Continuità della preferenze, allocazioni OP e IR
Enunciato:Se in un economia di scambio le preferenze sono continue, allora esiste un'allocazione Pareto ottimale e individualmente razionale.
Dimostrazione:
Sia $A_r$ l'insieme delle allocazioni IR (sull'insieme delle allocazioni $A={(x_1,..,x_k)in (R_+^l)^k : sum_{i=1}^k x_i = sum_{i=1}^k omega_i}$
dove $omega$ è la dotazione iniziale)
$A_r={(x_1,..,x_k)in (R_+^l)^k : x_i >-= omega_1}$
Introduciamo in $A_r$ una relazione d'equivalenza:
$(x_1,..,x_k)R(y_1,..,y_k) hArr x_i~_iy_i$
Poniamo l'insieme quoziente $A_r/~$$=A_r$, che per la continuità delle preferenze è chiuso (ok mi trovo) nell'insieme $A$ delle allocazioni, che è compatto (perché?), dunque anche $A_r$ è compatto.
Introduciamo in $A_r$ la relazione binaria ponendo:
$(x_1,..,x_k)R(y_1,..,y_k) hArr x_i>-=_iy_i$ che è una relazione d'ordine.
$A_r$ è quindi parzialmente ordinato (perchè?) dalla relazione appena introdotta.
Se C è un sottoinsieme totalmente ordinato di $A_r$, voglio provare che è superiormente limitato.
$F_c=bar({x∈ C : x>-= c})$
$F_c$ ha la proprietà dell'intersezione finita
(Forse perché se prendo due elementi distinti $ c_1,c_2∈ C$ si verifica una delle due eventualità:
$c_1 >-=c_2$ o $ c_2>-=c_1$ (perché C è totalmente ordinato, quindi i suoi elementi sono sempre confrontabili)
Allora se interseco F_c_1 e F_c_2, nell'ipotesi che c₁ ≥c₂, nell'intersezione c'è almeno c₁ ??)
Questo implica che esiste $x ∈ nn _{cinC}Fc$
Se $c$ è un arbitrario elemento di $C$
la relazione $x∈F_c$ e la continuità della preferenze, assicuano che $x>-=c$.
Dunque $x$ è un maggiorante per $C$
Il lemma di Zorn ci assicura che esiste un elemento massimale, $barx in A_r$
$barx $ è un ottimo di Pareto perchè qualunque allocazione $y$ preferita nel senso di $>-=$ ad $barx$ deve essere ID quindi non può verificare una relazione $y>-x$ (perchè?)
Grazie
Dimostrazione:
Sia $A_r$ l'insieme delle allocazioni IR (sull'insieme delle allocazioni $A={(x_1,..,x_k)in (R_+^l)^k : sum_{i=1}^k x_i = sum_{i=1}^k omega_i}$
dove $omega$ è la dotazione iniziale)
$A_r={(x_1,..,x_k)in (R_+^l)^k : x_i >-= omega_1}$
Introduciamo in $A_r$ una relazione d'equivalenza:
$(x_1,..,x_k)R(y_1,..,y_k) hArr x_i~_iy_i$
Poniamo l'insieme quoziente $A_r/~$$=A_r$, che per la continuità delle preferenze è chiuso (ok mi trovo) nell'insieme $A$ delle allocazioni, che è compatto (perché?), dunque anche $A_r$ è compatto.
Introduciamo in $A_r$ la relazione binaria ponendo:
$(x_1,..,x_k)R(y_1,..,y_k) hArr x_i>-=_iy_i$ che è una relazione d'ordine.
$A_r$ è quindi parzialmente ordinato (perchè?) dalla relazione appena introdotta.
Se C è un sottoinsieme totalmente ordinato di $A_r$, voglio provare che è superiormente limitato.
