Tracciamento diagrammi nyquist polo nell'origine
Ciao a tutti; ho un grosso dubbio; non riesco a capire come si faccia a tracciare il diagramma di nyquist; nel caso in cui abbia poli nell'origine; io per tracciare il diagramma in generale procedo; così:
1)Come prima cosa; considero la funzione di trasferimento ad anello aperto; poi razionalizzo; dividendo parte reale da parte immaginaria.
2)Assegno vari valori ad $\omega$; però quando ho un polo nell'origine; la parte immaginaria mi tende a $+\infty$.
Chi mi spiega come si fa?
Considero ad esempio questa funzione:
$G(S)=(S+1)/(S(S+2))$
Vi ringrazio anticipatamente.
1)Come prima cosa; considero la funzione di trasferimento ad anello aperto; poi razionalizzo; dividendo parte reale da parte immaginaria.
2)Assegno vari valori ad $\omega$; però quando ho un polo nell'origine; la parte immaginaria mi tende a $+\infty$.
Chi mi spiega come si fa?
Considero ad esempio questa funzione:
$G(S)=(S+1)/(S(S+2))$
Vi ringrazio anticipatamente.
Risposte
Credo di fare come dici tu, ma non capisco cosa intendi per contributi... Se intendi i diagrammi asintotici di fase e modulo sono daccordo 
Cmq ti scrivo un esempio di come opero io
Vogliamo calcolare qualitativamente in diagramma di Bode per la seguente funzione di trasferimento
[tex]\displaystyle G(s)=\frac{(s-1)}{s(s+10)^{2}}[/tex]
Innanzitutto scriviamo la funzione in forma di Bode e troviamo la relativa risposta armonica sostituendo $s=j\omega$
[tex]\displaystyle G(s)=-\frac{1}{100}\frac{\left(1-s\right)}{s\left(1+\frac{s}{10}\right)^{2}}\Rightarrow G(j\omega)=-\frac{1}{100}\frac{\left(1-j\omega\right)}{j\omega\left(1+\frac{j\omega}{10}\right)^{2}}[/tex]
Possiamo immediatamente notare come la funzione sia costituita da una costante $K=-1/100$, da uno zero semplice $(1-j\omega)$, da un polo nell'origine e da un polo semplice doppio [tex]\displaystyle\left(1+\frac{j\omega}{10}\right)^{2}[/tex].
Occupiamoci prima dell'andamento asintotico delle ampiezze.
1) Il termine costante sfasa tutto il grafico di un valore pari a $20log_{10}|K|=-40$
2) Il polo nell'origine equivale ad una retta passante per il punto[tex]\displaystyle\left(\omega_{0},0\text{dB}\right)=\left(1,0\text{dB}\right)[/tex]
3) Lo zero ha $\tau=-1$, quindi il grafico delle ampiezze vale 0 fino a $1/|\tau|=1$ dopo di che diventa una retta con pendenza $+20\text{dB}$
4) Il polo doppio ha $\tau=10$, quindi il grafico delle ampiezze vale $0$ fino a $1/\tau=10$ dopo di che diviene una retta con pendenza -40dB
Il grafico asintotico delle ampiezze è dato dalla somma dei grafici asintotici dei singoli termini.
Per quanto riguarda la fase
1) Il termine costante, essendo negativo, trasla tutta la fase sulle ordinate di un valore $-\pi$
2) Il polo in zero trasla la fase di un valore $-\pi/2$
3) Lo zero ha come diagramma asintotico di fase 0 fino ad una decade prima del punto di rottura, ovvero fino a [tex]\displaystyle \omega_a=1/{10|\tau|}=0.1[/tex], da [tex]\displaystyle \omega_b=10\cdot 1/|\tau|[/tex] in poi l'asintoto vale $-\pi/2$. Collegando con un segmento i punti $(\omega_a,0)$ ed $(omega_b,-\pi/2)$ ottieni anche la tangente obliqua
------> 3.1) Essendo uno zero l'asintoto dopo $1/|\tau|$ dovrebbe valere $\pi/2$, ma siccome $\tau$ è negativa il grafico va ribaltato rispetto alle ascisse
4) Per il polo doppio fai lo stesso ragionamento di prima, ricordando che siccome è al quadrato dopo il secondo punto di rottura $\omega_b$ l'asintoto vale $-\pi$ e non $-\pi/2$.
L'asintoto del diagramma di Bode è dato dalla somma degli asintoti dei singoli elementi. Ricorda che traslare sulle ordinate il grafico di un valore di $2n\pi$ non varia il significato del diagramma.
Possiamo quindi finalmente tracciare un diagramma qualitativo sia delle ampiezze che delle fasi basandoci sugli asintoti, che puoi vedere qui sotto (quelli colorati sono i singoli contributi, quello nero tratteggiato è il diagramma di bode asintotico mentre quello nero continuo è il bode effettivo)
Cmq ti scrivo un esempio di come opero ioVogliamo calcolare qualitativamente in diagramma di Bode per la seguente funzione di trasferimento
[tex]\displaystyle G(s)=\frac{(s-1)}{s(s+10)^{2}}[/tex]
Innanzitutto scriviamo la funzione in forma di Bode e troviamo la relativa risposta armonica sostituendo $s=j\omega$
[tex]\displaystyle G(s)=-\frac{1}{100}\frac{\left(1-s\right)}{s\left(1+\frac{s}{10}\right)^{2}}\Rightarrow G(j\omega)=-\frac{1}{100}\frac{\left(1-j\omega\right)}{j\omega\left(1+\frac{j\omega}{10}\right)^{2}}[/tex]
Possiamo immediatamente notare come la funzione sia costituita da una costante $K=-1/100$, da uno zero semplice $(1-j\omega)$, da un polo nell'origine e da un polo semplice doppio [tex]\displaystyle\left(1+\frac{j\omega}{10}\right)^{2}[/tex].
Occupiamoci prima dell'andamento asintotico delle ampiezze.
1) Il termine costante sfasa tutto il grafico di un valore pari a $20log_{10}|K|=-40$
2) Il polo nell'origine equivale ad una retta passante per il punto[tex]\displaystyle\left(\omega_{0},0\text{dB}\right)=\left(1,0\text{dB}\right)[/tex]
3) Lo zero ha $\tau=-1$, quindi il grafico delle ampiezze vale 0 fino a $1/|\tau|=1$ dopo di che diventa una retta con pendenza $+20\text{dB}$
4) Il polo doppio ha $\tau=10$, quindi il grafico delle ampiezze vale $0$ fino a $1/\tau=10$ dopo di che diviene una retta con pendenza -40dB
Il grafico asintotico delle ampiezze è dato dalla somma dei grafici asintotici dei singoli termini.
Per quanto riguarda la fase
1) Il termine costante, essendo negativo, trasla tutta la fase sulle ordinate di un valore $-\pi$
2) Il polo in zero trasla la fase di un valore $-\pi/2$
3) Lo zero ha come diagramma asintotico di fase 0 fino ad una decade prima del punto di rottura, ovvero fino a [tex]\displaystyle \omega_a=1/{10|\tau|}=0.1[/tex], da [tex]\displaystyle \omega_b=10\cdot 1/|\tau|[/tex] in poi l'asintoto vale $-\pi/2$. Collegando con un segmento i punti $(\omega_a,0)$ ed $(omega_b,-\pi/2)$ ottieni anche la tangente obliqua
------> 3.1) Essendo uno zero l'asintoto dopo $1/|\tau|$ dovrebbe valere $\pi/2$, ma siccome $\tau$ è negativa il grafico va ribaltato rispetto alle ascisse
4) Per il polo doppio fai lo stesso ragionamento di prima, ricordando che siccome è al quadrato dopo il secondo punto di rottura $\omega_b$ l'asintoto vale $-\pi$ e non $-\pi/2$.
L'asintoto del diagramma di Bode è dato dalla somma degli asintoti dei singoli elementi. Ricorda che traslare sulle ordinate il grafico di un valore di $2n\pi$ non varia il significato del diagramma.
Possiamo quindi finalmente tracciare un diagramma qualitativo sia delle ampiezze che delle fasi basandoci sugli asintoti, che puoi vedere qui sotto (quelli colorati sono i singoli contributi, quello nero tratteggiato è il diagramma di bode asintotico mentre quello nero continuo è il bode effettivo)
scusa non avevo visto l'ultimo mess. LO leggo e ri rispondo
"identikit_man":
Stavo rivedendo gli appunti; e ho visto un esercizio; di cui non ho capito come il prof; ha tracciato il diagramma della seguente funzione:
$F(s)= (2(s-2))/(3(s+10))$
In questo caso ho uno zero positivo.Come prima cosa la scrivo in forma di bode:
$-2*2((1-s/2))/(s10(1+s/10))= -2/5*((1-s/2))/(s(1+s/10))$
Ora quando vado a calcolare i singoli contributi alle fase; come dovrò fare per calcolare; il contributo del polo positivo.Il mio prof; ha tracciato una retta a $180°$; per $\omega<0.2$ e poi per $\omega>20$ una retta a $90°$.Perchè procede così?
Il fatto che la fase diminuisca si trova, perchè pur essendo uno zero ha la $\tau$ negativa e quindi la fase si ribalta. Non capisco sinceramente perchè parta da 180... a meno che non tiene conto contemporaneamente anche della costante di bode (che ti trasla di 180 la fase), ma a questo punto dovrebbe traslare di altri 90° per la presenza dell'integratore... Sinceramente non capisco perchè faccia così... Ripeto, l'unica cosa plausibile e che abbia considerato in un solo grafico la fase della costante e dello zero
Allora il mio prof; negli appunti ha scritto che:
se considero 2 fattori del tipo:
$j\omega+2$ e $j\omega-2$
Allora la fase del secondo fattore la trovo usando la formula $\pi-\alpha$
Allora i 2 fattori hanno stesso modulo; ma fase diversa.Inoltre provando a tracciare il diagramma della fase del secondo numero con matlab ho ottenuto:
[/img]
Come mai la fase parte da $180°$?
Inoltre guardando l'esempio che hai postato; ho notato; che la fase della costante di guadagno è tracciata a $180°$.Non dovrebbe essere a $-180°$ in quanto negativa?
se considero 2 fattori del tipo:
$j\omega+2$ e $j\omega-2$
Allora la fase del secondo fattore la trovo usando la formula $\pi-\alpha$
Allora i 2 fattori hanno stesso modulo; ma fase diversa.Inoltre provando a tracciare il diagramma della fase del secondo numero con matlab ho ottenuto:
[/img]Come mai la fase parte da $180°$?
Inoltre guardando l'esempio che hai postato; ho notato; che la fase della costante di guadagno è tracciata a $180°$.Non dovrebbe essere a $-180°$ in quanto negativa?
Semplicemente perchè angoli che sono diversi per multipli di 360° sono equivalenti, quindi o -180 o (-180+360)=180 è la stessa cosa
Hai ragione; sono io che dormo; non ci avevo completamente fatto caso.E riguardo al grafico che ti ho postato sulla fase tracciato con matlab.E' corretto?
Però riguardo allo zero $j\omega-2$; ho fatto caso ad una cosa dopo averlo scritto come: $(j\omega)/2-1$ allora se $\omega<2$; posso trascurare la parte immaginaria e rimane solo un numero negativo; e quindi con fase $180°$; se $\omega>2$; allora posso trascurare la parte reale; e avrò solo parte immaginaria con fase $90°$.O sbaglio?
Però riguardo allo zero $j\omega-2$; ho fatto caso ad una cosa dopo averlo scritto come: $(j\omega)/2-1$ allora se $\omega<2$; posso trascurare la parte immaginaria e rimane solo un numero negativo; e quindi con fase $180°$; se $\omega>2$; allora posso trascurare la parte reale; e avrò solo parte immaginaria con fase $90°$.O sbaglio?
"identikit_man":
Quella fdt che ho postato è un esempio semplice; era per capire come fare; comunque ne posto una del compito; e poi magari proviamo a farla:
$F(S)=K (S+2)/(5S(S+10)(S+3))$; questa è la fdt ad anello aperto di un sistema retroazionato;di cui mi viene chiesto si analizzarne la stabilità tramite nyquist.
Puoi aiutarmai?
Allora ho già tracciato il diagramma di bode; come faccio ora a partire da questo a tracciare;il diagramma di nyquist?
Fammi vedere bode così ti faccio capire 1 pò come fare
Questo è il diagramma sia asintotico che reale di argomento e fase.La parte in nero rappresenta il diagramma totale; invece le rette colorate sono i singoli contributi; di ogni polo e zero.
Bastava anche il grafico reale solamente In ogni caso ti spiego come si procede.
Si calcola (volendo) l'asintoto di nyquist, infatti siccome la fase tende a -90° per $\omega \rarr 0$ probabilmente avrai un valore per il quale la parte reale tende asintoticamente per valori di pulsazione che tendono a 0. Ma per questo dovrei avere la fdt, in ogni caso non è obbligatorio.
Guardando bode vediamo che il grafico delle ampiezze tende sempre a diminuire, quindi in generale disegnando nyquist dovremo avvicinarci sempre di più all'origine (dove il grafico termina).
Per quanto riguarda le fasi, si nota che il grafico parte da un valore leggermente superiore a -90° (con l'asintoto lo riesci a dire in tutta sicurezza), quindi cominciamo tracciando l'inizio del diagramma di nyquist [in rosso] (notare che il modulo tende a - infinito)
Mentre il modulo diminuisce, la fase tende prima ad aumentare, e poi a tornare a -90°, quindi tocca l'asse immaginario
Ancora il modulo diminuisce e la fase tende a -180°, quindi possiamo capire che il grafico "entra" nell'origine seguendo in maniera asintotica il semiasse reale negativo
Il precedente è il diagramma qualitativo di nyquist, per ottenere il diagramma qualitativo completo ti basta ribaltare questo rispetto all'asse reale ed eventualmente procedere alla richiusura
In ogni caso ti spiego come si procede.Si calcola (volendo) l'asintoto di nyquist, infatti siccome la fase tende a -90° per $\omega \rarr 0$ probabilmente avrai un valore per il quale la parte reale tende asintoticamente per valori di pulsazione che tendono a 0. Ma per questo dovrei avere la fdt, in ogni caso non è obbligatorio.
Guardando bode vediamo che il grafico delle ampiezze tende sempre a diminuire, quindi in generale disegnando nyquist dovremo avvicinarci sempre di più all'origine (dove il grafico termina).
Per quanto riguarda le fasi, si nota che il grafico parte da un valore leggermente superiore a -90° (con l'asintoto lo riesci a dire in tutta sicurezza), quindi cominciamo tracciando l'inizio del diagramma di nyquist [in rosso] (notare che il modulo tende a - infinito)
Mentre il modulo diminuisce, la fase tende prima ad aumentare, e poi a tornare a -90°, quindi tocca l'asse immaginario
Ancora il modulo diminuisce e la fase tende a -180°, quindi possiamo capire che il grafico "entra" nell'origine seguendo in maniera asintotica il semiasse reale negativo
Il precedente è il diagramma qualitativo di nyquist, per ottenere il diagramma qualitativo completo ti basta ribaltare questo rispetto all'asse reale ed eventualmente procedere alla richiusura
Grazie per l'aiuto enpires; ti volevo chiedere anche una cosa relativa alla razionalizzazione dei numeri complessi;
La mia fdt è la seguente:
$(j\omega+2)/(5j\omega(j\omega+10)(j\omega+3)$ ora per fare il diagramma di nyquist dovrei razionalizzare; cioè moltiplicare per il complesso coniugato del denominatore; allora mi chiedo; devo prima svolgere tutti quei prodotti e poi moltiplicare per il complesso coniugato del termine che mi viene fuori?
