[Trasmissione del calore] Prandtl - Reynolds - Péclet
La trasmissione del calore ha un che di natalizio: con tutti questi numeri sembra di giocare a tombola 
Vorrei capire meglio l'interpretazione dei numeri di Reynolds, Péclet e Prandtl. Il primo viene fuori dal bilancio della quantità di moto:
[tex]\displaystyle \frac{\text{d}}{\text{d}t} \left(\rho \underline{w}\right)=-\text{div} \left(\rho\underline{w} \underline{w}\right) - \text{div} \left(\underline{\underline{T}}\right) +\rho \underline{g}[/tex] (*)
ed è il rapporto fra gli ordini di grandezza delle forze d'inerzia e quelle viscose:
[tex]\displaystyle \text{Re}=\frac{\rho w_c L_c}{\mu}[/tex].
Invece dal bilancio dell'energia:
[tex]\displaystyle \frac{\text{d}}{\text{d}t} \left(\rho e\right)=-\text{div} \left(\rho \underline{w} e\right) - \text{div}\left( \underline{q}\right) - \text{div}\left( \underline{l}\right)+\sigma[/tex] (**)
si ricava il numero di Péclet, che è il rapporto tra gli ordini di grandezza dei termini avvettivi e di quelli diffusivi:
[tex]\displaystyle \text{Pé} = \frac{\rho w_c c L_c}{k}[/tex].
Ciò che mi chiedo è: ma [tex]\text{Re}[/tex] e [tex]\text{Pé}[/tex] non danno la stessa informazione, dal momento che le forze d'inerzia controllano i flussi avvettivi e quelle viscose i flussi diffusivi? Perché sono correlati tramite [tex]\text{Pr}[/tex]?
Sul quaderno ho scritto: "se [tex]\text{Pé}>100[/tex] si può trascurare la conduzione nella direzione del movimento". Non mi è molto chiara questa frase, visto che se [tex]\text{Pé}[/tex] è grande fanno da padroni i flussi avvettivi, che avvengono proprio in direzione del moto del fluido.
Vorrei capire meglio l'interpretazione dei numeri di Reynolds, Péclet e Prandtl. Il primo viene fuori dal bilancio della quantità di moto:
[tex]\displaystyle \frac{\text{d}}{\text{d}t} \left(\rho \underline{w}\right)=-\text{div} \left(\rho\underline{w} \underline{w}\right) - \text{div} \left(\underline{\underline{T}}\right) +\rho \underline{g}[/tex] (*)
ed è il rapporto fra gli ordini di grandezza delle forze d'inerzia e quelle viscose:
[tex]\displaystyle \text{Re}=\frac{\rho w_c L_c}{\mu}[/tex].
Invece dal bilancio dell'energia:
[tex]\displaystyle \frac{\text{d}}{\text{d}t} \left(\rho e\right)=-\text{div} \left(\rho \underline{w} e\right) - \text{div}\left( \underline{q}\right) - \text{div}\left( \underline{l}\right)+\sigma[/tex] (**)
si ricava il numero di Péclet, che è il rapporto tra gli ordini di grandezza dei termini avvettivi e di quelli diffusivi:
[tex]\displaystyle \text{Pé} = \frac{\rho w_c c L_c}{k}[/tex].
Ciò che mi chiedo è: ma [tex]\text{Re}[/tex] e [tex]\text{Pé}[/tex] non danno la stessa informazione, dal momento che le forze d'inerzia controllano i flussi avvettivi e quelle viscose i flussi diffusivi? Perché sono correlati tramite [tex]\text{Pr}[/tex]?
Sul quaderno ho scritto: "se [tex]\text{Pé}>100[/tex] si può trascurare la conduzione nella direzione del movimento". Non mi è molto chiara questa frase, visto che se [tex]\text{Pé}[/tex] è grande fanno da padroni i flussi avvettivi, che avvengono proprio in direzione del moto del fluido.
Risposte
Conosco una derivazione (definizione) diversa del Numero di Peclèt: $Pè=RePr$, che spiega direttamente come siano correlati attraverso il numero $Pr$
Da questo si deduce anche che i numeri $Pè$ e $Re$ non danno la stessa informazione, visto che il numero $Pr$ deriva dall'adimensionalizzazione dell'equazione della trasmissione di energia (sostanzialmente l'equazione di Fourier), mentre il $Re$ da quella della quantità di moto.
Penso che per conduzione in direzione del flusso si intenda trasmissione dell'energia attraverso il fluido, nella sua direzione, escludendo quella dovuta al trasporto di massa.
Da notare che nell'adimensionalizzazione viene preso in considerazione solo l'effetto della trasmissione del calore attraverso il fluido, non attraverso la parete. Questa è presente implicitamente nelle condizioni al bordo del problema, come distribuzione della temperatura sulla parete in funzione della coordinata della direzione del flusso, da cui la differenza tra il numero di Nusselt nei casi estremi di flusso alla parete costante e temperatura alla parete costante.
Da questo si deduce anche che i numeri $Pè$ e $Re$ non danno la stessa informazione, visto che il numero $Pr$ deriva dall'adimensionalizzazione dell'equazione della trasmissione di energia (sostanzialmente l'equazione di Fourier), mentre il $Re$ da quella della quantità di moto.
Penso che per conduzione in direzione del flusso si intenda trasmissione dell'energia attraverso il fluido, nella sua direzione, escludendo quella dovuta al trasporto di massa.
Da notare che nell'adimensionalizzazione viene preso in considerazione solo l'effetto della trasmissione del calore attraverso il fluido, non attraverso la parete. Questa è presente implicitamente nelle condizioni al bordo del problema, come distribuzione della temperatura sulla parete in funzione della coordinata della direzione del flusso, da cui la differenza tra il numero di Nusselt nei casi estremi di flusso alla parete costante e temperatura alla parete costante.
"nnsoxke":
Penso che per conduzione in direzione del flusso si intenda trasmissione dell'energia attraverso il fluido, nella sua direzione, escludendo quella dovuta al trasporto di massa.
Ok, questo ora mi è chiaro. Se [tex]\text{Pé}[/tex] è grande sto assumendo che, nella direzione del flusso, lo scambio per conduzione sia trascurabile rispetto a quello per avvezione.
"nnsoxke":
Conosco una derivazione (definizione) diversa del Numero di Peclèt: $Pè=RePr$, che spiega direttamente come siano correlati attraverso il numero $Pr$
Da questo si deduce anche che i numeri $Pè$ e $Re$ non danno la stessa informazione, visto che il numero $Pr$ deriva dall'adimensionalizzazione dell'equazione della trasmissione di energia (sostanzialmente l'equazione di Fourier), mentre il $Re$ da quella della quantità di moto.
La relazione [tex]\text{Pé}=\text{Re}\cdot \text{Pr}[/tex] di fatto l'abbiamo usata come definizione del numero di Prandtl. Ma per equazione di Fourier intendi quella del calore?
E' come se il numero di Péclet contenesse al suo interno un pò più di informazione rispetto a quello di Reynolds, perché puoi avere dominio delle forze d'inerzia su quelle viscose (Reynolds grande), ma se la diffusività termica sovrasta quella del momento (Prandtl piccolo), l'avvezione non domina sulla diffusione (ma potrei dire un bel pò di fesserie: non è proprio il mio campo...)
"nnsoxke":
Da notare che nell'adimensionalizzazione viene preso in considerazione solo l'effetto della trasmissione del calore attraverso il fluido, non attraverso la parete. Questa è presente implicitamente nelle condizioni al bordo del problema, come distribuzione della temperatura sulla parete in funzione della coordinata della direzione del flusso, da cui la differenza tra il numero di Nusselt nei casi estremi di flusso alla parete costante e temperatura alla parete costante.