$F_c=bar({x∈ C : x>-= c})$
$F_c$ ha la proprietà dell'intersezione finita
(Forse perché se prendo due elementi distinti $ c_1,c_2∈ C$ si verifica una delle due eventualità:
$c_1 >-=c_2$ o $ c_2>-=c_1$ (perché C è totalmente ordinato, quindi i suoi elementi sono sempre confrontabili)
Allora se interseco F_c_1 e F_c_2, nell'ipotesi che c₁ ≥c₂, nell'intersezione c'è almeno c₁ ??)
Questo implica che esiste $x ∈ nn _{cinC}Fc$
Se $c$ è un arbitrario elemento di $C$
la relazione $x∈F_c$ e la continuità della preferenze, assicuano che $x>-=c$.
Dunque $x$ è un maggiorante per $C$
Il lemma di Zorn ci assicura che esiste un elemento massimale, $barx in A_r$
$barx $ è un ottimo di Pareto perchè qualunque allocazione $y$ preferita nel senso di $>-=$ ad $barx$ deve essere ID quindi non può verificare una relazione $y>-x$ (perchè?)
Grazie
Risposte
"gabriella127":
Ho dato uno sguardo rapido al link che mi hai mandato. E'il libro di Aliprantis, no?
La dimostrazione è molto meglio.
Concordo
"gabriella127":
Poi ho visto che dice che la compattezza di $ A_r $ è una conseguenza della continuità delle preferenze (assicura la chiusura).
Sisi, in realtà la mia perplessità era sulla compattezza di A.
"gabriella127":
Guardando questo libro si dovrebbe capire. Voglio cercarlo in biblioteca, ci dovrebbe essere, e darci uno sguardo.
Da me ho avuto difficoltà a trovarlo, ci sono poche copie ed erano tutte in prestito a tesisti, ma google mi ha salvato!
"gabriella127":
Mi sembra che la tua prof segua più questo che Mas Colell, è così?
Si per questa parte del programma si, in realtà in Mas Colell mi sembra poco utile come supporto ai suoi appunti ( casomai gli argomenti ci sono ma sono trattati in modo diverso e di solito più complesso)
Grazie mille sei davvero molto disponibile
Grazie a te! Queste cose mi interessano 
"gabriella127":
Ma perché deve essere IR?
Perché c'è nel
l'enunciato del teorema che esiste una allocazione ottimale e individualmente razionale
Mi ero persa questa risposta.
Deve essere $x$ individualmente razionale, non $y$.
Nella dimostrazione che ti ho linkato dice "$ yinA and y>-=x implies y in A_r$"
"asabasa":
[quote="gabriella127"]Ma perché deve essere IR?
Perché c'è nel
l'enunciato del teorema che esiste una allocazione ottimale e individualmente razionale
Mi ero persa questa risposta.
Deve essere $x$ individualmente razionale, non $y$.
Nella dimostrazione che ti ho linkato dice "$ yinA and y>-=x implies y in A_r$"
[/quote]Forse ho capito!
$x$ è massimale
Se prendo $ yinA$ tale che $y>-=x$ , poichè $>-=$ è transitiva se $y>-=x$ e $x>-=w_i$ allora $y>-=w_i$ che implica $y in A_r$ , quindi non può essere $y>-x$!
Non ti ho risposto perché non ho avuto un attimo di tempo, appena posso mi guardo le cose che dici. Ciao!
"asabasa":
[quote="asabasa"][quote="gabriella127"]Ma perché deve essere IR?
Perché c'è nel
l'enunciato del teorema che esiste una allocazione ottimale e individualmente razionale
Mi ero persa questa risposta.
Deve essere $x$ individualmente razionale, non $y$.
Nella dimostrazione che ti ho linkato dice "$ yinA and y>-=x implies y in A_r$"
[/quote]Forse ho capito!
$x$ è massimale
Se prendo $ yinA$ tale che $y>-=x$ , poichè $>-=$ è transitiva se $y>-=x$ e $x>-=w_i$ allora $y>-=w_i$ che implica $y in A_r$ , quindi non può essere $y>-x$![/quote]
Mi sembra giusto!
"gabriella127":
Mi sembra giusto!
Grazie ancora!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo