Transitorio Regime Sinusolidale
Ciao a tutti, mi trovo a dover risolvere esercizi sui transitori con ingresso sinusoidale, però non riesco a venirne a capo. Ammettendo di avere un circuito ridotto con Norton, con una resistenza in parallelo con un'induttanza e un generatore di corrente: mi vengono date le condizioni iniziali e la funzione in ingresso. Il mio problema è nel calcolare la particolare, so che deve essere del tipo $Acos(omegat+phi)$ e le dispense mi dicono di utilizzare le trasformate di Steinmetz (fasori), ma non riesco a capire come. Grazie.
Risposte
La particolare è di quel tipo perchè corrisponde all'ingresso sinusoidale applicato ad un circuito del primo ordine.
Ora immagino tu sappia che data una grandezza (tensione o corrente) $x(t)$ si avrà:
$x(t)=(x(0)-x_p(0))*e^-(t/T)+x_p(t)$ con $x_p$ soluzione particolare e $T$ costante di tempo.
Non devi far altro che scrivere l'ingresso in forma fasoriale e impedenze in termini di $R$, $jwL$ e $1/(jwC)$. Trovi l'espressione che lega il fasore $X$ all'ingresso e ne ricavi modulo e fase da sostituire nell'espressione che hai scritto.
La particolare, nel caso sinusoidale, altro non è che il regime, per questo è lecito usare Steinmetz.
Ora immagino tu sappia che data una grandezza (tensione o corrente) $x(t)$ si avrà:
$x(t)=(x(0)-x_p(0))*e^-(t/T)+x_p(t)$ con $x_p$ soluzione particolare e $T$ costante di tempo.
Non devi far altro che scrivere l'ingresso in forma fasoriale e impedenze in termini di $R$, $jwL$ e $1/(jwC)$. Trovi l'espressione che lega il fasore $X$ all'ingresso e ne ricavi modulo e fase da sostituire nell'espressione che hai scritto.
La particolare, nel caso sinusoidale, altro non è che il regime, per questo è lecito usare Steinmetz.
"Benny":
La particolare è di quel tipo perchè corrisponde all'ingresso sinusoidale applicato ad un circuito del primo ordine.
Ora immagino tu sappia che data una grandezza (tensione o corrente) $x(t)$ si avrà:
$x(t)=(x(0)-x_p(0))*e^-(t/T)+x_p(t)$ con $x_p$ soluzione particolare e $T$ costante di tempo.
Non devi far altro che scrivere l'ingresso in forma fasoriale e impedenze in termini di $R$, $jwL$ e $1/(jwC)$. Trovi l'espressione che lega il fasore $X$ all'ingresso e ne ricavi modulo e fase da sostituire nell'espressione che hai scritto.
La particolare, nel caso sinusoidale, altro non è che il regime, per questo è lecito usare Steinmetz.
Allora, pongo meglio il mio problema
Questo è l'esercizio che devo risolvere:
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Inizio riducendo il circuito con Norton e mi trovo ad avere un circuito RL parallelo con un generatore di corrente $-0,05cos(3000t-pi/4)$, una resistenza equivalente di 300 e l'induttanza di 0,1H. Avrei bisogno di capire il bene il procedimento utilizzando i fasori perchè se verifico l'uguaglianza inserendo il mio risultato nell'equazione risolutiva (omogenea associata+particolare), non ottengo un'identità.
Sarà $I_L=300/(300+j(1000*0,1))*I_s$ (partitore di corrente) con $I_s=-0.05e^-jpi\/4$. A questo punto trovi modulo e fase di $I_L$ e le sostituisci ad $A$ e $phi$. Ti torna?
P.S. Studi a Trieste, vero?
P.S. Studi a Trieste, vero?
"Benny":
Sarà $I_L=300/(300+j(1000*0,1))*I_s$ (partitore di corrente) con $I_s=-0.05e^-jpi\/4$. A questo punto trovi modulo e fase di $I_L$ e le sostituisci ad $A$ e $phi$. Ti torna?
P.S. Studi a Trieste, vero?
No, non mi torna perchè nel partitore al denominatore la $omega$ non dovrebbe essere 3000? Comunque si studio a Trieste, anche tu? L'hai capito dal testo dell'esercizio?
Perché ho fatto un errore di battitura, scusami. 
Sì, ho riconosciuto nel disegno la calligrafia del prof. Pastore.
Sì, ho riconosciuto nel disegno la calligrafia del prof. Pastore.
"Benny":
Perché ho fatto un errore di battitura, scusami.
Sì, ho riconosciuto nel disegno la calligrafia del prof. Pastore.
Ecco, allora dovresti sapere cosa sto provando
Se invece ho una sorgente esponenziale, la mia particolare sarà del tipo $Ke^-(t/tau) + C$?
Sì, con $K=A*T_S/(T_S-T)$ e $A$ coefficiente della sorgente. Se non vado errato però $C=0$. Dai tuoi appunti risulta forse il contrario?