A scanso di equivoci, ti riferisci all'equazione
[tex]\displaystyle h\left(T_s-T_{\infty}\right)=-k \left. \frac{\partial T}{\partial y}\right|_{y=0}[/tex]
(condizione di aderenza), giusto? Del resto, se si considerasse la trasmissione attraverso la parete il Nusselt diventerebbe Biot.
Abbiamo considerato il caso in cui la [tex]T_s[/tex] di una lastra piana sia costante e ricavato il numero di Nusselt medio tramite una media integrale di [tex]h_x[/tex]:
[tex]\displaystyle \overline{\text{Nu}}_L=\frac{\overline{h}_L L}{k}[/tex].
Cosa cambia imponendo un flusso costante?
Visto che ci sono: perché Nusselt (tramite correlazioni) si può legare a Prandtl e Reynolds? C'entra il teorema di Buckingham?
Non escludo che ai numeri adimensionali possa essere trovato un significato e definire l'uno rispetto agli altri due in diversi modi, l'importante è verificare che sia $Pé=RePr$, da cui si spiega la correlazione.
Si quella è l'equazione a cui ci si riferisce quando si definisce il coefficiente di scambio.
Imponendo un flusso costante cambiano le condizioni al bordo e quindi anche la soluzione del problema, da cui si ha un differente gradiente di temperatura sulla parete e un diverso numero di Nusselt.
Per quanto riguarda l'esempio della lastra, penso che tu ti riferisca alla soluzione del problema nel caso di moto laminare con ingresso termico (e dinamico?).
Si in quel caso viene ricavato il numero di Nusselt medio in funzione della distanza dall'ingresso, il suo valore è maggiore vicino all'ingresso, come si può anche immaginare il gradiente di temperatura normale alla parete sulla parete è maggiore nel tratto in cui il fluido ancora non è stato scaldato (o raffreddato) molto (o nel tratto in cui ancora non si è sviluppato dinamicamente).
Non conosco il numero di Biot...
Non ricordo bene il teorema di cui parli, comunque guardando la condizione di aderenza che hai riportato, se la soluzione del problema dà la stessa distribuzione di temperatura, quindi anche stesso gradiente di temperatura normale alla parete, è facile vedere che il coefficiente di scambio è proporzionale alla conducibilità termica. Questo deriva dalla supposizione che vi sia sulla superficie un sottile strato di fluido che permanentemente rimane fermo rispetto a questa e in cui quindi vi sia flusso termico solo per conduzione, con conduciblità termica pari a quella del fluido.
La distribuzione di temperatura soluzione del problema dipende dalle condizioni al bordo e dai coefficienti che compaiono nelle equazioni, che possono essere adimensionalizzate, definendo dei numeri puri come coefficienti.
Riguardo alla similitudine geometrica ho qualche dubbio, non riesco a trovare una spiegazione, nelle equazioni rimane presente una lunghezza caratteristica a moltiplicare i coefficienti adimensionali. La spiegazione penso che dovrebbe essere ricercata in maniera più dettagliata anche nelle operazioni di integrazione.
Si quella è l'equazione a cui ci si riferisce quando si definisce il coefficiente di scambio.
Imponendo un flusso costante cambiano le condizioni al bordo e quindi anche la soluzione del problema, da cui si ha un differente gradiente di temperatura sulla parete e un diverso numero di Nusselt.
Per quanto riguarda l'esempio della lastra, penso che tu ti riferisca alla soluzione del problema nel caso di moto laminare con ingresso termico (e dinamico?).
Si in quel caso viene ricavato il numero di Nusselt medio in funzione della distanza dall'ingresso, il suo valore è maggiore vicino all'ingresso, come si può anche immaginare il gradiente di temperatura normale alla parete sulla parete è maggiore nel tratto in cui il fluido ancora non è stato scaldato (o raffreddato) molto (o nel tratto in cui ancora non si è sviluppato dinamicamente).
Non conosco il numero di Biot...
