[Teoria dei sistemi] Sistema lineare
Salve a tutti. Sto riscontrando tanta difficoltà con questo esercizio, non so come muovermi. Mi risulta molto difficile. grazie mille a chi mi aiuterà.
Si consideri il sistema definito dalla relazione ingresso-uscita
$ y(t) = int_(t-1)^t x(tau-1)(d(tau)) $
a. Si dimostri che il sistema è lineare e tempo-invariante
b. Si calcoli la risposta impulsiva $h(t)$ del sistema
c. Si determini se il sistema è casuale
d. Si determini se il sistema è stabile
e. Si calcoli l'uscita del sistema quando in ingresso è posto il segnale finestra rettangolare
$ x(t) = prod(t) $
Procedimento
Quesito a
Si ricorda anzitutto che un sistema risulta LT I se e solo se:
$ tau[x(t)] = x(t) ox h(t) = y(t) $
dove $ h(t) = tau[delta(t)] $ è definita risposta impulsiva del sistema. Applicando le proprietà della trasformata di Fourier segue che un sistema è LTI se e solo se:
$ Y(f) = X(f) *H(f) $
dove $H(f) = F{h(t)}$ è definita risposta in frequenza del sistema, e $Y (f)$ e $X(f)$ sono
rispettivamente le trasformate di Fourier dei segnali in uscita e in ingresso al sistema.
Si comincia a verificare la linearità e la tempo invarianza del sistema: esso può essere
analizzato come somma di due sotto sistemi, un integrale e una linea di ritardo:
$ y_1(t) = int_(t-1)^t x(tau-1)(d(tau)) $
$ y_2(t) = 0 $
$ y(t) =y_1(t) + y_2(t) $
Per quanto riguarda l’integrale si verifica facilmente che è un sistema LT I, infatti:
$ tau_1{ax_a(t) + bx_b(t)} = aint_(t-1)^t x_a(tau-1)(d(tau)) + bint_(t-1)^t x_b(tau-1)(d(tau)) = ay_(1a)(t)+by_(1b)(t) $
$ tau_1{x(t-t_0} = int_(t-1)^t x(tau-1-t_0)(d(tau)) = int_(t-1-t_0)^(t-t_0) x(tau')(d(tau')) = y_1(t-t_0) $
Analogamente si verifica la LT I per il secondo sotto sistema
Si conclude quindi che y(t) essendo somma di due sistemi LT I `
Quesito b
Per calcolare la risposta impulsiva del sistema LT I:
$ h(t) = tau[delta(t)] = int_(t-1)^t delta(tau-1)(d(tau)) = int_(-oo)^t delta(tau-1)(d(tau))- int_(-oo)^(t-1)delta(tau-1)(d(tau)) = u(t)-u(t-1) = rec(t) $
Quesito c e d
Si verifica facilmente che se l’ingresso x(t) è limitato ∀t, anche l’uscita y(t) risulta limitata: infatti, l’integrale su supporto finito di una funzione limitata è limitato, e la linea di ritardo non è altro che il segnale stesso ritardato (e quindi ancora limitato). D’altra parte l’uscita al tempo $bar(t)$,
dipenderà, per il sotto sistema integrale, anche dall’ingresso nell’intervallo $[bar(t-1), bar(t)]$,
che implica la non causalità del sistema.
Quesito e
La risposta al sistema si ottiene come:
$ y(t) = x(t) ox h(t) = prod(t)ox prod(t) $
Si consideri il sistema definito dalla relazione ingresso-uscita
$ y(t) = int_(t-1)^t x(tau-1)(d(tau)) $
a. Si dimostri che il sistema è lineare e tempo-invariante
b. Si calcoli la risposta impulsiva $h(t)$ del sistema
c. Si determini se il sistema è casuale
d. Si determini se il sistema è stabile
e. Si calcoli l'uscita del sistema quando in ingresso è posto il segnale finestra rettangolare
$ x(t) = prod(t) $
Procedimento
Quesito a
Si ricorda anzitutto che un sistema risulta LT I se e solo se:
$ tau[x(t)] = x(t) ox h(t) = y(t) $
dove $ h(t) = tau[delta(t)] $ è definita risposta impulsiva del sistema. Applicando le proprietà della trasformata di Fourier segue che un sistema è LTI se e solo se:
$ Y(f) = X(f) *H(f) $
dove $H(f) = F{h(t)}$ è definita risposta in frequenza del sistema, e $Y (f)$ e $X(f)$ sono
rispettivamente le trasformate di Fourier dei segnali in uscita e in ingresso al sistema.
Si comincia a verificare la linearità e la tempo invarianza del sistema: esso può essere
analizzato come somma di due sotto sistemi, un integrale e una linea di ritardo:
$ y_1(t) = int_(t-1)^t x(tau-1)(d(tau)) $
$ y_2(t) = 0 $
$ y(t) =y_1(t) + y_2(t) $
Per quanto riguarda l’integrale si verifica facilmente che è un sistema LT I, infatti:
$ tau_1{ax_a(t) + bx_b(t)} = aint_(t-1)^t x_a(tau-1)(d(tau)) + bint_(t-1)^t x_b(tau-1)(d(tau)) = ay_(1a)(t)+by_(1b)(t) $
$ tau_1{x(t-t_0} = int_(t-1)^t x(tau-1-t_0)(d(tau)) = int_(t-1-t_0)^(t-t_0) x(tau')(d(tau')) = y_1(t-t_0) $
Analogamente si verifica la LT I per il secondo sotto sistema
Si conclude quindi che y(t) essendo somma di due sistemi LT I `
Quesito b
Per calcolare la risposta impulsiva del sistema LT I:
$ h(t) = tau[delta(t)] = int_(t-1)^t delta(tau-1)(d(tau)) = int_(-oo)^t delta(tau-1)(d(tau))- int_(-oo)^(t-1)delta(tau-1)(d(tau)) = u(t)-u(t-1) = rec(t) $
Quesito c e d
Si verifica facilmente che se l’ingresso x(t) è limitato ∀t, anche l’uscita y(t) risulta limitata: infatti, l’integrale su supporto finito di una funzione limitata è limitato, e la linea di ritardo non è altro che il segnale stesso ritardato (e quindi ancora limitato). D’altra parte l’uscita al tempo $bar(t)$,
dipenderà, per il sotto sistema integrale, anche dall’ingresso nell’intervallo $[bar(t-1), bar(t)]$,
che implica la non causalità del sistema.
Quesito e
La risposta al sistema si ottiene come:
$ y(t) = x(t) ox h(t) = prod(t)ox prod(t) $
Risposte
Ciao tommasovitolo, concordo con te che è un esercizio un pò particolare, per cui cerco di darti alcuni spunti ma conviene rifletterci ancora sopra.
Quesito a
Mi sembra che la tua risposta si possa semplificare parecchio. Non capisco perchè introduci Fourier senza usarlo e non capisco perchè dividi in due sottosistemi quando la dimostrazione che fai per la linearità è già corretta per tutto il sistema e quella della tempo-invarianza è solo da scrivere meglio, ma vale anche lei per tutto il sistema.
Quesito b
Attenzione non mi sembra che risulti:
$int_(-infty)^t delta(tau-1)*d tau =u(t)$
In generale posto $tau-1 = tau'$
$y(t) = int_(t-1)^t x(tau-1)*d tau =int_(t-2)^(t-1) x(tau')*d tau'=F(t-1)-F(t-2)$
essendo F(.) la primitiva di x(.) per cui mettendo a posto il calcolo diretto o sfruttando la formula generale non è difficile trovare la risposta all'impulso.
Quesito c
Immagino che la richiesta fosse per "causale". Detto questo in base alla risposta del quesito precedente può cambiare la tua risposta?
