Trasformata di Fourier

[Bella1989]

Salve a tutti sono in difficoltà con un'esercizio sulla trasformata di Fourier, ho il seguente segnale x(t)= $ e^-t cos(2πt)u(t) $ e devo calcolarmi la trasformata di Fourier, ho posto y(t)= $ e^-t u(t) $ e z(t)= $ cos (2 pi t) $
la trasformata di Fourier per il segnale x(t) posso scriverla come convoluzione della trasformata del segnale y(t) e z(t) dove Y(f)= $ 1/(1+j 2 pi f) $ e Z(f)= $ 1/2 delta (f-1)+1/2 delta (f+1) $
arrivata a questo punto dovrei fare X(F)=Y(F)*Z(F) ma non riesco ad implementare i calcoli, so che la delta di Dirac costituisce l'elemento unitario, ma non riesco ad implementare i calcoli qualcuno può aiutarmi?? Grazie

[Quinzio]

La strada a cui pensi tu è formalmente corretta, ma nei calcoli richiede qualche abilità con la convoluzione.
Ti conviene pensare a $e^(-t)$ come alla moltiplicazione per una armonica, e quindi applicare le proprietà di base cioè:
$$\mathcal{F}[e^{2\pi i \nu_0t}f(t)](\nu) = \mathcal{F}[f(t)](\nu-\nu_0) $$

poi scomponi il coseno secondo Eulero così
$$cos(t)=\frac{e^{it}+e^{-it}}{2}$$

Infine hai bisogno di quest'ultima trasformata:

$$\mathcal{F}[e^{-at}H(t)](\nu) = \frac{1}{a+2\pi i\nu} $$

Adesso hai gli ingredienti che ti servono.

[Bella1989]

Grazie Quinzio per la risposta adesso provo a farlo