Tracciamento diagrammi nyquist polo nell'origine
Ciao a tutti; ho un grosso dubbio; non riesco a capire come si faccia a tracciare il diagramma di nyquist; nel caso in cui abbia poli nell'origine; io per tracciare il diagramma in generale procedo; così:
1)Come prima cosa; considero la funzione di trasferimento ad anello aperto; poi razionalizzo; dividendo parte reale da parte immaginaria.
2)Assegno vari valori ad $\omega$; però quando ho un polo nell'origine; la parte immaginaria mi tende a $+\infty$.
Chi mi spiega come si fa?
Considero ad esempio questa funzione:
$G(S)=(S+1)/(S(S+2))$
Vi ringrazio anticipatamente.
1)Come prima cosa; considero la funzione di trasferimento ad anello aperto; poi razionalizzo; dividendo parte reale da parte immaginaria.
2)Assegno vari valori ad $\omega$; però quando ho un polo nell'origine; la parte immaginaria mi tende a $+\infty$.
Chi mi spiega come si fa?
Considero ad esempio questa funzione:
$G(S)=(S+1)/(S(S+2))$
Vi ringrazio anticipatamente.
Risposte
Premessa: conviene disegnare Nyquist a partire da Bode, e non per punti. Per quello c'è il computer, che è stupido ma sa disegnare bene.
Detto ciò, dal diagramma di Bode della tua funzione di trasferimento puoi facilmente desumere che il diagramma di Nyquist avrà un asintoto verticale, infatti come hai giustamente trovato la parte immaginaria della fdt diventa infinita per le alte frequenze, pur essendo associata ad una parte reale finita. L'asintoto verticale c'è per tutti i sistemi con un polo nell'origine.
Qui si è parlato degli asintoti verticali: http://www.matematicamente.it/forum/diagramma-di-nyquist-t51979-10.html
Detto ciò, dal diagramma di Bode della tua funzione di trasferimento puoi facilmente desumere che il diagramma di Nyquist avrà un asintoto verticale, infatti come hai giustamente trovato la parte immaginaria della fdt diventa infinita per le alte frequenze, pur essendo associata ad una parte reale finita. L'asintoto verticale c'è per tutti i sistemi con un polo nell'origine.
Qui si è parlato degli asintoti verticali: http://www.matematicamente.it/forum/diagramma-di-nyquist-t51979-10.html
Ma spesso durante il compito il mio prof; chiede di tracciare il diagramma di nyquist; e quindi penso che non mi convenga prima fare Bode; in quanto impiegherei più tempo.
"identikit_man":
Ma spesso durante il compito il mio prof; chiede di tracciare il diagramma di nyquist; e quindi penso che non mi convenga prima fare Bode; in quanto impiegherei più tempo.
Non c'è bisogno di fare Bode in maniera estremamente precisa, basta un abbozzo per capire l'andamento del modulo, ma soprattutto della fase (in particolare gli attraversamenti dell'asse reale). Ad esempio, per la fdt che hai postato ci vogliono circa 1 minuto per Bode e 1 altro minuto per Nyquist. Giuro!
Quella fdt che ho postato è un esempio semplice; era per capire come fare; comunque ne posto una del compito; e poi magari proviamo a farla:
$F(S)=K (S+2)/(5S(S+10)(S+3))$; questa è la fdt ad anello aperto di un sistema retroazionato;di cui mi viene chiesto si analizzarne la stabilità tramite nyquist.
Puoi aiutarmai?
$F(S)=K (S+2)/(5S(S+10)(S+3))$; questa è la fdt ad anello aperto di un sistema retroazionato;di cui mi viene chiesto si analizzarne la stabilità tramite nyquist.
Puoi aiutarmai?
Hai fatto il diagramma di Bode?
Ora lo faccio e ti faccio sapere.
quoto il suggerimento sull'utilizzare bode, anche perchè solitamente di nyquist serve l'andamento qualitativo... Inoltre per punti si rischia di non vedere alcune particolarità della curva (vedi ad esempio il caso in cui hai poli o zeri complessi coniugati con coefficiente di smorzamento nullo), mentre con bode si notano immediatamente (naturalmente basta un bode asintotico)
Raga sto provando a fare il diagramma di bode sulla funzione non mi è chiara una cosa sulla fase;prendo in considerazione solo lo zero al numeratore; una volta che ho meso in evidenza lo zero avrò questo fattore:
$(1+j\omega/2)$
a questo punto possofare questo ragionamento:
se $\omega<2$ posso approssimare quel fattore solo con $1$; e in questo caso la fase sarà $0$ quindi; nel diagramma delle fasi devo tracciare una linea a $0$ fino alla pulsazione $\omega=2/10$; almeno così mi ha spiegato il prof.
Non riesco a capire perchè viene tracciata una retta fino a $\omega=2/10$ e non fino a $\omega=2$ che si troverebbe nlla seconda decade.
$(1+j\omega/2)$
a questo punto possofare questo ragionamento:
se $\omega<2$ posso approssimare quel fattore solo con $1$; e in questo caso la fase sarà $0$ quindi; nel diagramma delle fasi devo tracciare una linea a $0$ fino alla pulsazione $\omega=2/10$; almeno così mi ha spiegato il prof.
Non riesco a capire perchè viene tracciata una retta fino a $\omega=2/10$ e non fino a $\omega=2$ che si troverebbe nlla seconda decade.
Una volta mi feci gli stessi problemi anche io, sul punto di rottura delle fasi, e risucii (anche grazie a matematicamente) a capire perchè i punti di rottura delle fasi vanno una decade prima ed una decade dopo del punto di rottura delle ampiezze. Ti ricopio i miei appunti che avevo scritto in latex su questo argomento
Dato un polo del tipo $\sqrt{1+\omega^{2}\tau^{2}} $, supponiamo $\tau>0$.
E' immediato verificare che per $\omega$ molto piccoli l'asintoto vale 0, mentre per $\omega$ molto alti l'asintoto vale $-\pi/2$. Per avere una rappresentazione asintotica meno errata possiamo considerare anche l'asindoto dato dalla retta tangente il grafico della fase nel punto di rottura $\omega_0$.
Per calcolare la pendenza di questa retta ci \'e sufficiente valutare la sua derivata su una variazione di scala logaritmica.
Calcoliamo quindi la pendenza della retta tangente al grafico in un generico punto, derivando la funzione fase rispetto al logaritmo della pulsazione:
[tex]\displaystyle-\frac{d\arctan\left(\omega\tau\right)}{d\log_{10}\omega}=-\frac{d\arctan\left(10^{\lambda}\tau\right)}{d\lambda}=-\frac{\tau10^{\lambda}}{1+10^{2\lambda}\tau^{2}}=-\frac{\tau\omega}{1+\tau^{2}\omega^{2}}[/tex]
Fatto ciò possiamo calcolare la pendenza della retta nel punto $\omega=\omega_0$, la quale vale $-1/2$, ovvero la retta forma un angolo di $-\pi/8$ rispetto all'asse delle ascisse.
Possiamo quindi concludere che il diagramma delle fasi \'e formato dai due asintoti $0$ e $-\pi/2$ e dalla retta tangente al punto $(\log_{10}\omega_0,-\pi/4)$ la quale ha pendenza $-\pi/8$.
Volendo è possibile calcolare i due punti $\omega_a$ e $\omega_b$ in cui la tangente al punto di rottura incontra i due asintoti 0 e $-\pi/2$ sfruttando la relazione
[tex]\displaystyle\frac{\pi/4}{log_{10}\omega_{0}-log_{10}\omega_{a}}=\frac{\pi/4}{log_{10}\omega_{b}-log_{10}\omega_{0}}=\frac{\pi}{4}[/tex]
[tex]\displaystyle \frac{1}{log_{10}\omega_{0}-log_{10}\omega_{a}}=\frac{1}{log_{10}\omega_{b}-log_{10}\omega_{0}}=1[/tex]
[tex]\displaystyle \log_{10}\frac{\omega_{0}}{\omega_{a}}=\log_{10}\frac{\omega_{b}}{\omega_{0}}=1[/tex]
[tex]\displaystyle \frac{\omega_{0}}{\omega_{a}}=\frac{\omega_{b}}{\omega_{0}}=10[/tex]
Da quest'ultima relazione ne deriva che il primo punto di rottura $\omega_a$ è una decade prima del punto di rottura delle ampiezze, mentre il secondo punto di rottura $\omega_b$ è una decade dopo
Dato un polo del tipo $\sqrt{1+\omega^{2}\tau^{2}} $, supponiamo $\tau>0$.