"Benny":
Sì, con $K=A*T_S/(T_S-T)$ e $A$ coefficiente della sorgente. Se non vado errato però $C=0$. Dai tuoi appunti risulta forse il contrario?
No mi risulta proprio come dici tu, però in un esercizio mi trovo ad avere un circuito ridotto coi soliti metodi con un parallelo tra una R e una L e una sorgente di corrente esponenziale $-1/10*e^(-1000t)+1/16$ e utilizzando come particolare $Ke^(-t/tau)$ mi si annullano tutti i termini con K quindi la cosa non ha molto senso visto che K è proprio quello che devo trovare. Sbaglio qualcosa, ma non so cosa e non trovo un esercizio svolto di alcun tipo da nessuna parte.
Ma $T$ è il tau del circuito giusto? Quindi $L/R$? E $T_s$ invece cos'è?
Ci deve essere un problema nella pagina, visualizzo bene le tue risposte solo quando rispondo. Chiederò all'amministrazione.
Sì, ho indicato con $T$ la costante di tempo (tau) del circuito (cioè $L/R$ o $GL$ a seconda di come ti è più facile ricordarla) e con $T_S$ la tau della sorgente. Non ricordavo lo script per tau
.
Attenzione, la sorgente che mi hai indicato ha una componente esponenziale ed una continua. Devi usare il principio di sovrapposizione delle particolari.
Sì, ho indicato con $T$ la costante di tempo (tau) del circuito (cioè $L/R$ o $GL$ a seconda di come ti è più facile ricordarla) e con $T_S$ la tau della sorgente. Non ricordavo lo script per tau
.Attenzione, la sorgente che mi hai indicato ha una componente esponenziale ed una continua. Devi usare il principio di sovrapposizione delle particolari.
"Benny":
Ci deve essere un problema nella pagina, visualizzo bene le tue risposte solo quando rispondo. Chiederò all'amministrazione.
Sì, ho indicato con $T$ la costante di tempo (tau) del circuito (cioè $L/R$ o $GL$ a seconda di come ti è più facile ricordarla) e con $T_S$ la tau della sorgente. Non ricordavo lo script per tau
Attenzione, la sorgente che mi hai indicato ha una componente esponenziale ed una continua. Devi usare il principio di sovrapposizione delle particolari.
Ma il $tau$ della sorgente lo ricavo dall'espressione della sorgente una volta che il circuito è ridotto? Comunque in linea di massima dovrei aver capito; la storia della sovrapposizione mi fregava, ma ora dovrei essere ok. L'unico mio altro dubbio è quando nel circuito c'è un generatore dipendente, come mi devo comportare?
Tu potresti anche darmi una mano sulle funzioni di rete? Perché è la seconda tipologia di esercizio dello scritto dell'esame, ma mi creano non pochi problemi! Grazie mille ancora
"burm87":
Ma il $tau$ della sorgente lo ricavo dall'espressione della sorgente una volta che il circuito è ridotto?
Sì.
"burm87":
quando nel circuito c'è un generatore dipendente, come mi devo comportare?
Trovi prima l'espressione della corrente/tensione da cui dipende il generatore e poi l'incognita dipendente dall'uscita del generatore.
"burm87":
Tu potresti anche darmi una mano sulle funzioni di rete?
Sì, se posso. Non ho problemi per il tracciamento dei diagrammi di Bode e nell'uso di Laplace, ma non ti nascondo che Miller era il mio tallone d'Achille, e di solito nei temi d'esame serviva per semplificare il circuito. Oggi e domani però sono occupato, scrivimi pure e ti risponderò, forse anche domani sera.
"Benny":
[quote="burm87"]Ma il $tau$ della sorgente lo ricavo dall'espressione della sorgente una volta che il circuito è ridotto?
Sì.
"burm87":
quando nel circuito c'è un generatore dipendente, come mi devo comportare?
Trovi prima l'espressione della corrente/tensione da cui dipende il generatore e poi l'incognita dipendente dall'uscita del generatore.
"burm87":
Tu potresti anche darmi una mano sulle funzioni di rete?
Sì, se posso. Non ho problemi per il tracciamento dei diagrammi di Bode e nell'uso di Laplace, ma non ti nascondo che Miller era il mio tallone d'Achille, e di solito nei temi d'esame serviva per semplificare il circuito. Oggi e domani però sono occupato, scrivimi pure e ti risponderò, forse anche domani sera.[/quote]
In teoria dovrei aver capito come funziona Miller per quanto riguarda i casi che potrebbero presentarmisi. Invece per quanto riguarda il trasformatore, prendiamo per esempio questo esercizio:
io devo trasformare tutto in impedenze, poi fare due partitori di corrente fino a vedere che corrente circola nell'ultima resistenza a destra? Poi utilizzando $V=R*i$ valuto la tensione ai capi di tale resistenza e poi applicando il trasformatore trovo la $V_u$? Ma in questo modo a cosa serve il condensatore?
