avendo le seguenti funzioni: f1(x,y) = -(x-1)^2 + 4xy e f2(x,y)= -xy con S1[0,1] e S2[-1.1]. Io ho svolto l'esercizio ma mi trovo dinanzi a diversi dubbi e speravo di risolverli e per questo vi dico un pò come ho proceduto... per il I giocatore ho 3 casi, nel primo caso la miglior risposta è 0 con y[-1,-1/2], nel 2° 2y+1 con y[-1/2,0] e nel 3° è 1 con y[ 0,1] ora purtroppo il grafico non riesco a metterlo. Nel giocatore 2 iniziano i maggiori dubbi!! anche qui ho 3 casi: 1° x>0 mi trovo 1 con x[0,1]; 2° x<0 trovo che x appartiene al vuoto ; 3° x=0 è una costante per tutto l'intervallo [0,1]. Sapreste dirmi se e/o dove ho sbagliato? grazie
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Ricopio sotto il messaggio come era, nel caso avessi preso delle cantonate.[/mod]
Salve devo trovare le multifunzioni di miglior risposta per il giocatore 1 e 2 e gli eventuali ed. Nash,avendo le seguenti funzioni: f1(x,y) = -(x-1)^2 + 4xy e f2(x,y)= -xy con S1[0,1] e S2[-1.1]. Io ho svolto l'esercizio ma mi trovo dinanzi a diversi dubbi e speravo di risolverli e per questo vi dico un pò come ho proceduto... per il I giocatore ho 3 casi, nel primo caso la miglior risposta è 0 con y[-1,-1/2], nel 2° 2y+1 con y[-1/2,0] e nel 3° è 1 con y[ 0,1] ora purtroppo il grafico non riesco a metterlo. Nel giocatore 2 iniziano i maggiori dubbi!! anche qui ho 3 casi: 1° x>0 mi trovo 1 con x[0,1]; 2° x<0 trovo che x appartiene al vuoto ; 3° x=0 è una costante per tutto l'intervallo [0,1]. Sapreste dirmi se e/o dove ho sbagliato? grazie
Risposte
grazie...comunque rifacendola già sto notando degli errori per il giocatore 2; 1° caso -x>0 miglior risposta è vuoto,2° -x<0 è 0 con x ∈ [ 0,1] e 3° -x=0 tutto l'intervallo [-1,1]. Sapete sono solo 3 giorni che ho iniziato a
studiare la teoria dei giochi quindi faccio un pò di casino!! aspetto le vostre risposte... ps. un'ulteriore dubbio!! se invece di S1 e S2 avessi R i risultati dell'equilibrio di nash sarebbero gli stessi?
studiare la teoria dei giochi quindi faccio un pò di casino!! aspetto le vostre risposte... ps. un'ulteriore dubbio!! se invece di S1 e S2 avessi R i risultati dell'equilibrio di nash sarebbero gli stessi?
La f1 ha derivata che si annulla in $x = 1 + 2y$. Visto che la f1 non è altro che una parabola "con la concavità verso il basso", quella è l'ascissa del vertice. Che corrisponde al punto di max se sta dentro l'intervallo $[0,1]$.
E i conti che hai fatto mi sembra vadano bene.
Per la f2, tenendo conto che $x \in [0,1]$, abbiamo che:
- per $x = 0$, la f2 è costante e quindi la miglior risposta è tutto l'intervallo $[-1,1]$
- per $0 < x \le 1$, f2 decresce in $y$ e quindi la miglior risposta è $0$
E i conti che hai fatto mi sembra vadano bene.
Per la f2, tenendo conto che $x \in [0,1]$, abbiamo che:
- per $x = 0$, la f2 è costante e quindi la miglior risposta è tutto l'intervallo $[-1,1]$
- per $0 < x \le 1$, f2 decresce in $y$ e quindi la miglior risposta è $0$
mi inserisco in questa discussione per cercare di risolvere un problema: nel caso in cui la parabola ha concavità rivolta verso l'alto (ad esempio x^2 - 2xy) come si ragiona? si deve cmq cercare il vertice (cioè la der. prima) e distinguere i 3 casi?? se sì, come è la soluzione delle migliori risposte?
p.s. l'esercizio completo richiede di trovare le migliori risposte, le strategie cautelative e verificare quali ipotesi del teorema di esist. di eq. nash sn verificate, avendo s1=[-1,2] e s2=[-1,1[ e la funzione del secondo gioc. è (x-1)(1-y)^2
p.s. l'esercizio completo richiede di trovare le migliori risposte, le strategie cautelative e verificare quali ipotesi del teorema di esist. di eq. nash sn verificate, avendo s1=[-1,2] e s2=[-1,1[ e la funzione del secondo gioc. è (x-1)(1-y)^2
Occupiamoci della miglior risposta del giocatore I.
Cosa significa "miglior risposta" (alla strategia $\bar y$ del giocatore II)? Significa trovare, per il giocatore I, la strategia (o le strategie, sempre che qualcuna esista) $\bar x$ che rende massimo il suo payoff $f(x,\bar y)$.
Quindi, si tratta di trovare i punti di massimo della funzione (della sola variabile x) $f(x,\bar y)$ sull'insieme $X$ delle strategie a disposizione di I.
Questo è ciò che bisogna fare. Nel tuo caso hai una funzione di una variabile di cui devi cercare il punto (o i punti) di massimo assoluto sull'intervallo [1,2]. Come trovarli, dipende dalla funzione che ti ritrovi... In generale bisogna rovistare tra i punti crittici trovati all'interno dell'intervallo, i punti (eventuali) in cui la funzione non sia derivabile, gli estremi dell'intervallo.
Cosa significa "miglior risposta" (alla strategia $\bar y$ del giocatore II)? Significa trovare, per il giocatore I, la strategia (o le strategie, sempre che qualcuna esista) $\bar x$ che rende massimo il suo payoff $f(x,\bar y)$.
Quindi, si tratta di trovare i punti di massimo della funzione (della sola variabile x) $f(x,\bar y)$ sull'insieme $X$ delle strategie a disposizione di I.
Questo è ciò che bisogna fare. Nel tuo caso hai una funzione di una variabile di cui devi cercare il punto (o i punti) di massimo assoluto sull'intervallo [1,2]. Come trovarli, dipende dalla funzione che ti ritrovi... In generale bisogna rovistare tra i punti crittici trovati all'interno dell'intervallo, i punti (eventuali) in cui la funzione non sia derivabile, gli estremi dell'intervallo.
ok, grazie mille del sonsiglio, ma un metodo pratico con cui tradurre la teoria "bisogna rovistare tra i punti crittici trovati all'interno dell'intervallo, i punti (eventuali) in cui la funzione non sia derivabile, gli estremi dell'intervallo." in pratica esiste? io ho provato con il metodo geometrico o grafico e con quello analitico ma non riesco a dare una soluzione. ad esempio con quello grafico mi troverei 3 casi: a) y<-1;b)y>2;-1<=y<=2 dove y è il vertice della parabola trovato derivando quest'ultima e ponendola =0. nei casi a e b tenendo conto che -1<=y<1 la soluz. è il vuoto; nel caso c mi trovo proprio -1<=y<1 e poichè è una parabola con concavità verso l'alto dal grafico si vede che ci sono 2 punti di massimo, cioè x=-1 e x =2, cioè gli estremi dell'intervallo: ma quale dei 2 devo scegliere? il raginamento è giusto?
prova a trovare la miglior risposta del gioc 1:
f1(x,y)= -x^2+xy X=[0,1] Y=[0,2] trovi qualcosa di strano? e prova a disegnare la multifunzione... fammi sapere
f1(x,y)= -x^2+xy X=[0,1] Y=[0,2] trovi qualcosa di strano? e prova a disegnare la multifunzione... fammi sapere
mi trovo in due casi su tre il vuoto e nel caso y/2 compreso tra [0,1] a sistema con y compreso tra [0,2] la soluzione è proprio il vertice y/2 per y compreso tra [0,2], in effetti è un po strano il grafico però dovrebbe essere corretto (almeno questo)
si mi trovo così!il primo e il terzo vuoto
però lo sai cosa trovo strano? che per tutto l'intervallo y=[0,2] la migliore risposta è y/2 e quindi il grafico è solo una retta!(???) allora mi dico: la multifunzione dov'è?!
