Duello a tre

[Sk_Anonymous]

Arturo, Baldo e Caio decidono di risolvere un conflitto con un duello a tre: ognuno sparerà a turno un colpo, finché rimarrà vivo uno solo.
Arturo è il miglior tiratore, colpisce sempre il proprio bersaglio.
Caio è il peggiore, centra il bersaglio solo una volta su tre.
Baldo invece colpisce due volte su tre.

Per rendere più equo il duello tirerà prima Caio, poi (se sarà ancora vivo), tirerà Baldo, infine Arturo (se sarà anch'esso ancora vivo).

A chi conviene che Caio spari il primo colpo?

Forse conoscete già la risposta.

Saluti,
andrew

[cozzataddeo]

Sapevo la risposta. Ragionando e dal poco che mi ricordo propongo una soluzione (la metto nello spoiler).

A Caio conviene sparare in aria

[Giova411]

Ma è un problema probabilistico o sbaglio? Si può risolvere con qualche sommatoria geometrica?
Non sparatemi
Cmq sto con Cozza Taddeo, ovvio...

PS: Da oggi mi tocca postare tutti i miei quesiti qui, in TdG

[Sk_Anonymous]

x Cozza Taddeo:

Giusto, ne puoi spiegare il motivo?

[cozzataddeo]

"andrew":x Cozza Taddeo:

Giusto, ne puoi spiegare il motivo?

Ci provo.

Se Caio spara a Baldo e lo centra è certamente morto perché Arturo lo impallina di sicuro.
Se Caio spara ad Arturo e lo centra ha 2 possibilità su 3 di restare impallinato da Baldo.
Se Caio non spara a nessuno, poi Baldo, se ha un po' di cervello, sparerà ad Arturo e, se lo centra, poi Caio si potrà dedicare a far fuori Baldo. Se invece Baldo non fa fuori Arturo, poi Arturo certamente farà fuori Baldo, che è più in gamba con la pistola di Caio. Anche in questo caso Caio poi potrà dedicarsi a far fuori Arturo.
In altre parole, sparando in aria, Caio ha la certezza di poter sparare un secondo colpo prima di diventare a sua volta bersaglio di uno dei suoi avversari.

[Fioravante Patrone1]

Nel testo nascosto Cozza Taddeo (ne rivelo un mozzicone che non dovrebbe violare la segretezza...) dice:

"poi $x$, se ha un po' di cervello,"

traducendolo nello slang della TdG diremo che c'è di mezzo, tanto per cambiare, una assunzione cruciale sulla razionalità e intelligenza degli altri giocatori!

[wedge]

conoscevo già il quesito, bellissimo.

[_admin]

Paul Hoffman, La vendetta di archimede, 1990, pp. 211
C'è un'analisi semplice e intersessante di questo gioco

[marco vicari]

bisognava specificare che i possibili bersagli erano:
gli avversari, nessun bersaglio...
se era obbligatorio sparare su un bersaglio poteva anche sparare su se stesso, aveva la probabilità più bassa di essere colpito...

comunque molto carino...

[Fioravante Patrone1]

un commento a marco vicari

La TdG abitua alla precisione, eh?
Il guaio è che l'affermazione "sparare a uno", anche se non lo sembra a chi è dall'altro lato della pistola, è ambigua!
Sembra non essere contemplata neanche la possibilità che uno punti a "Tizio" e colpisca "Caio" (o se stesso! Cosa che nella vita reale avviene con una percentuale non proprio microscopica, credo).

Se vuoi, si potrebbe provare a passare a vedere se si riesce a trovare una formulazione "precisa" del problema, che soddisfi i brontoloni della TdG

[peppesmile]

anke secondo me Caio dovrebbe sparare in aria pershè anche se collpisse l'avversario morirebbe di sicuro perchè non avrebbe altri colpi che possono andare a segno... premetto subito che anche se spara in aria nessuno può dargli la certezza che rimarrà vivo perchè è sempre il più debole e nessuno può dargli la certezza che se Caio spara in aria chi spara dopo di lui nn lo mira...però proverò a dare la spiegazione mettendomi io al posto di arturo o di Baldo...se Caio spara in aria molto probabilmente nn ha voluto spararmi quindi penso che l'offensiva più pericolosa provenga dall'altro e quindi non sparerei a lui...adesso Caio avendo sprecato un colpo ha una probabilità del 50% che mi sembra ottima rispetto alle sue pretese iniziali... se Arturo o Baldo aveva ucciso il suo avversario rimangono in due...se rimangono Caio e arturo la partita finisce con il tiro di caio che sarà artefice del proprio destino, in quanto se lo colpisce salva la pelle altrimenti è sicuramente cucinato... se invece rimangono caio e baldo, il primo ha un altra possibilità perche se non lo colpisce a primo colpo è possibile che baldo lo manchi, in questo caso Caio vincerebbe di sicuro perchè gli è rimasto il colpo fortunato...
ora pensandoci bene la mia soluzione è diversa, se fossi Caio non sparerei in alto ma sparerei ad ARTURO ma fallirei il colpo a posta... dopo di che Baldo sparerebbe ad Arturo e non a me perchè io non gli ho sparato sperando che lo colpisca...se lo colpisce forse ce l'ho fatta...di sicuro mi conviene che arturo venga eliminato per primo perchè uccide tutti quelli che mira e quindi anke a baldo conviene la stessa cosa ecco perchè sparerebbe sicuramente ad arturo se è intelligente come me ... se lo colpisce sono messo bene perchè tocca a me e oltre ad avere la precedenza ho anche la possibilità di sbagliare perchè adesso che Baldo ha messo un colpo a segno mentre io ne ho errato uno giochiamo ad armi pari...

ecco la mia spiegazione...spero sia esatta

[irenze]

"peppesmile":se lo colpisce sono messo bene perchè tocca a me e oltre ad avere la precedenza ho anche la possibilità di sbagliare perchè adesso che Baldo ha messo un colpo a segno mentre io ne ho errato uno giochiamo ad armi pari...

ecco la mia spiegazione...spero sia esatta

I colpi sono indipendenti (non c'è nessun motivo per cui la riuscita o no di un colpo possa influenzare quella del colpo successivo), quindi Caio ad ogni colpo ha SEMPRE probabilità 1/3 di colpire e Baldo ha SEMPRE probabilità 2/3 di colpire...

[alvinlee881]

"irenze":

I colpi sono indipendenti (non c'è nessun motivo per cui la riuscita o no di un colpo possa influenzare quella del colpo successivo), quindi Caio ad ogni colpo ha SEMPRE probabilità 1/3 di colpire e Baldo ha SEMPRE probabilità 1/2 di colpire...

giusto. come i numeri ritardatari del lotto, del resto. concetto di base che però spesso non si capisce fino in fondo. e ci si indebita fino alla fame col lotto.

[marco vicari]

risposta a Fioravante

credo che ricercare una formulazione precisa di questo gioco sia un divertente esercizio... ci si potrebbe provare.
in serata spero di avere il tempo per dedicarmici un po', ma devo partire dalla formulazione descrittiva del problema, in modo che non ci siamo equivoci sulle possibili scelte a disposizione dei giocatori.

[Cheguevilla]

Se Caio spara in aria, la colpirà con probabilità $1/3$.
E se manca il bersaglio?

[Sk_Anonymous]

"irenze":
I colpi sono indipendenti (non c'è nessun motivo per cui la riuscita o no di un colpo possa influenzare quella del colpo successivo), quindi Caio ad ogni colpo ha SEMPRE probabilità 1/3 di colpire e Baldo ha SEMPRE probabilità 1/2 di colpire...

non 1/2, ma 2/3

[irenze]

"andrew":[quote="irenze"]
I colpi sono indipendenti (non c'è nessun motivo per cui la riuscita o no di un colpo possa influenzare quella del colpo successivo), quindi Caio ad ogni colpo ha SEMPRE probabilità 1/3 di colpire e Baldo ha SEMPRE probabilità 1/2 di colpire...

non 1/2, ma 2/3[/quote]

Sì giusto, scusate. Volevo solo far passare il concetto... Ora correggo.

[Sk_Anonymous]

"irenze":[quote="andrew"][quote="irenze"]
I colpi sono indipendenti (non c'è nessun motivo per cui la riuscita o no di un colpo possa influenzare quella del colpo successivo), quindi Caio ad ogni colpo ha SEMPRE probabilità 1/3 di colpire e Baldo ha SEMPRE probabilità 1/2 di colpire...

non 1/2, ma 2/3[/quote]

Sì giusto, scusate. Volevo solo far passare il concetto... Ora correggo.[/quote]

fa niente, il concetto non cambia perché comunque $1/3<1/2$

[marco vicari]

il gioco del triellio (duello a tre) mi ha fatto venire in mente il finale del film "il buono, il brutto e il cattivo" di Sergio Leone dove i protagonisti si trovano ad affrontare il triellio finale per la vincita di una considerevole quantità di dollari (il film chiude la "trilogia del dollaro"). Il buono del film comunque bara, avendo precedentemente scaricato di nascosto la pistola del brutto, quindi sa che per primo deve sparare al cattivo perchè in ogni caso il brutto non potrà sparare.

Vorrei provare a formalizzare il gioco cominciando dalle "regole":
I giocatori sono Arturo, Baldo e Caio (per brevità A,B e C).
Ogni giocatore può sparare un solo colpo per volta.
Ogni giocatore può sparare a un avversario o a nessun bersaglio, non hanno la possibilità di sparare a se stessi.
A centra il bersaglio con probabilità uguale a $1$, B con probabilità uguale a $2/3$ e C con probalitià uguale a $1/3$.
I giocatori non giocano simultaneamente ma con la sequenza C,B,A dopo la prima sequenza il gioco riprende da C se ancora in vita, poi gioca B se ancora in vita e per ultimo A sempre se risulta ancora vivo, non ci dovrebbero essere altre sequenze visto che A sparando $2$ volte avrebbe comunque ucciso i suoi avversari.
I giocatori non hanno possibilità di comunicazione ne di poter sottoscrivere accordi vincolanti.

Ho dimenticato qualcosa?

[Fioravante Patrone1]

"marco vicari":il gioco del triellio (duello a tre) mi ha fatto venire in mente il finale del film "il buono, il brutto e il cattivo" di Sergio Leone dove i protagonisti si trovano ad affrontare il triellio finale per la vincita di una considerevole quantità di dollari (il film chiude la "trilogia del dollaro"). Il buono del film comunque bara, avendo precedentemente scaricato di nascosto la pistola del brutto, quindi sa che per primo deve sparare al cattivo perchè in ogni caso il brutto non potrà sparare.

("boldface" mio)
il che dimostra la delicatezza necessaria se si vuole usare la TdG nella modellizzazione dei problemi reali

[marco vicari]

giusto Fioravante.

avevo dimenticato:
I tre giocatori hanno lo stesso tipo di arma carica con almeno $2$ colpi disponibili.
Vince chi resta vivo indipendentemente dal numero di avversari che ha ucciso.
Il gioco ha termine quando $2$ e solo $2$ giocatori sono morti, non prima.