Quesito d
OK
Quesito e
Ovviamente va rivista e comunque si può scrivere esplicitamente senza usare la convoluzione.
Quesito a
Mi sembra che la tua risposta si possa semplificare parecchio. Non capisco perchè introduci Fourier senza usarlo e non capisco perchè dividi in due sottosistemi quando la dimostrazione che fai per la linearità è già corretta per tutto il sistema e quella della tempo-invarianza è solo da scrivere meglio, ma vale anche lei per tutto il sistema.
Quesito b
Attenzione non mi sembra che risulti:
$int_(-infty)^t delta(tau-1)*d tau =u(t)$
In generale posto $tau-1 = tau'$
$y(t) = int_(t-1)^t x(tau-1)*d tau =int_(t-2)^(t-1) x(tau')*d tau'=F(t-1)-F(t-2)$
essendo F(.) la primitiva di x(.) per cui mettendo a posto il calcolo diretto o sfruttando la formula generale non è difficile trovare la risposta all'impulso.
Quesito c
"tommasovitolo":
c. Si determini se il sistema è casuale
Immagino che la richiesta fosse per "causale". Detto questo in base alla risposta del quesito precedente può cambiare la tua risposta?
Quesito d
OK
Quesito e
Ovviamente va rivista e comunque si può scrivere esplicitamente senza usare la convoluzione.
Quesito a
Un sistema è lineare se vale il principio di sovrapposizione degli effetti: indicando con $ tau[.] $ la trasformazione operata dal sistema sull’ingresso $x(t)$ che produce l’uscita $y(t)$: $y(t) = tau[x(t)]$, deve valere:
$ tau{ax_a(t) + bx_b(t)} = aint_(t-1)^t x_a(tau-1)(d(tau)) + bint_(t-1)^t x_b(tau-1)(d(tau)) = ay_(a)(t)+by_(b)(t) $ $ AA x_a,x_b,a,b $
Per quanto riguarda la tempo invarianza deve valere:
$ tau[x(t-t_0)] 0 y(t-t_0) AA x,t_0 $
cio`e la trasformazione applicata ad un ingresso ritardato (o anticipato) di un tempo t0,
deve produrre un’uscita pari all’uscita stessa ritardata (o anticipato) di t0.
$ tau_1{x(t-t_0)} = int_(t-1)^t x(tau-1-t_0)(d(tau)) = int_(t-1-t_0)^(t-t_0) x(tau')(d(tau')) = y(t-t_0) $
Quesito b
Si ricorda anzitutto che un sistema risulta LT I se e solo se:
$ tau[x(t)] = x(t) ox h(t) = y(t) $
dove $ h(t) = tau[delta(t)] $ è definita risposta impulsiva del sistema.
Per calcolare la risposta impulsiva del sistema LT I:
Pongo $tau-1 = tau'$
$ y(t) = int_(t-1)^tx(tau-1)d(tau) = int_(t-2)^(t-1)x(tau')d(tau') = F(t-1) - F(t-2) $
$ h(t) = tau[delta(t)] = int_(t-1)^tx(tau-1)d(tau) = int_(t-2)^(t-1)x(tau')d(tau') = F(t-1) - F(t-2) = x(t_0-1) - x(t_0-2) $
Quesito c e d
Si verifica facilmente che se l’ingresso x(t) è limitato ∀t, anche l’uscita y(t) risulta limitata: infatti, l’integrale su supporto finito di una funzione limitata è limitato, e la linea di ritardo non è altro che il segnale stesso ritardato (e quindi ancora limitato).
Dalla definizione di causalità si ha che un sistema è causale se:
$ y(t_0) = tau[x(t)]|_(t_0) = tau[x(t)u(t_0-t)], AA x,t_0 $
cioè l’uscita al tempo $t_0$ dipende dall’ingresso considerato solo per istanti non successivi
al tempo $t_0$
E' un sistema casuale poiché l'uscita al tempo $t_0$ dipende solo dall'ingresso al tempo $t_0$
Quesito e
La risposta al sistema si ottiene come:
$ y(t) = x(t) ox h(t) = prod(t)ox prod(t-1)-prod(t-2) $
Un sistema è lineare se vale il principio di sovrapposizione degli effetti: indicando con $ tau[.] $ la trasformazione operata dal sistema sull’ingresso $x(t)$ che produce l’uscita $y(t)$: $y(t) = tau[x(t)]$, deve valere:
$ tau{ax_a(t) + bx_b(t)} = aint_(t-1)^t x_a(tau-1)(d(tau)) + bint_(t-1)^t x_b(tau-1)(d(tau)) = ay_(a)(t)+by_(b)(t) $ $ AA x_a,x_b,a,b $
Per quanto riguarda la tempo invarianza deve valere:
$ tau[x(t-t_0)] 0 y(t-t_0) AA x,t_0 $
cio`e la trasformazione applicata ad un ingresso ritardato (o anticipato) di un tempo t0,
deve produrre un’uscita pari all’uscita stessa ritardata (o anticipato) di t0.
$ tau_1{x(t-t_0)} = int_(t-1)^t x(tau-1-t_0)(d(tau)) = int_(t-1-t_0)^(t-t_0) x(tau')(d(tau')) = y(t-t_0) $
Quesito b
Si ricorda anzitutto che un sistema risulta LT I se e solo se:
$ tau[x(t)] = x(t) ox h(t) = y(t) $
dove $ h(t) = tau[delta(t)] $ è definita risposta impulsiva del sistema.
Per calcolare la risposta impulsiva del sistema LT I:
Pongo $tau-1 = tau'$
$ y(t) = int_(t-1)^tx(tau-1)d(tau) = int_(t-2)^(t-1)x(tau')d(tau') = F(t-1) - F(t-2) $
$ h(t) = tau[delta(t)] = int_(t-1)^tx(tau-1)d(tau) = int_(t-2)^(t-1)x(tau')d(tau') = F(t-1) - F(t-2) = x(t_0-1) - x(t_0-2) $
Quesito c e d
Si verifica facilmente che se l’ingresso x(t) è limitato ∀t, anche l’uscita y(t) risulta limitata: infatti, l’integrale su supporto finito di una funzione limitata è limitato, e la linea di ritardo non è altro che il segnale stesso ritardato (e quindi ancora limitato).
Dalla definizione di causalità si ha che un sistema è causale se:
$ y(t_0) = tau[x(t)]|_(t_0) = tau[x(t)u(t_0-t)], AA x,t_0 $
cioè l’uscita al tempo $t_0$ dipende dall’ingresso considerato solo per istanti non successivi
al tempo $t_0$
E' un sistema casuale poiché l'uscita al tempo $t_0$ dipende solo dall'ingresso al tempo $t_0$
Quesito e
La risposta al sistema si ottiene come:
$ y(t) = x(t) ox h(t) = prod(t)ox prod(t-1)-prod(t-2) $
Quesito a
OK
Quesito b
Non è scritto molto bene.
Per $x(t) = delta(t)$ e indicando con u(t) funzione gradino unitario integrale dell'impulso, risulterà
$h(t) = u(t-1) - u(t-2) = Pi(t-3/2)$
dove si è utilizzata la definizione classica della finestra rettangolare centrata in $t_0$ che vale 1 per $|t-t_0|le1/2$ e zero al di fuori.
Quesiti c, d
OK
Quesito e
Non si capisce bene e comunque se si usa la convoluzione il conto va portato in fondo. Nel caso in questione conviene ricordare che l'integrale di un gradino è la funzione rampa r(t) per cui
Ingresso $x(t) = Pi(t) = u(t+1/2) - u(t-1/2)$
Uscita $y(t) = r(t-1/2) - r(t-3/2)$
OK
Quesito b
Non è scritto molto bene.
Per $x(t) = delta(t)$ e indicando con u(t) funzione gradino unitario integrale dell'impulso, risulterà
$h(t) = u(t-1) - u(t-2) = Pi(t-3/2)$
dove si è utilizzata la definizione classica della finestra rettangolare centrata in $t_0$ che vale 1 per $|t-t_0|le1/2$ e zero al di fuori.
Quesiti c, d
OK
Quesito e
Non si capisce bene e comunque se si usa la convoluzione il conto va portato in fondo. Nel caso in questione conviene ricordare che l'integrale di un gradino è la funzione rampa r(t) per cui
Ingresso $x(t) = Pi(t) = u(t+1/2) - u(t-1/2)$
Uscita $y(t) = r(t-1/2) - r(t-3/2)$
Quesito a
Un sistema è lineare se vale il principio di sovrapposizione degli effetti: indicando con $ tau[.] $ la trasformazione operata dal sistema sull’ingresso $x(t)$ che produce l’uscita $y(t)$: $y(t) = tau[x(t)]$, deve valere:
$ tau{ax_a(t) + bx_b(t)} = aint_(t-1)^t x_a(tau-1)(d(tau)) + bint_(t-1)^t x_b(tau-1)(d(tau)) = ay_(a)(t)+by_(b)(t) $ $ AA x_a,x_b,a,b $
Per quanto riguarda la tempo invarianza deve valere:
$ tau[x(t-t_0)] 0 y(t-t_0) AA x,t_0 $
cio`e la trasformazione applicata ad un ingresso ritardato (o anticipato) di un tempo t0,
deve produrre un’uscita pari all’uscita stessa ritardata (o anticipato) di t0.
$ tau_1{x(t-t_0)} = int_(t-1)^t x(tau-1-t_0)(d(tau)) = int_(t-1-t_0)^(t-t_0) x(tau')(d(tau')) = y(t-t_0) $
Quesito b
Si ricorda anzitutto che un sistema risulta LT I se e solo se:
$ tau[x(t)] = x(t) ox h(t) = y(t) $
dove $ h(t) = tau[delta(t)] $ è definita risposta impulsiva del sistema.
Per calcolare la risposta impulsiva del sistema LT I:
Pongo $tau-1 = tau'$
$ y(t) = int_(t-1)^tx(tau-1)d(tau) = int_(t-2)^(t-1)x(tau')d(tau') = F(t-1) - F(t-2) $
$ h(t) = tau[delta(t)] = int_(t-1)^tx(tau-1)d(tau) = int_(t-2)^(t-1)x(tau')d(tau') = F(t-1) - F(t-2) = x(t_0-1) - x(t_0-2) $
Per $x(t)=delta(t)$ e indicando con $u(t)$ funzione gradino unitario integrale dell'impulso, risulterà
$h(t)=u(t−1)−u(t−2)=prod(t−3/2)$
dove si è utilizzata la definizione classica della finestra rettangolare centrata in $t_0$ che vale 1 per $|t−t_0|<=1/2$ e zero al di fuori.
Quesito c e d
Si verifica facilmente che se l’ingresso x(t) è limitato ∀t, anche l’uscita y(t) risulta limitata: infatti, l’integrale su supporto finito di una funzione limitata è limitato, e la linea di ritardo non è altro che il segnale stesso ritardato (e quindi ancora limitato).