Poi ho anche un problemino con un ponte di Wheatstone:
Da quanto ho capito devo utilizzare un partitore di tensione, però ho qualche problema di segno. Avevo fatto la tensione sulla resistenza da 100 in alto meno quella sulla resistenza da 200, però viene diverso da fare la tensione sulla resistenza da 100 in basso meno la tensione sul condensatore e cambia di un segno meno. Come devo fare?
Nel primo caso porterei il condensatore al primario e vi applicherei ai capi il teorema di Norton.
Nel secondo si confrontano i potenziali a monte della resistenza e del condensatore ed è, usando la trasformata di Laplace:
$V_1(s)=1/2V_S(s)-(1/(sC))/(200+1/(sC))$
Nel secondo si confrontano i potenziali a monte della resistenza e del condensatore ed è, usando la trasformata di Laplace:
$V_1(s)=1/2V_S(s)-(1/(sC))/(200+1/(sC))$
"Benny":
Nel primo caso porterei il condensatore al primario e vi applicherei ai capi il teorema di Norton.
Nel secondo si confrontano i potenziali a monte della resistenza e del condensatore ed è, usando la trasformata di Laplace:
$V_1(s)=1/2V_S(s)-(1/(sC))/(200+1/(sC))$
Ok ho capito la cosa del ponte, ma non mi è chiara la prima parte: cosa significa portare il condensatore al primario?
A sinistra del trasformatore, modificandone opportunamente il valore.
"Benny":
A sinistra del trasformatore, modificandone opportunamente il valore.
Ah quindi mi basta spostare il condensatore in parallelo all'ultima resistenza di destra con capacità divisa per 10 ed elimino del tutto il trasformatore? La tensione resta sempre $V_u$?
No, perchè divisa per 10?
La capacità va portata a sinistra, moltiplicata per 100 e la tensione ai suoi capi sarà $10V_u$.
La capacità va portata a sinistra, moltiplicata per 100 e la tensione ai suoi capi sarà $10V_u$.
"Benny":
No, perchè divisa per 10?
La capacità va portata a sinistra, moltiplicata per 100 e la tensione ai suoi capi sarà $10V_u$.
Ok ho capito. Oggi ho fatto lo scritto e ovviamente ha messo l'unica cosa che non sapevamo gestire molto bene, l'operazionale. Come lo devo trattare? Per esempio:
In zona lineare per l'op-amp è $I^(-)=I^+=0$, $v_d=0$.
Di conseguenza la resistenza da 1000 Ohm e il condensatore da $1\muF$ sono cortocircuitati. La resistenza in uscita non ha influenza sulla tensione di uscita, poichè $V_u(s)=-Z_p(s)I_p(s)$, dove $Z_p$ è l'impedenza in alto a destra (parallelo condensatore e resistenza) e $I_p(s)$ è la corrente che attraversa tale impedenza.
Quel che ti conviene fare per trovare la corrente è sostituire tutto quanto sta a destra del nodo quadruplo con un cortocircuito. La corrente entrante in quel punto è la tua incognita. Per il resto, as usual.
In bocca al lupo per l'orale.
Di conseguenza la resistenza da 1000 Ohm e il condensatore da $1\muF$ sono cortocircuitati. La resistenza in uscita non ha influenza sulla tensione di uscita, poichè $V_u(s)=-Z_p(s)I_p(s)$, dove $Z_p$ è l'impedenza in alto a destra (parallelo condensatore e resistenza) e $I_p(s)$ è la corrente che attraversa tale impedenza.
Quel che ti conviene fare per trovare la corrente è sostituire tutto quanto sta a destra del nodo quadruplo con un cortocircuito. La corrente entrante in quel punto è la tua incognita. Per il resto, as usual.
In bocca al lupo per l'orale.
"Benny":
In zona lineare per l'op-amp è $I^(-)=I^+=0$, $v_d=0$.
Di conseguenza la resistenza da 1000 Ohm e il condensatore da $1\muF$ sono cortocircuitati. La resistenza in uscita non ha influenza sulla tensione di uscita, poichè $V_u(s)=-Z_p(s)I_p(s)$, dove $Z_p$ è l'impedenza in alto a destra (parallelo condensatore e resistenza) e $I_p(s)$ è la corrente che attraversa tale impedenza.
Quel che ti conviene fare per trovare la corrente è sostituire tutto quanto sta a destra del nodo quadruplo con un cortocircuito. La corrente entrante in quel punto è la tua incognita. Per il resto, as usual.
In bocca al lupo per l'orale.
Ma io posso ridisegnare il circuito buttando via operazionale, resistenze da 1000 e da 100 e condensatore ed attaccare il nodo che trovo dopo la punta a destra dell'operazionale sotto al condesatore da $1muF$ (che butto via)?
Dopo dovrei solo trovare la corrente che entra nel ramo in cui ho condensatore e resistenza in parallelo, magari porto di qua anche condensatore e generatore rispettando le regole del trasformatore e poi dovrebbe essere fattibile. Sbaglio?
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