Non ricordo bene il teorema di cui parli, comunque guardando la condizione di aderenza che hai riportato, se la soluzione del problema dà la stessa distribuzione di temperatura, quindi anche stesso gradiente di temperatura normale alla parete, è facile vedere che il coefficiente di scambio è proporzionale alla conducibilità termica. Questo deriva dalla supposizione che vi sia sulla superficie un sottile strato di fluido che permanentemente rimane fermo rispetto a questa e in cui quindi vi sia flusso termico solo per conduzione, con conduciblità termica pari a quella del fluido.
La distribuzione di temperatura soluzione del problema dipende dalle condizioni al bordo e dai coefficienti che compaiono nelle equazioni, che possono essere adimensionalizzate, definendo dei numeri puri come coefficienti.
Riguardo alla similitudine geometrica ho qualche dubbio, non riesco a trovare una spiegazione, nelle equazioni rimane presente una lunghezza caratteristica a moltiplicare i coefficienti adimensionali. La spiegazione penso che dovrebbe essere ricercata in maniera più dettagliata anche nelle operazioni di integrazione.
"nnsoxke":
Per quanto riguarda l'esempio della lastra, penso che tu ti riferisca alla soluzione del problema nel caso di moto laminare con ingresso termico (e dinamico?).
Si in quel caso viene ricavato il numero di Nusselt medio in funzione della distanza dall'ingresso, il suo valore è maggiore vicino all'ingresso, come si può anche immaginare il gradiente di temperatura normale alla parete sulla parete è maggiore nel tratto in cui il fluido ancora non è stato scaldato (o raffreddato) molto.
Si, ingresso termico e dinamico. Penso volessi dire che il gradiente è minore in quel caso (lontano dal bordo d'attacco). Infatti più è alto il gradiente di temperatura sulla parete, più è alto Nusselt (che è definito come gradiente della T adimensionale sulla parete)
"nnsoxke":
Non conosco il numero di Biot...
Deriva dall'adimensionalizzazione dell'equazione del calore. Ti dice in che modo considerare il problema: a parametri concentrati o distribuiti, perché è il rapporto tra la resistenza termica del corpo e quella convettiva.
"nnsoxke":
Non ricordo bene il teorema di cui parli, comunque guardando la condizione di aderenza che hai riportato, se la soluzione del problema dà la stessa distribuzione di temperatura, quindi anche stesso gradiente di temperatura normale alla parete, è facile vedere che il coefficiente di scambio è proporzionale alla conducibilità termica. Questo deriva dalla supposizione che vi sia sulla superficie un sottile strato di fluido che permanentemente rimane fermo rispetto a questa e in cui quindi vi sia flusso termico solo per conduzione, con conduciblità termica pari a quella del fluido.
Beh, è la filosofia che sta dietro al Nusselt, direi. E' il rapporto tra i flussi scambiati nel fluido per convezione e per conduzione.
"nnsoxke":
Riguardo alla similitudine geometrica ho qualche dubbio, non riesco a trovare una spiegazione, nelle equazioni rimane presente una lunghezza caratteristica a moltiplicare i coefficienti adimensionali. La spiegazione penso che dovrebbe essere ricercata in maniera più dettagliata anche nelle operazioni di integrazione.
A che similitudine ti riferisci?
Mi riferisco alla similitudine geometrica, cioè al caso di due diverse situazioni con la stessa forma geometrica ma con dimensioni differenti. Lo scopo dell'introduzione di parametri adimensionali è quello di riuscire ad ottenere sperimentalmente delle correlazioni per una determinata configurazione geometrica caratterizzata da una data dimensione (lunghezza caratteristica), determinate condizioni al bordo e determinati parametri del fluido, che possono essere utilizzate successivamente per prevedere l'entità dello scambio termico (determinazione del coefficiente di scambio) per diversi valori dei parametri adimensionali e della lunghezza caratteristica della particolare geometria.
