[Teoria dei sistemi] Stati iniziali per i quali l'evoluzione libera non diverge
Salve a tutti, ho un piccolo dubbio su questo esercizio:
Dato il sistema:
$ dot(x)=((0,1,0),(1,0,0),(0,0,1))x +((3,0),(0,2),(0,0))u $
$ y=((2,1,1))x $
determinare gli stati iniziali in corrispondenza dei quali l’uscita in evoluzione libera non è divergente per t tendente a infinito.
Gli autovalori sono $ \lambda_1 =-1 $ e $ \lambda_2 =1 $, quest'ultimo con molteplicità 2.
Gli autovettori corrispondenti sono $ u_1=((-1),(1),(0)), u_2 = ((0),(0),(1)), u_2' =((1),(1),(0)) $
Ora, per trovare gli stati iniziali che non divergono pensavo fosse sufficiente porre $ x_0 = \alphau_1 $, in quanto questa sarebbe la soluzione se gli autovalori fossero entrambi di molteplicità 1 ( $ u_1 $ è associato all'autovalore -1, che nell'evoluzione libera viene espresso col modo $ e^-t $ che converge a 0), ma a quanto pare non è così in quanto il libro riporta come soluzione $ x_0 = \alphau_1 +(-3u_2+u_3)\gamma $.
Qualcuno mi sa dire come mai il risultato è quest'ultimo? Ho dimenticato di fare qualche considerazione?
Dato il sistema:
$ dot(x)=((0,1,0),(1,0,0),(0,0,1))x +((3,0),(0,2),(0,0))u $
$ y=((2,1,1))x $
determinare gli stati iniziali in corrispondenza dei quali l’uscita in evoluzione libera non è divergente per t tendente a infinito.
Gli autovalori sono $ \lambda_1 =-1 $ e $ \lambda_2 =1 $, quest'ultimo con molteplicità 2.
Gli autovettori corrispondenti sono $ u_1=((-1),(1),(0)), u_2 = ((0),(0),(1)), u_2' =((1),(1),(0)) $
Ora, per trovare gli stati iniziali che non divergono pensavo fosse sufficiente porre $ x_0 = \alphau_1 $, in quanto questa sarebbe la soluzione se gli autovalori fossero entrambi di molteplicità 1 ( $ u_1 $ è associato all'autovalore -1, che nell'evoluzione libera viene espresso col modo $ e^-t $ che converge a 0), ma a quanto pare non è così in quanto il libro riporta come soluzione $ x_0 = \alphau_1 +(-3u_2+u_3)\gamma $.
Qualcuno mi sa dire come mai il risultato è quest'ultimo? Ho dimenticato di fare qualche considerazione?
Risposte
Ciao Parlu10
Si, ma credo che tu abbia perso un caso veramente molto particolare.
In effetti il problema non chiede che sia lo stato non divergente, ma l'uscita y, per cui quello è lo stato per cui y rimane a zero indefinitamente, anche se lo stato in realtà diverge. Infatti risulta per lo stato iniziale (1,1,-3)
$x=((e^t), (e^t), (-3e^t))$ e quindi
$y=0$
Si, ma credo che tu abbia perso un caso veramente molto particolare.
In effetti il problema non chiede che sia lo stato non divergente, ma l'uscita y, per cui quello è lo stato per cui y rimane a zero indefinitamente, anche se lo stato in realtà diverge. Infatti risulta per lo stato iniziale (1,1,-3)
$x=((e^t), (e^t), (-3e^t))$ e quindi
$y=0$
Grazie mille adesso ho capito 
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