Oppure devo moltiplicare direttamente ogni termine al denominatore; per il proprio complesso coniugato?
La mia fdt è la seguente:
$(j\omega+2)/(5j\omega(j\omega+10)(j\omega+3)$ ora per fare il diagramma di nyquist dovrei razionalizzare; cioè moltiplicare per il complesso coniugato del denominatore; allora mi chiedo; devo prima svolgere tutti quei prodotti e poi moltiplicare per il complesso coniugato del termine che mi viene fuori?
Oppure devo moltiplicare direttamente ogni termine al denominatore; per il proprio complesso coniugato?
Guarda, io non so se utilizzare questo metodo che scrivi tu ti aiuta a fare nyquist per punti (per punti non l'ho mai fatto sinceramente), ma per farlo qualitativo come ti ho descritto io fare la razionalizzazione non serve in quanto ti basta bode.
Poi non so se il tuo prof lo vuole necessariamente per punti, o gli basta averlo qualitativo
Poi non so se il tuo prof lo vuole necessariamente per punti, o gli basta averlo qualitativo
Lo vuole per punti.Infatti chiede di dividere parte reale da parte immaginaria.
Eh ma allora se non lo vuole qualitativo tutto quello che ti ho spiegato è inutile... Ma scusami nyquist non vi serve per valutare la stabilità? A che prò farlo per punti?
Bo non so; lui negli esercizi chiede di analizzare la stabilità di un sistema retroazionato; tramite il criterio di nyquist.Io però non riesco a capire come fare a tracciarlo; nel caso in cui ho un polo/zero nell'origine.
Scusa enpires; potresti spiegarmi come avviene la somma dei singoli contributi delle fasi; nel diagramma asintotico;che ti ho postato io?
Spiegandomelo passo passo; non riesco a capire come si fa a tracciare l'andamento asintotico della fase totale.....
Scusa enpires; potresti spiegarmi come avviene la somma dei singoli contributi delle fasi; nel diagramma asintotico;che ti ho postato io?
Spiegandomelo passo passo; non riesco a capire come si fa a tracciare l'andamento asintotico della fase totale.....
"identikit_man":
Bo non so; lui negli esercizi chiede di analizzare la stabilità di un sistema retroazionato; tramite il criterio di nyquist.Io però non riesco a capire come fare a tracciarlo; nel caso in cui ho un polo/zero nell'origine.
Scusa enpires; potresti spiegarmi come avviene la somma dei singoli contributi delle fasi; nel diagramma asintotico;che ti ho postato io?
Spiegandomelo passo passo; non riesco a capire come si fa a tracciare l'andamento asintotico della fase totale.....
Ma quindi allora stai parlando di bode??
Cmq sia se ti chiede di applicare il criterio di nyquist allora il diagramma qualitativo (come ti ho mostrato io) va più che bene
"identikit_man":
Lo vuole per punti.Infatti chiede di dividere parte reale da parte immaginaria.
Mah... Contento lui (e voi che gli lasciate fare una cosa simile!! Ribellatevi!)
Solitamente nell'esercizio; c'è anche un certo parametro $k$; e ci viene chiesto di analizzare la stabilità del sistema retroazionato al variare del parametro.
questo non comporta alcun problema, ti basta dividere l'asse reale in segmenti/semirette dati dall'intersezione del diagramma di nyquist con l'asse stesso.
Ricordando poi che l'analisi del sistema retroazionato con controllore proporzionale $K$ tramite il criterio di nyquist equivale all'analisi col criterio di nyquist del diagramma di nyquist della fdt rispetto al punto (variabile) -1/K, dove K è il K del controllore proporzionale
Ricordando poi che l'analisi del sistema retroazionato con controllore proporzionale $K$ tramite il criterio di nyquist equivale all'analisi col criterio di nyquist del diagramma di nyquist della fdt rispetto al punto (variabile) -1/K, dove K è il K del controllore proporzionale
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