Continuità della preferenze, allocazioni OP e IR
Enunciato:Se in un economia di scambio le preferenze sono continue, allora esiste un'allocazione Pareto ottimale e individualmente razionale.
Dimostrazione:
Sia $A_r$ l'insieme delle allocazioni IR (sull'insieme delle allocazioni $A={(x_1,..,x_k)in (R_+^l)^k : sum_{i=1}^k x_i = sum_{i=1}^k omega_i}$
dove $omega$ è la dotazione iniziale)
$A_r={(x_1,..,x_k)in (R_+^l)^k : x_i >-= omega_1}$
Introduciamo in $A_r$ una relazione d'equivalenza:
$(x_1,..,x_k)R(y_1,..,y_k) hArr x_i~_iy_i$
Poniamo l'insieme quoziente $A_r/~$$=A_r$, che per la continuità delle preferenze è chiuso (ok mi trovo) nell'insieme $A$ delle allocazioni, che è compatto (perché?), dunque anche $A_r$ è compatto.
Introduciamo in $A_r$ la relazione binaria ponendo:
$(x_1,..,x_k)R(y_1,..,y_k) hArr x_i>-=_iy_i$ che è una relazione d'ordine.
$A_r$ è quindi parzialmente ordinato (perchè?) dalla relazione appena introdotta.
Se C è un sottoinsieme totalmente ordinato di $A_r$, voglio provare che è superiormente limitato.
$F_c=bar({x∈ C : x>-= c})$
$F_c$ ha la proprietà dell'intersezione finita
(Forse perché se prendo due elementi distinti $ c_1,c_2∈ C$ si verifica una delle due eventualità:
$c_1 >-=c_2$ o $ c_2>-=c_1$ (perché C è totalmente ordinato, quindi i suoi elementi sono sempre confrontabili)
Allora se interseco F_c_1 e F_c_2, nell'ipotesi che c₁ ≥c₂, nell'intersezione c'è almeno c₁ ??)
Questo implica che esiste $x ∈ nn _{cinC}Fc$
Se $c$ è un arbitrario elemento di $C$
la relazione $x∈F_c$ e la continuità della preferenze, assicuano che $x>-=c$.
Dunque $x$ è un maggiorante per $C$
Il lemma di Zorn ci assicura che esiste un elemento massimale, $barx in A_r$
$barx $ è un ottimo di Pareto perchè qualunque allocazione $y$ preferita nel senso di $>-=$ ad $barx$ deve essere ID quindi non può verificare una relazione $y>-x$ (perchè?)
Grazie
Dimostrazione:
Sia $A_r$ l'insieme delle allocazioni IR (sull'insieme delle allocazioni $A={(x_1,..,x_k)in (R_+^l)^k : sum_{i=1}^k x_i = sum_{i=1}^k omega_i}$
dove $omega$ è la dotazione iniziale)
$A_r={(x_1,..,x_k)in (R_+^l)^k : x_i >-= omega_1}$
Introduciamo in $A_r$ una relazione d'equivalenza:
$(x_1,..,x_k)R(y_1,..,y_k) hArr x_i~_iy_i$
Poniamo l'insieme quoziente $A_r/~$$=A_r$, che per la continuità delle preferenze è chiuso (ok mi trovo) nell'insieme $A$ delle allocazioni, che è compatto (perché?), dunque anche $A_r$ è compatto.
Introduciamo in $A_r$ la relazione binaria ponendo:
$(x_1,..,x_k)R(y_1,..,y_k) hArr x_i>-=_iy_i$ che è una relazione d'ordine.
$A_r$ è quindi parzialmente ordinato (perchè?) dalla relazione appena introdotta.
Se C è un sottoinsieme totalmente ordinato di $A_r$, voglio provare che è superiormente limitato.
$F_c=bar({x∈ C : x>-= c})$
$F_c$ ha la proprietà dell'intersezione finita
(Forse perché se prendo due elementi distinti $ c_1,c_2∈ C$ si verifica una delle due eventualità:
$c_1 >-=c_2$ o $ c_2>-=c_1$ (perché C è totalmente ordinato, quindi i suoi elementi sono sempre confrontabili)
Allora se interseco F_c_1 e F_c_2, nell'ipotesi che c₁ ≥c₂, nell'intersezione c'è almeno c₁ ??)
Questo implica che esiste $x ∈ nn _{cinC}Fc$
Se $c$ è un arbitrario elemento di $C$
la relazione $x∈F_c$ e la continuità della preferenze, assicuano che $x>-=c$.
Dunque $x$ è un maggiorante per $C$
Il lemma di Zorn ci assicura che esiste un elemento massimale, $barx in A_r$
$barx $ è un ottimo di Pareto perchè qualunque allocazione $y$ preferita nel senso di $>-=$ ad $barx$ deve essere ID quindi non può verificare una relazione $y>-x$ (perchè?)
Grazie
Risposte
[quote=asabasa]Enunciato:Se in un economia di scambio le preferenze sono continue, allora esiste un'allocazione Pareto ottimale e individualmente razionale.
Dimostrazione:
... l'insieme $A$ delle allocazioni, che è compatto (perché?).
Dovresti dire cos'è l'insieme delle allocazioni, è un compatto di $ R^k $ ?
Introduciamo in $A_r$ la relazione binaria ponendo:
$(x_1,..,x_k)R(y_1,..,y_k) hArr x_i>-=_iy_i$ che è una relazione d'ordine.
$A_r$ è quindi parzialmente ordinato (perchè?) dalla relazione appena introdotta.
E' parzialmente ordinato per ipotesi, perché è stata introdotta una relazione d'ordine senza ipotizzare che sia totale, cioè che due allocazioni siano sempre confrontabili.
Dimostrazione:
... l'insieme $A$ delle allocazioni, che è compatto (perché?).
Dovresti dire cos'è l'insieme delle allocazioni, è un compatto di $ R^k $ ?
Introduciamo in $A_r$ la relazione binaria ponendo:
$(x_1,..,x_k)R(y_1,..,y_k) hArr x_i>-=_iy_i$ che è una relazione d'ordine.
$A_r$ è quindi parzialmente ordinato (perchè?) dalla relazione appena introdotta.
E' parzialmente ordinato per ipotesi, perché è stata introdotta una relazione d'ordine senza ipotizzare che sia totale, cioè che due allocazioni siano sempre confrontabili.
L'insieme delle allocazioni è definito così
$A={(x_1,..,x_k)in (R_+^l)^k : sum_{i=1}^k x_i = sum_{i=1}^k omega_i}$
dove $omega$ è la dotazione iniziale
$A={(x_1,..,x_k)in (R_+^l)^k : sum_{i=1}^k x_i = sum_{i=1}^k omega_i}$
dove $omega$ è la dotazione iniziale
"asabasa":
L'insieme delle allocazioni è definito così
$ A={(x_1,..,x_k)in (R_+^l)^k : sum_{i=1}^k x_i >-= sum_{i=1}^k omega_i} $
dove $ omega $ è la dotazione iniziale
Ci sono quindi $ k $ agenti e $ l $ beni, no? Quindi l'insieme delle allocazioni è un insieme di $ k $ vettori di $ R_+^l $ , si tratta quindi di k punti di $ R_+^l $, è chiuso e limitato, quindi compatto.
Scusa ho detto una cosa imprecisa, A è l'insieme delle allocazioni, quindi sulla limitatezza devo pensarci su.
Ehm in realtà non mi è chiaro il motivo per cui è chiuso 
Scusa, ma non c'è un vincolo sulle allocazioni in dipenndenza delle dotazioni inziali? Scusa se ti rispondo in modo impreciso, sono in vacanza e non ho modo di consulatare libri, se non avrai ancora risolto provo a risponderti nei prossimi giorni da casa.
"gabriella127":
Scusa, ma non c'è un vincolo sulle allocazioni in dipenndenza delle dotazioni inziali? Scusa se ti rispondo in modo impreciso, sono in vacanza e non ho modo di consulatare libri, se non avrai ancora risolto provo a risponderti nei prossimi giorni da casa.
Ma di che cosa devo scusarti
Sei gentilissima a rispondermi, se ti va rispondimi con calma quando sei a casa
Grazie e buone vacanze
"asabasa":
$A$ delle allocazioni, che è compatto (perché?), dunque anche $A_r$ è compatto.
"asabasa":
$barx $ è un ottimo di Pareto perchè qualunque allocazione $y$ preferita nel senso di $>-=$ ad $barx$ deve essere ID quindi non può verificare una relazione $y>-x$ (perchè?)
Grazie
up
Sia $A_r$ l'insieme delle allocazioni IR (sull'insieme delle allocazioni $A={(x_1,..,x_k)in (R_+^l)^k : sum_{i=1}^k x_i = sum_{i=1}^k omega_i}$
dove $omega$ è la dotazione iniziale)
$A_r={(x_1,..,x_k)in (R_+^l)^k : x_i >-= omega_1}$
l'insieme $A$ delle allocazioni, che è compatto (perché?)
Ho guardato Mas Colell, che dà in una appendice la dimostrazione, sotto alcune ipotesi, che l'insieme delle allocazioni è compatto, ma lo fa per una economia di produzione, non di puro scambio, quindi è complicato.
Comunque dice che la chiusura di A è una conseguenza immediata della chiusura degli insiemi di consumo degli agenti, mette un esercizio.
Tu che libro usi? Se a un certo punto dice che A è compatto, deve averne parlato prima.
Per la limitatezza Mas Colell dice che è una conseguenza dell'ipotesi che 'non ci sono pasti gratis'.
La limitatezza a me sembra abbastanza intuitiva, una allocazione è un insieme di k vettori di $ (R^l)^+ $ , le cui singole componenti sono limitate dalle dotazioni iniziali dei beni, per cui sono contenuti in un sottoinsieme limitato di $ (R^l)^+ $ .
Sulla chiusura non ho ideee chiare.
dove $omega$ è la dotazione iniziale)
$A_r={(x_1,..,x_k)in (R_+^l)^k : x_i >-= omega_1}$
l'insieme $A$ delle allocazioni, che è compatto (perché?)
Ho guardato Mas Colell, che dà in una appendice la dimostrazione, sotto alcune ipotesi, che l'insieme delle allocazioni è compatto, ma lo fa per una economia di produzione, non di puro scambio, quindi è complicato.
Comunque dice che la chiusura di A è una conseguenza immediata della chiusura degli insiemi di consumo degli agenti, mette un esercizio.
Tu che libro usi? Se a un certo punto dice che A è compatto, deve averne parlato prima.
Per la limitatezza Mas Colell dice che è una conseguenza dell'ipotesi che 'non ci sono pasti gratis'.
La limitatezza a me sembra abbastanza intuitiva, una allocazione è un insieme di k vettori di $ (R^l)^+ $ , le cui singole componenti sono limitate dalle dotazioni iniziali dei beni, per cui sono contenuti in un sottoinsieme limitato di $ (R^l)^+ $ .
Sulla chiusura non ho ideee chiare.
Ho cercato di vedere la geometria di A nel caso di due beni, ma mi sa che c'è qualcosa di semplice che mi sfugge.
"gabriella127":
Sia $A_r$ l'insieme delle allocazioni IR (sull'insieme delle allocazioni $A={(x_1,..,x_k)in (R_+^l)^k : sum_{i=1}^k x_i = sum_{i=1}^k omega_i}$
dove $omega$ è la dotazione iniziale)
$A_r={(x_1,..,x_k)in (R_+^l)^k : x_i >-= omega_1}$
l'insieme $A$ delle allocazioni, che è compatto (perché?)
Ho guardato Mas Colell, che dà in una appendice la dimostrazione, sotto alcune ipotesi, che l'insieme delle allocazioni è compatto, ma lo fa per una economia di produzione, non di puro scambio, quindi è complicato.
Comunque dice che la chiusura di A è una conseguenza immediata della chiusura degli insiemi di consumo degli agenti, mette un esercizio.
Tu che libro usi? Se a un certo punto dice che A è compatto, deve averne parlato prima.
.
Purtroppo non ne parla prima, il primo accenno è proprio in questa dimostrazione.
Io uso degli appunti stilati dalla mia professoressa, in più ha ha consigliato di consultare
Existence and optimality of competitive equilibria (Aliprantis, Brown, Burkinshaw),
Microeconomic theory (Mas Colell),
Advanced microeconomic theory (Jehle,Reny)
"gabriella127":
Per la limitatezza Mas Colell dice che è una conseguenza dell'ipotesi che 'non ci sono pasti gratis'.
La limitatezza a me sembra abbastanza intuitiva, una allocazione è un insieme di k vettori di $ (R^l)^+ $ , le cui singole componenti sono limitate dalle dotazioni iniziali dei beni, per cui sono contenuti in un sottoinsieme limitato di $ (R^l)^+ $ .
Sulla chiusura non ho ideee chiare.
Grazie mille
[quote=asabasa]Enunciato:Se in un economia di scambio le preferenze sono continue, allora esiste un'allocazione Pareto ottimale e individualmente razionale.
Dimostrazione:
[...]
Il lemma di Zorn ci assicura che esiste un elemento massimale, $barx in A_r$
$barx $ è un ottimo di Pareto perchè qualunque allocazione $y$ preferita nel senso di $>-=$ ad $barx$ deve essere ID quindi non può verificare una relazione $y>-x$ (perchè?)
Qui mi sembra che le cose stanno così:
Il lemma di Zorn assicura che $ A_r $ ha un elemento massimale $ bar(x) $ . Qualunque altra allocazione $ y >= bar(x) $ (non riesco a scrivere la relazione di preferenza, per cui ho messo $ >= $) deve essere IR, quindi deve appartenere a $ A_r $, ma $ bar(x) $ è elemento massimale, quindi non può essere $ y> bar(x) , $
Dimostrazione:
[...]
Il lemma di Zorn ci assicura che esiste un elemento massimale, $barx in A_r$
$barx $ è un ottimo di Pareto perchè qualunque allocazione $y$ preferita nel senso di $>-=$ ad $barx$ deve essere ID quindi non può verificare una relazione $y>-x$ (perchè?)
Qui mi sembra che le cose stanno così:
Il lemma di Zorn assicura che $ A_r $ ha un elemento massimale $ bar(x) $ . Qualunque altra allocazione $ y >= bar(x) $ (non riesco a scrivere la relazione di preferenza, per cui ho messo $ >= $) deve essere IR, quindi deve appartenere a $ A_r $, ma $ bar(x) $ è elemento massimale, quindi non può essere $ y> bar(x) , $
Un ultima osservazione sulla compattezza di $ A $ e $ A_r. $ Mi sembra che non serva a niente nella dimostrazione. Oppure viene usata da qualche parte e non lo vedo?
"gabriella127":
Qui mi sembra che le cose stanno così:
Il lemma di Zorn assicura che $ A_r $ ha un elemento massimale $ bar(x) $ . Qualunque altra allocazione $ y >= bar(x) $ (non riesco a scrivere la relazione di preferenza, per cui ho messo $ >= $) deve essere IR, quindi deve appartenere a $ A_r $, ma $ bar(x) $ è elemento massimale, quindi non può essere $ y> bar(x) , $
Ma perché deve essere IR?
"gabriella127":
Un ultima osservazione sulla compattezza di $ A $ e $ A_r. $ Mi sembra che non serva a niente nella dimostrazione. Oppure viene usata da qualche parte e non lo vedo?
No, o meglio dice che $ A $ è compatto per dire che $ A_r$ è compatto.
La parte sulla proprietà dell'intersezione finita ti sembra giusta?
Lo so che sembro una scema quando faccio tutte queste domande, ma meglio sembarlo qui piuttosto che durante l'esame
Ma perché deve essere IR?
Perché c'è nel
l'enunciato del teorema che esiste una allocazione ottimale e individualmente razionale
Perché c'è nel
l'enunciato del teorema che esiste una allocazione ottimale e individualmente razionale
Non sembri affatto scema, anzi!
Infine: a che serve nella dimostrazione che $ A_ r $ è compatto?
Sulla proprietà dell'intersezione finita non so, perché mi dovrei prima ricordare che dice la proprietà dell'intersezione finita.
Infine: a che serve nella dimostrazione che $ A_ r $ è compatto?
Sulla proprietà dell'intersezione finita non so, perché mi dovrei prima ricordare che dice la proprietà dell'intersezione finita.
"gabriella127":
Non sembri affatto scema, anzi!
Mi hai illuminato la giornata con questa frase
"gabriella127":
Infine: a che serve nella dimostrazione che $ A_ r $ è compatto?
Ma penso a niente, anche perché per l'esistenza dell'elemento massimale si serve dell'ordinamento parziale introdotto con la relazione d'ordine (che è possibile introdurre perché abbiamo creato l'insieme quoziente).
Serve solo a farmi (e a farti
) scervellare!
A me sembra che stai facendo con molta intelligenza cose difficili!
E, poi, a dirti al verità, 'sta dimostrazione non mi sembra un capolavoro, io non è che sia un'autorità in materia, ma boh?
Continuo a non capire che ci azzecca questa compattezza... che ne so...probabilmente hai ragione, solo farci venire l'esaurimento nervoso
E, poi, a dirti al verità, 'sta dimostrazione non mi sembra un capolavoro, io non è che sia un'autorità in materia, ma boh?
Continuo a non capire che ci azzecca questa compattezza... che ne so...probabilmente hai ragione, solo farci venire l'esaurimento nervoso
Effettivamente su uno dei testi consigliati questa cosa non c'è (perché è inutile XD )
http://books.google.it/books?id=L1N9vhQ ... al&f=false
Pagina 40 teorema 1.5.3
http://books.google.it/books?id=L1N9vhQ ... al&f=false
Pagina 40 teorema 1.5.3
"asabasa":
Effettivamente su uno dei testi consigliati questa cosa non c'è (perché è inutile XD )
http://books.google.it/books?id=L1N9vhQ ... al&f=false
Pagina 40 teorema 1.5.3
Ho dato uno sguardo rapido al link che mi hai mandato. E'il libro di Aliprantis, no?
La dimostrazione è molto meglio.
Poi ho visto che dice che la compattezza di $ A_r $ è una conseguenza della continuità delle preferenze (assicura la chiusura). Guardando questo libro si dovrebbe capire. Voglio cercarlo in biblioteca, ci dovrebbe essere, e darci uno sguardo.
Mi sembra che la tua prof segua più questo che Mas Colell, è così?
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