E' immediato verificare che per $\omega$ molto piccoli l'asintoto vale 0, mentre per $\omega$ molto alti l'asintoto vale $-\pi/2$. Per avere una rappresentazione asintotica meno errata possiamo considerare anche l'asindoto dato dalla retta tangente il grafico della fase nel punto di rottura $\omega_0$.
Per calcolare la pendenza di questa retta ci \'e sufficiente valutare la sua derivata su una variazione di scala logaritmica.
Calcoliamo quindi la pendenza della retta tangente al grafico in un generico punto, derivando la funzione fase rispetto al logaritmo della pulsazione:
[tex]\displaystyle-\frac{d\arctan\left(\omega\tau\right)}{d\log_{10}\omega}=-\frac{d\arctan\left(10^{\lambda}\tau\right)}{d\lambda}=-\frac{\tau10^{\lambda}}{1+10^{2\lambda}\tau^{2}}=-\frac{\tau\omega}{1+\tau^{2}\omega^{2}}[/tex]
Fatto ciò possiamo calcolare la pendenza della retta nel punto $\omega=\omega_0$, la quale vale $-1/2$, ovvero la retta forma un angolo di $-\pi/8$ rispetto all'asse delle ascisse.
Possiamo quindi concludere che il diagramma delle fasi \'e formato dai due asintoti $0$ e $-\pi/2$ e dalla retta tangente al punto $(\log_{10}\omega_0,-\pi/4)$ la quale ha pendenza $-\pi/8$.
Volendo è possibile calcolare i due punti $\omega_a$ e $\omega_b$ in cui la tangente al punto di rottura incontra i due asintoti 0 e $-\pi/2$ sfruttando la relazione
[tex]\displaystyle\frac{\pi/4}{log_{10}\omega_{0}-log_{10}\omega_{a}}=\frac{\pi/4}{log_{10}\omega_{b}-log_{10}\omega_{0}}=\frac{\pi}{4}[/tex]
[tex]\displaystyle \frac{1}{log_{10}\omega_{0}-log_{10}\omega_{a}}=\frac{1}{log_{10}\omega_{b}-log_{10}\omega_{0}}=1[/tex]
[tex]\displaystyle \log_{10}\frac{\omega_{0}}{\omega_{a}}=\log_{10}\frac{\omega_{b}}{\omega_{0}}=1[/tex]
[tex]\displaystyle \frac{\omega_{0}}{\omega_{a}}=\frac{\omega_{b}}{\omega_{0}}=10[/tex]
Da quest'ultima relazione ne deriva che il primo punto di rottura $\omega_a$ è una decade prima del punto di rottura delle ampiezze, mentre il secondo punto di rottura $\omega_b$ è una decade dopo
Ok più o meno ci sono.Per capire meglio possiamo provare insieme a calcolare la fase del fattore $(1+j\omega/2)$;specificando i vari passaggi.
Inoltre ho anche un altro dubbio se avessi un fattore di questo tipo: $(2s+1)$ come devo procedere a scricverlo in forma di bode?
Perche solitamente metto in evidenza il polo; ma in questo caso come procedo?
Grazie mi state aiutando veramente tanto.
Inoltre ho anche un altro dubbio se avessi un fattore di questo tipo: $(2s+1)$ come devo procedere a scricverlo in forma di bode?
Perche solitamente metto in evidenza il polo; ma in questo caso come procedo?
Grazie mi state aiutando veramente tanto.
[tex]1+2s=1+\dfrac{s}{0.5}[/tex], no?? 
Io avevo pensato di scriverlo come $(s+1/2)$ e poi quindi menntendo in evidenza avrei $1/2(1+s/(1/2))$; invece il mio prof scrive:
$2(s+1/2)$ poi mette in evidenza $1/2$; che quindi portato fuorin si semplifica con il 2 e rimane $(1+s/(1/2))$.que'è ilmodo corretto?
$2(s+1/2)$ poi mette in evidenza $1/2$; che quindi portato fuorin si semplifica con il 2 e rimane $(1+s/(1/2))$.que'è ilmodo corretto?