questo trovo strano in effetti
però lo sai cosa trovo strano? che per tutto l'intervallo y=[0,2] la migliore risposta è y/2 e quindi il grafico è solo una retta!(???) allora mi dico: la multifunzione dov'è?!
questo trovo strano in effetti
Effettivamente la miglior risposta è $x=y/2$, per $y \in [0,2]$.
Che problema c'è? Si parla di "multiapplicazione" (o "applicazione multivoca", o "corrispondenza", o...) di miglior risposta perché in genere non c'è garanzia di unicità (e neanche di esistenza, a dire il vero). Nulla vieta, però, che la miglior risposta possa essere univocamente determinata. Come capita in questo caso. O come capita, ad esempio, nel modellino più semplice di duopolio di Cournot.
Che problema c'è? Si parla di "multiapplicazione" (o "applicazione multivoca", o "corrispondenza", o...) di miglior risposta perché in genere non c'è garanzia di unicità (e neanche di esistenza, a dire il vero). Nulla vieta, però, che la miglior risposta possa essere univocamente determinata. Come capita in questo caso. O come capita, ad esempio, nel modellino più semplice di duopolio di Cournot.
trovare la miglior risposta del gioc 1:
f1(x,y)= x^2 - 2xy con X=[-1,2] e Y=[-1,1[ nessuno mi aiuta??? vally.89 questa come i fa secondo te?
f1(x,y)= x^2 - 2xy con X=[-1,2] e Y=[-1,1[ nessuno mi aiuta??? vally.89 questa come i fa secondo te?
allora io l'ho risolto così, ma non so se è giusto:
poichè la parabola è convessa, il punto che annulla la derivata è di minimo per la funzione. ma noi cerchiamo i punti di massimi vincolati nell'intervallo [-1, 2] quindi sicuramente il punto di massimo sarà su i punti di frontiera. per sapere se il punto cercato è -1 o 2 confronto i valori di f1 nei suddetti punti al variare di y nell'intervallo[-1,1[ e cerco il maggiore, in altre parole confronto f1(-1,y) con f1(2,y), pongo l'uno maggiore dell'altro e mi viene fuori che per certi valori di y, precisamente per $ y in [-1,1/2] $ il punto di max è 2 e per $ y in [1/2,1[ $ il max è -1. a questo punto devi solo disegnare la multifunzione di migliore risposta per il giocatore 1.
poichè la parabola è convessa, il punto che annulla la derivata è di minimo per la funzione. ma noi cerchiamo i punti di massimi vincolati nell'intervallo [-1, 2] quindi sicuramente il punto di massimo sarà su i punti di frontiera. per sapere se il punto cercato è -1 o 2 confronto i valori di f1 nei suddetti punti al variare di y nell'intervallo[-1,1[ e cerco il maggiore, in altre parole confronto f1(-1,y) con f1(2,y), pongo l'uno maggiore dell'altro e mi viene fuori che per certi valori di y, precisamente per $ y in [-1,1/2] $ il punto di max è 2 e per $ y in [1/2,1[ $ il max è -1. a questo punto devi solo disegnare la multifunzione di migliore risposta per il giocatore 1.
la miglior risposta è -1 per ogni y appartenente a [-1,1[ è lo stesso ragionamento dell'esercizio fatto in precedenza e come ha detto il professore, c'è una sola miglior risposta per tutto l'intervallo [-1,1[, "multiapplicazione"
"la miglior risposta è -1 per ogni y appartenente a [-1,1[ è lo stesso ragionamento dell'esercizio fatto in precedenza e come ha detto il professore, c'è una sola miglior risposta per tutto l'intervallo [-1,1[, "multiapplicazione" "
si ma la differenza è che nell'esercizio precedente la funzione è una parabola concava dove il punto che annulla la derivata è di massimo e essendo sempre interno all'intervallo X per ogni valore di y in Y è proprio il punto di massimo vincolato cercato. ora la parabola è convessa a anche se il punto che annulla la derivata è sempre interno all'intervallo X è un punto di minimo, mentre i punti di massimo che cerchi saranno sulla frontiera di X. Poichè il vertice è x=y anche disegnando le parabole ti troverai che se il vertice y sta tra -1 e 1/2 per esempio in x=y=0 il valore della funzione in x=2 è più grande di quello in x=-1 e al contrario se disegni il vertce tra 1/2 e 1 noterai che il valore della funzione in x=-1 e maggiore di quello in x=2.
forse sbaglio io, ma non riesco a capire che ragionamento hai fatto per trovarti sempre -1.
si ma la differenza è che nell'esercizio precedente la funzione è una parabola concava dove il punto che annulla la derivata è di massimo e essendo sempre interno all'intervallo X per ogni valore di y in Y è proprio il punto di massimo vincolato cercato. ora la parabola è convessa a anche se il punto che annulla la derivata è sempre interno all'intervallo X è un punto di minimo, mentre i punti di massimo che cerchi saranno sulla frontiera di X. Poichè il vertice è x=y anche disegnando le parabole ti troverai che se il vertice y sta tra -1 e 1/2 per esempio in x=y=0 il valore della funzione in x=2 è più grande di quello in x=-1 e al contrario se disegni il vertce tra 1/2 e 1 noterai che il valore della funzione in x=-1 e maggiore di quello in x=2.
forse sbaglio io, ma non riesco a capire che ragionamento hai fatto per trovarti sempre -1.
"matwoman86":
allora io l'ho risolto così, ma non so se è giusto:
poichè la parabola è convessa, il punto che annulla la derivata è di minimo per la funzione. ma noi cerchiamo i punti di massimi vincolati nell'intervallo [-1, 2] quindi sicuramente il punto di massimo sarà su i punti di frontiera. per sapere se il punto cercato è -1 o 2 confronto i valori di f1 nei suddetti punti al variare di y nell'intervallo[-1,1[ e cerco il maggiore, in altre parole confronto f1(-1,y) con f1(2,y), pongo l'uno maggiore dell'altro e mi viene fuori che per certi valori di y, precisamente per $ y in [-1,1/2] $ il punto di max è 2 e per $ y in [1/2,1[ $ il max è -1. a questo punto devi solo disegnare la multifunzione di migliore risposta per il giocatore 1.
Molto bene, una sola sottolineatura: come detto, per $y=1/2$ i punti di massimo sono due, ovvero sia -1 che 2.
Quindi in questo caso abbiamo davvero una multifunzione.
utilizzando il metodo analitico per det la miglior risposta, confrontando f1(-1,y) con f1(2,y) graficamente vedo che la f1(2,y),prendendo in considerazione tutto l'intervallo [-1,1], va ad assumere il valore piu' alto che sta nel punto -1.
se invece li confronto analiticamente cioè pongo f(-1,y) > f1(2,y) mi viene come dici tu.
Però se utilizzo il metodo grafico per determinare la miglior risposta (distinguendo i 3 casi...), (metodo che ho usato quando ho risposto sopra)...effettivamente io non so con precisione il vertice dove si trova nell'intervallo [-1,1[, ieri ho cercato di calcolare il vertice ho disegnato la parabola che assumeva valore piu' alto in -1, però non viene fuori da nessuna parte 1/2 col metodo grafico, hai capito cosa intendo? è come se analiticamente si fa un'analisi piu' precisa...non so se ho reso l'idea di quello che voglio dire;quindi non so, cosa certa è che non hai sbagliato! però prova ad usare il metodo grafico e dimmi cosa puoi desumerne!:)
se invece li confronto analiticamente cioè pongo f(-1,y) > f1(2,y) mi viene come dici tu.
