Trasformata di fourieri di un segnale "rettangolare&quo

[giozh]

ho la funzione x(t) vale:
2 per -0.5<=t<=0.5
1 per t<-1 e t>1
0 altrove
e devo calcolarne la trasformata. prima cosa scompongo il segnale in due segnali, e la trasformata la calcolo come somma delle trasformate dei due segnali:
[tex]\int_{-1}^{1} e^{-i\omega t} dt +\int_{-1/2}^{1/2}e^{-i\omega t} dt[/tex]
che mi viene
[tex]-\frac{1}{i2\pi f} [ e^{-i2\pi f}-e^{i2\pi f} + e^{-i\pi f}-e^{i\pi f}][/tex]
poi ho trasformato gli esponenziali in coseno+iseno, ma il risultato viene 0:
[tex]-\frac{1}{i2\pi f}[ \cos(-2\pi f) +i \sin(-2\pi f)- \cos(2\pi f)-i \sin(02\pi f) + \cos(-\pi f) +i \sin(-\pi f)- \cos(\pi f)-i \sin(0\pi f) ][/tex]
e non credo che possa venire 0 perchè il risultato mi serve per fare altri esercizi... dove sbaglio?
forse considero male quella f dentro gli argomenti di seno e coseno??

[_luca.barletta]

La somma di quei termini non dà zero.

[giozh]

mmm scusa una cosa che magari è banale, quella f li come la devo considerare?

[_luca.barletta]

Quella che hai scritto è l'espressione della trasformata di $x(t)$, che è una funzione di $f$: $X(f)$.

[Whisky84]

"giozh":mmm scusa una cosa che magari è banale, quella f li come la devo considerare?

che intendi?

Stavo guardando la funzione da [tex]\mathcal{F}[/tex]-trasformare... a me non sembra un impulso rettangolare, ma un impulso rettangolare sommato a due gradini, di cui uno traslato e uno ribaltato e traslato:

[tex]x(t) = rect_1(t) + u_{-1}(t-1) + u_{-1}(-t-1)[/tex]
(Che può essere riscritto anche in altri modi, ovviamente)

Sicuro che questa [tex]\mathcal{F}[/tex]-trasformata non sia da fare sfruttado trasformate notevoli e proprietà della trasformata di Fourier?

[Whisky84]

Ciò che intendo è che il segnale che hai indicato tu parrebbe essere:
[tex]x(t) =
\[\begin{sistema} -
1\qquad t<-1 \\
2\qquad -0.5\leq t\leq 0.5 \\
1\qquad t>1\\
0\quad \textrm{altrimenti}
\end{sistema}\][/tex]

il cui grafico è:
[asvg]axes();
stroke="red";
line([-0.5,0] , [-0.5,2]);
line([-0.5,2], [0.5,2]);
line([0.5,2], [0.5,0]);

line([-1,0],[-1,1]);
line([-1,1],[-6,1]);

line([1,0],[1,1]);
line([1,1],[6,1]);[/asvg]

[giozh]

nono, non è quello il segnale. il segnale a da -1 a -1/2 vale 1, poi da -1/2 a 0 vale 2 e poi è simmetrico rispetto l'origine

"luca.barletta":Quella che hai scritto è l'espressione della trasformata di $x(t)$, che è una funzione di $f$: $X(f)$.

si ma ti giuro, non riesco a capacitarmi di come andare avanti...

[_luca.barletta]

"giozh":
si ma ti giuro, non riesco a capacitarmi di come andare avanti...

devi solo sommare quei termini e scriverli meglio, dovrebbero rimanere solo i termini in seno.

[Whisky84]

"giozh":nono, non è quello il segnale. il segnale a da -1 a -1/2 vale 1, poi da -1/2 a 0 vale 2 e poi è simmetrico rispetto l'origine.

Ahhh ok allora avevi scritto male il segnale nel primo post

Veniamo ai tuoi conti, che alla luce di questo tuo chiarimento risultano quindi essere impostati bene:
[tex]-\dfrac{1}{i2\pi f}\left[e^{-i2\pi f} - e^{i2\pi f} + e^{-i\pi f} - e^{i\pi f}\right][/tex]
e riscriviamo così:
[tex]\dfrac{1}{i2\pi f}\left[ (e^{i2\pi f} -e^{-i2\pi f}) + (e^{i\pi f} - e^{-i\pi f}) \right][/tex]

e ora applica questa formula:
[tex]\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} = \sin(x)[/tex]