Non c'è bisogno di mettere in evidenza nulla. La forma di Bode richiede che il polo/zero sia posto nella forma
[tex]1+\dfrac{s}{\omega_0}[/tex]
Nell'esempio che hai riportato mi sembrava abbastanza evidente farlo in un sol passaggio. In definitiva può farlo come vuoi, purchè sia fatto in maniera corretta.
[tex]1+\dfrac{s}{\omega_0}[/tex]
Nell'esempio che hai riportato mi sembrava abbastanza evidente farlo in un sol passaggio. In definitiva può farlo come vuoi, purchè sia fatto in maniera corretta.
"identikit_man":
Inoltre ho anche un altro dubbio se avessi un fattore di questo tipo: $(2s+1)$ come devo procedere a scricverlo in forma di bode?
Perdonami, la forma di bode per una generica $G(s)$ è questa
[tex]\displaystyleG(s)=K\frac{\left(1+\tau_{1}s\right)\left(1+\tau_{2}s\right)\ldots\left(1+2\delta_{1}\frac{s}{\omega_{n1}}+\frac{s^{2}}{\omega_{n1}^{2}}\right)\ldots}{s^{\lambda}\left(1+\tau'_{1}s\right)\left(1+\tau'_{2}s\right)\ldots\left(1+2\delta'_{1}\frac{s}{\omega'_{n1}}+\frac{s^{2}}{\left(\omega'_{n1}\right)^{2}}\right)\cdots}[/tex]
Ovvero, nel semplice caso di una $G(s)=(a+bs)$ la forma di bode è
[tex]\displaystyle G(s)=\frac{1}{a}\left( 1+\frac{b}{a}s\right)[/tex]
Nel tuo caso è gia in questa forma quindi non devi fare nulla
(tant'è che il tuo [tex]\displaystyle\left( 1+\frac{s}{1/2}\right)[/tex] è esattamente la stessa cosa, ti basta ribaltare il denominatore).Non so perchè il tuo prof utilizzi questo tipo di scrittura (che ripeto è equivalente, se non per il fatto che il denominatore è ribaltato), secondo me forse perchè così vedi immediatamente il punto di rottura delle ampiezze (che è uguale al denominatore, mentre nel mio caso è $1/\tau$)
Si però scrivendolo come lo scrive il mio prof; cambia il guadagno; in quanto fuori dalla parentesi gli viene un contributo pari a 1; per via delle semplificazione; invece nel modo scritto da me il guadagno è diverso:
Lafunzione scritta dalmio prof è la seguente:
$F(s)=(2s+1)/(s(s+5))=(2(s+1/2))/(5s(1+s/5))=((1+s/(1/2)))/(5s(1+s/5))$ quindi il guadagno è $1/5$;considerando invece quello che ho scritto io avrei:
$(1/2(1+s/(1/2)))/(5s(1+s/5))$ e quindi avrei un guadagno diverso.
Lafunzione scritta dalmio prof è la seguente:
$F(s)=(2s+1)/(s(s+5))=(2(s+1/2))/(5s(1+s/5))=((1+s/(1/2)))/(5s(1+s/5))$ quindi il guadagno è $1/5$;considerando invece quello che ho scritto io avrei:
$(1/2(1+s/(1/2)))/(5s(1+s/5))$ e quindi avrei un guadagno diverso.
Tu sbagli perchè fai $(2s+1)=(s+1/2)$, che matematicamente non è vero, infatti per scriverlo nella tua forma sarebbe $(2s+1)=2(s+1/2)=(s/(1/2)+1)$.
Il fatto è che è semplicemente inutile fare tutti questi passaggi, infatti siccome $2=1/(1/2)$, ti basta fare $(2s+1)=(s/(1/2)+1)$
Comunque sia non capisco perchè lo porti in questa forma e non lasci $(2s+1)$
Il fatto è che è semplicemente inutile fare tutti questi passaggi, infatti siccome $2=1/(1/2)$, ti basta fare $(2s+1)=(s/(1/2)+1)$
Comunque sia non capisco perchè lo porti in questa forma e non lasci $(2s+1)$
Ok ora mi è tutto chiaro; il mio prof; lo scrive in quel modo in quando quello concide; esattamente con ilpunto di rottura; invece se lo scrivessi nelmodo che mi hai suggerito per trovare il punto di rottura dovrei poi andare a fare l'inverso.