Però se utilizzo il metodo grafico per determinare la miglior risposta (distinguendo i 3 casi...), (metodo che ho usato quando ho risposto sopra)...effettivamente io non so con precisione il vertice dove si trova nell'intervallo [-1,1[, ieri ho cercato di calcolare il vertice ho disegnato la parabola che assumeva valore piu' alto in -1, però non viene fuori da nessuna parte 1/2 col metodo grafico, hai capito cosa intendo? è come se analiticamente si fa un'analisi piu' precisa...non so se ho reso l'idea di quello che voglio dire;quindi non so, cosa certa è che non hai sbagliato! però prova ad usare il metodo grafico e dimmi cosa puoi desumerne!:)
penso di aver capito cosa intendi.
facendo il "metodo geometrico" dovresti teoricamente distinguere i 3 casi e già questo sarebbe superfluo dal momento che in questo caso il vertice è un punto di minimo e in ogni caso non può essere un punto di massimo vincolato. quindi i punti di massimo si troveranno sulla frontiera(essendo il problema vincolato) indipendentemente dal fatto che il vertice stia alla sinistra, dentro o alla destra dell'intervallo X. in ogni caso, trovando il vertice in x=y vedi chiaramente che l'unico caso possibile è quello in cui questo è interno all'intervallo X.
dopodichè, se vuoi confrontare graficamente f1(-1,y) con f1(2,y) devi stare attenta a non dimenticare che stai disegnando funzioni che dipendono da y, in questo caso rette e il punto -1 che trovi tu è in realtà è y=-1.
per controntare le due rette e prendere la maggiore devi prendere quella "che sta sopra" l'altra. ma dal disegno si vede che le due rette hanno un punto di intersezione proprio in y=1/2 e che a sinistra di tale punto, cioè per y in [-1/1/2] la retta f1(2,y)) sta sopra la retta f1(-1,y)e quindi x=2 è il punto di massimo della parabola, mentre per y in [1/2,1[ è la retta f1(-1,y) a stare sopra la retta f1(2,y) e quindi x=-1 è il punto di massimo.
capito ora qual era il problema per cui ti venivano risultati diversi procedendo in un modo piuttosto che in un altro?
facendo il "metodo geometrico" dovresti teoricamente distinguere i 3 casi e già questo sarebbe superfluo dal momento che in questo caso il vertice è un punto di minimo e in ogni caso non può essere un punto di massimo vincolato. quindi i punti di massimo si troveranno sulla frontiera(essendo il problema vincolato) indipendentemente dal fatto che il vertice stia alla sinistra, dentro o alla destra dell'intervallo X. in ogni caso, trovando il vertice in x=y vedi chiaramente che l'unico caso possibile è quello in cui questo è interno all'intervallo X.
dopodichè, se vuoi confrontare graficamente f1(-1,y) con f1(2,y) devi stare attenta a non dimenticare che stai disegnando funzioni che dipendono da y, in questo caso rette e il punto -1 che trovi tu è in realtà è y=-1.
per controntare le due rette e prendere la maggiore devi prendere quella "che sta sopra" l'altra. ma dal disegno si vede che le due rette hanno un punto di intersezione proprio in y=1/2 e che a sinistra di tale punto, cioè per y in [-1/1/2] la retta f1(2,y)) sta sopra la retta f1(-1,y)e quindi x=2 è il punto di massimo della parabola, mentre per y in [1/2,1[ è la retta f1(-1,y) a stare sopra la retta f1(2,y) e quindi x=-1 è il punto di massimo.
capito ora qual era il problema per cui ti venivano risultati diversi procedendo in un modo piuttosto che in un altro?
avendo s1=[-1,2] e s2=[-1,1[ e la funzione del secondo gioc. (x-1)(1-y)^2
volendo determinare la miglior risposta del 2° giocatore, dato che il valore max della funzione sarà sulla frontiera,
calcolerò il valore della funzione in y=-1 e mi trovo f2(x,-1)= 4x-4 e dovrei calcolarmi il valore della funzione in y= 1, ma in y=1 la funzione non è definita quindi non esisterà il valore max, ma l'estremo superiore; dato ciò, devo comunque confrontare f2(x,-1) e f2(x, 1) ?? se si, viene che per x>1 la f2(x,-1)>f2(x,-1) quindi per x>1 Br2(x)= [-1], per x<1 con x che appartiene a S1 il valore max non esiste nel punto 1 quindi ArgMaxf2(x,y)= vuoto, ora vi chiedo, devo prendere in considerazione ArgSup=[1]? e disegnarla lo stesso??? scusate se forse la domanda è banale, ma mi sto inceppando con questi dubbi!
volendo determinare la miglior risposta del 2° giocatore, dato che il valore max della funzione sarà sulla frontiera,
calcolerò il valore della funzione in y=-1 e mi trovo f2(x,-1)= 4x-4 e dovrei calcolarmi il valore della funzione in y= 1, ma in y=1 la funzione non è definita quindi non esisterà il valore max, ma l'estremo superiore; dato ciò, devo comunque confrontare f2(x,-1) e f2(x, 1) ?? se si, viene che per x>1 la f2(x,-1)>f2(x,-1) quindi per x>1 Br2(x)= [-1], per x<1 con x che appartiene a S1 il valore max non esiste nel punto 1 quindi ArgMaxf2(x,y)= vuoto, ora vi chiedo, devo prendere in considerazione ArgSup=[1]? e disegnarla lo stesso??? scusate se forse la domanda è banale, ma mi sto inceppando con questi dubbi!
Mi pare che il tuo problema sia con i punti di massimo, non con la TdG.
Allora facciamo un esempio più semplice.
Prendiamo $f(x) = x^2$
Cerchiamo il punto di max su $[0,1[$.
Bene, questa funzione NON assume il valore massimo. Infatti è strettamente crescente sull'intervallo $[0,1[$, cui però non appartiene il punto $1$. Ha estremo superiore, ed esso vale $1$, ma non ha massimo.
Ergo, [tex]\hbox{argmax}_{x \in [0,1[} f(x) = \emptyset[/tex]
Nulla di strano, la multiapplicazione "best reply" può essere a valori vuoti.
Allora facciamo un esempio più semplice.
Prendiamo $f(x) = x^2$
Cerchiamo il punto di max su $[0,1[$.
Bene, questa funzione NON assume il valore massimo. Infatti è strettamente crescente sull'intervallo $[0,1[$, cui però non appartiene il punto $1$. Ha estremo superiore, ed esso vale $1$, ma non ha massimo.
Ergo, [tex]\hbox{argmax}_{x \in [0,1[} f(x) = \emptyset[/tex]
Nulla di strano, la multiapplicazione "best reply" può essere a valori vuoti.
Grazie professore per la delucidazione, quindi nell'esempio su, è totalmente inutile confrontare i valori assunti sulla frontiera perchè in y=1 non è definita la funzione e quindi argmaxf(x,1)= vuoto.
Il valore Max sarà assunto solo in y=-1 per x compreso tra -1 e 2.
Giusto? grazie mille!
Il valore Max sarà assunto solo in y=-1 per x compreso tra -1 e 2.
Giusto? grazie mille!
"vally.89":Questo è un errore grave.
Grazie professore per la delucidazione, quindi nell'esempio su, è totalmente inutile confrontare i valori assunti sulla frontiera perchè in y=1 non è definita la funzione e quindi argmaxf(x,1)= vuoto.
Tu, nel tuo esercizio, chiedevi della miglior risposta del secondo giocatore.
Quindi parlare di [tex]\hbox{argmax}_x f(x,1)[/tex] è del tutto fuori luogo.
"vally.89":Mi spiace, ma non ho nessuna voglia di fare calcoli, neanche facili. Quindi non aspettarti da me risposte a queste domande calcolerecce. Sorry.
Il valore Max sarà assunto solo in y=-1 per x compreso tra -1 e 2.
Giusto? grazie mille!
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