Per esempio definita la geometria di tubo a sezione circolare, la convezione forzata (forze di galleggiamento trascurabili), le condizioni al bordo di temperatura alla parete costante e data, flusso completamente sviluppato termicamente e dinamicamente, velocità e temperatura del fluido sull'asse del condotto, si ricava una relazione empirica $Nu=CRe^aPr^b$ che è valida nella determinazione del coefficiente di scambio $h=Nu*k/L$ per diversi valori dei parametri adimensionali, quindi della conducibilità termica, e della lunghezza caratteristica $L$ (nel caso del tubo a sezione circolare è il diametro).
Non bastano delle considerazioni sulle unità di misura per spiegare che, almeno facendo alcune approssimazioni, il coefficiente di scambio è legato al numero $Nu$ da quella relazione, devono essere prese in considerazione le equazioni differenziali.
Per esempio definita la geometria di tubo a sezione circolare, la convezione forzata (forze di galleggiamento trascurabili), le condizioni al bordo di temperatura alla parete costante e data, flusso completamente sviluppato termicamente e dinamicamente, velocità e temperatura del fluido sull'asse del condotto, si ricava una relazione empirica $Nu=CRe^aPr^b$ che è valida nella determinazione del coefficiente di scambio $h=Nu*k/L$ per diversi valori dei parametri adimensionali, quindi della conducibilità termica, e della lunghezza caratteristica $L$ (nel caso del tubo a sezione circolare è il diametro).
Non bastano delle considerazioni sulle unità di misura per spiegare che, almeno facendo alcune approssimazioni, il coefficiente di scambio è legato al numero $Nu$ da quella relazione, devono essere prese in considerazione le equazioni differenziali.
Ti ringrazio molto per le risposte. Se puoi, toglimi anche 'na curiosità: il differenziale dell'entalpia è legato a quello della temperatura e della pressione in questo modo:
[tex]$\text{d}h=c_p \text{d}T + (\ldots) \text{d} p$[/tex].
Nei casi che ci interessano, il secondo termine è trascurabile. Ma in generale che c'è tra parentesi?? Il prof non l'ha detto perché effettivamente esula dagli scopi del corso, ma sono curioso e non lo trovo in internet.
[tex]$\text{d}h=c_p \text{d}T + (\ldots) \text{d} p$[/tex].
Nei casi che ci interessano, il secondo termine è trascurabile. Ma in generale che c'è tra parentesi?? Il prof non l'ha detto perché effettivamente esula dagli scopi del corso, ma sono curioso e non lo trovo in internet.
dovrebbe starci
$T(\frac{\partial S}{\partial P})|_{T}+V$
l'ho ricavato partendo dalla relazione $dH=TdS+pdV$ ed elimando $S$ considerando $S=S(T,P)$.. se non ho toppato qualcosa... naturalmente se è per unità di volume devi dividere per $V$, se per unità di massa... insomma queste cose qua..
edit: corretta una T
$T(\frac{\partial S}{\partial P})|_{T}+V$
l'ho ricavato partendo dalla relazione $dH=TdS+pdV$ ed elimando $S$ considerando $S=S(T,P)$.. se non ho toppato qualcosa... naturalmente se è per unità di volume devi dividere per $V$, se per unità di massa... insomma queste cose qua..
edit: corretta una T
Ok, grazie. 
Per una trasformazione quasi statica e reversibile dovrebbe essere:
$dU=-pdV+TdS$
Definendo $H=U+pV$ risulta $dH=dU+pdV+Vdp$
Per un gas perfetto l'energia interna e l'entalpia dipendono solo dalla temperatura (non ricordo di preciso ma mi sembra che possa essere dimostrato con le teoria cinetica dei gas).
$dU=-pdV+TdS$
Definendo $H=U+pV$ risulta $dH=dU+pdV+Vdp$
Per un gas perfetto l'energia interna e l'entalpia dipendono solo dalla temperatura (non ricordo di preciso ma mi sembra che possa essere dimostrato con le teoria cinetica dei gas).
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