Anche nel primo caso scritto sopra:
$(1+j\omega/2)$; in questo caso il punto di rottura vedo che è subito $2$; invece per il modo in cui hai scritto tu avrei $\tau=1/2$; e quindi il punto di rottura sarebbe $1/\tau$.
Per quanto riguarda la fase; basta fare $arctg ((Img)/(Re))$; ora a secondo del segno della parte reale o immaginaria devo usare qualche formula alternativa?
Tipo $\pi-arctg ((Img)/(Re))$ e così via....
Non so se mi sono spiegato bene.....Grazie cmq per l'aiuto....
Anche nel primo caso scritto sopra:
$(1+j\omega/2)$; in questo caso il punto di rottura vedo che è subito $2$; invece per il modo in cui hai scritto tu avrei $\tau=1/2$; e quindi il punto di rottura sarebbe $1/\tau$.
Per quanto riguarda la fase; basta fare $arctg ((Img)/(Re))$; ora a secondo del segno della parte reale o immaginaria devo usare qualche formula alternativa?
Tipo $\pi-arctg ((Img)/(Re))$ e così via....
Non so se mi sono spiegato bene.....Grazie cmq per l'aiuto....
Scusami ma quella formula ti trova la fase effettiva, non quella asintotica... Perchè vuoi usare quella formula li?
Mi spiego meglio, perchè magari utilizziamo 2 metodi diversi per fare bode: io sfrutto il fatto che il logaritmo di un prodotto è uguale alla somma dei logaritmi, quindi mi traccio i grafici asintotici dei "pezzi" elementari (poli singoli, coniugati, zeri singoli e coniugati, integratori, costante di bode) e poi li sommo per ottenere l'effettivo, tu come fai?
Io quella formula della fase la uso solamente quando ho un punto incerto per verificare il passaggio eventuale ad un altro quadrante
Mi spiego meglio, perchè magari utilizziamo 2 metodi diversi per fare bode: io sfrutto il fatto che il logaritmo di un prodotto è uguale alla somma dei logaritmi, quindi mi traccio i grafici asintotici dei "pezzi" elementari (poli singoli, coniugati, zeri singoli e coniugati, integratori, costante di bode) e poi li sommo per ottenere l'effettivo, tu come fai?
Io quella formula della fase la uso solamente quando ho un punto incerto per verificare il passaggio eventuale ad un altro quadrante
Allora; io quando ho una fdt; prima la scrivo in forma di bode; poi traccio i singoli contributi; per quanto riguarda modulo e fase; e poi li sommo; ottenendo il diagramma di bode risultante.
Tu per quanto riguarda la fase dei singoli elementi; come fai?Potresti farmi vedere?
Grazie per la pazienza.
Tu per quanto riguarda la fase dei singoli elementi; come fai?Potresti farmi vedere?
Grazie per la pazienza.
Stavo rivedendo gli appunti; e ho visto un esercizio; di cui non ho capito come il prof; ha tracciato il diagramma della seguente funzione:
$F(s)= (2(s-2))/(3(s+10))$
In questo caso ho uno zero positivo.Come prima cosa la scrivo in forma di bode:
$-2*2((1-s/2))/(s10(1+s/10))= -2/5*((1-s/2))/(s(1+s/10))$
Ora quando vado a calcolare i singoli contributi alle fase; come dovrò fare per calcolare; il contributo del polo positivo.Il mio prof; ha tracciato una retta a $180°$; per $\omega<0.2$ e poi per $\omega>20$ una retta a $90°$.Perchè procede così?
$F(s)= (2(s-2))/(3(s+10))$
In questo caso ho uno zero positivo.Come prima cosa la scrivo in forma di bode:
$-2*2((1-s/2))/(s10(1+s/10))= -2/5*((1-s/2))/(s(1+s/10))$
Ora quando vado a calcolare i singoli contributi alle fase; come dovrò fare per calcolare; il contributo del polo positivo.Il mio prof; ha tracciato una retta a $180°$; per $\omega<0.2$ e poi per $\omega>20$ una retta a $90°$.Perchè procede così?
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