Dalla definizione di causalità si ha che un sistema è causale se:
$ y(t_0) = tau[x(t)]|_(t_0) = tau[x(t)u(t_0-t)], AA x,t_0 $
cioè l’uscita al tempo $t_0$ dipende dall’ingresso considerato solo per istanti non successivi
al tempo $t_0$
E' un sistema casuale poiché l'uscita al tempo $t_0$ dipende solo dall'ingresso al tempo $t_0$
Quesito e
Nel caso in questione conviene ricordare che l'integrale di un gradino è la funzione rampa r(t) per cui
Ingresso $ x(t) = prod(t) = u(t+1/2)-u(t-1/2) $
La risposta al sistema si ottiene come:
$ y(t) = x(t) ox h(t)$
Uscita $ y(t) = r(t-1/2)-r(t-3/2) $
Un sistema è lineare se vale il principio di sovrapposizione degli effetti: indicando con $ tau[.] $ la trasformazione operata dal sistema sull’ingresso $x(t)$ che produce l’uscita $y(t)$: $y(t) = tau[x(t)]$, deve valere:
$ tau{ax_a(t) + bx_b(t)} = aint_(t-1)^t x_a(tau-1)(d(tau)) + bint_(t-1)^t x_b(tau-1)(d(tau)) = ay_(a)(t)+by_(b)(t) $ $ AA x_a,x_b,a,b $
Per quanto riguarda la tempo invarianza deve valere:
$ tau[x(t-t_0)] 0 y(t-t_0) AA x,t_0 $
cio`e la trasformazione applicata ad un ingresso ritardato (o anticipato) di un tempo t0,
deve produrre un’uscita pari all’uscita stessa ritardata (o anticipato) di t0.
$ tau_1{x(t-t_0)} = int_(t-1)^t x(tau-1-t_0)(d(tau)) = int_(t-1-t_0)^(t-t_0) x(tau')(d(tau')) = y(t-t_0) $
Quesito b
Si ricorda anzitutto che un sistema risulta LT I se e solo se:
$ tau[x(t)] = x(t) ox h(t) = y(t) $
dove $ h(t) = tau[delta(t)] $ è definita risposta impulsiva del sistema.
Per calcolare la risposta impulsiva del sistema LT I:
Pongo $tau-1 = tau'$
$ y(t) = int_(t-1)^tx(tau-1)d(tau) = int_(t-2)^(t-1)x(tau')d(tau') = F(t-1) - F(t-2) $
$ h(t) = tau[delta(t)] = int_(t-1)^tx(tau-1)d(tau) = int_(t-2)^(t-1)x(tau')d(tau') = F(t-1) - F(t-2) = x(t_0-1) - x(t_0-2) $
Per $x(t)=delta(t)$ e indicando con $u(t)$ funzione gradino unitario integrale dell'impulso, risulterà
$h(t)=u(t−1)−u(t−2)=prod(t−3/2)$
dove si è utilizzata la definizione classica della finestra rettangolare centrata in $t_0$ che vale 1 per $|t−t_0|<=1/2$ e zero al di fuori.
Quesito c e d
Si verifica facilmente che se l’ingresso x(t) è limitato ∀t, anche l’uscita y(t) risulta limitata: infatti, l’integrale su supporto finito di una funzione limitata è limitato, e la linea di ritardo non è altro che il segnale stesso ritardato (e quindi ancora limitato).
Dalla definizione di causalità si ha che un sistema è causale se:
$ y(t_0) = tau[x(t)]|_(t_0) = tau[x(t)u(t_0-t)], AA x,t_0 $
cioè l’uscita al tempo $t_0$ dipende dall’ingresso considerato solo per istanti non successivi
al tempo $t_0$
E' un sistema casuale poiché l'uscita al tempo $t_0$ dipende solo dall'ingresso al tempo $t_0$
Quesito e
Nel caso in questione conviene ricordare che l'integrale di un gradino è la funzione rampa r(t) per cui
Ingresso $ x(t) = prod(t) = u(t+1/2)-u(t-1/2) $
La risposta al sistema si ottiene come:
$ y(t) = x(t) ox h(t)$
Uscita $ y(t) = r(t-1/2)-r(t-3/2) $
Ti ringrazio infinitamente per l'aiuto che mi hai dato è stato molto prezioso
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo