[Teoria dei Sistemi] Modo del sistema

[Ahi1]

Ciao a tutti!

Provo a dare una soluzione al seguente esercizio:

Data la seguente funzione di trasferimento:

$G(s) = K / (s^2 + a*s + b)

determinare i valori dei parametri $a$, $b$, $K$, in modo tale che il sistema abbia modi pseudoperiodici convergenti che oscillano ad una frequenza di $0.25Hz$, mostri la risposta a regime dopo circa 5.1 secondi ed abbia guadagno statico pari a $5$.

Prima cosa che faccio ne calcolo il guadagno statico ossia:

$G(0) = K/b = 5$

dopo di che noto che

$s^2 + a*s + b = 0$ è come se fosse della forma $s^2 + 2 phi*omega_n*s + (omega_n)^2 = 0$

ed essendo $x + jy$

le radici di quell'equazione sono_

$x = -phi*omega_n$, $y = omega_n*sqrt(1 - phi^2)$

dove $omega_n = 2*pi*f = 2 * pi * 0.25 = pi/2 $

Non so proprio se sto facendo bene, cosa devo fare se ho fatto bene fin qui?

Grazie.

[K.Lomax]

Scriviti la risposta in maniera del tutto generica, ovvero lasciando le incognite [tex]\phi[/tex] e [tex]\omega_n[/tex], e poi ci ragioni su.
L'equazione è:

[tex]s^2+2\phi\omega_n+\omega_n^2[/tex]

L'ultimo termine è al quadrato.

[Ahi1]

"K.Lomax":Scriviti la risposta in maniera del tutto generica, ovvero lasciando le incognite [tex]\phi[/tex] e [tex]\omega_n[/tex], e poi ci ragioni su.
L'equazione è:

[tex]s^2+2\phi\omega_n+\omega_n^2[/tex]

L'ultimo termine è al quadrato.

Si ho corretto il quadrato, forse hai mancato la s qui. Ora continuando ottengo che:

$a = 2*phi * omega_n$

$b = (omega_n)^2$


inoltre affinché presenti modi convergenti deve essere $0 < phi < 1$ quindi posso dire che scelgo $phi = 0.1$ in modo arbitrario e dunque:

$a = 2* 0.1 * omega_n$

$b = (omega_n)^2$

inontre $omega_n = 2 * pi * f = 2 * pi * 0.25 = pi / 2$

sostituendo si ricava

$a = pi/10$

$b = (pi^2) / 4$

e inoltre $K/b = 5 => K = 5*b = 5 * (pi^2) / 4$

può andare?

[K.Lomax]

C'è l'ulteriore specifica del tempo di esaurimento del transitorio....

[Ahi1]

"K.Lomax":C'è l'ulteriore specifica del tempo di esaurimento del transitorio....

Quindi da quando ho capito ho sbagliato tutto, ma dove e come dovrei utilizzare quel tempo di esaurimento del transitorio?

[K.Lomax]

Scusa ma non ti è venuto in mente che la specifica sul tempo di esaurimento del transitorio non l'avevi affatto utilizzata?
E' vera la condizione [tex]0<\phi<1[/tex] (stabilità), ma questo parametro è da scegliere in accordo alla specifica del tempo di esaurimento del transitorio. In genere,si può supporre che il transitorio dato dall'esponenziale

[tex]e^{-\omega_n t\sqrt{1-\phi^2}}[/tex]

si esaurisca dopo 2-3 costanti di tempo (ti ricordo che teoricamente quest'esponenziale si esaurisce solo all'infinito, ma nella pratica puoi supporre che si esaurisca entro questo tempo), ovvero quando l'esponente dell'esponenziale è pari a [tex]-3[/tex] dopo [tex]5.1sec[/tex]. Dunque,

[tex]5.1\omega_n\sqrt{1-\phi^2}}\approx 3[/tex]

ovvero

[tex]\phi\approx\sqrt{1-\left(\frac{3}{5.1\omega_n}\right)^2}=0.927[/tex]

o comunque, per evitare tempi superiori alla richiesta, non superiore a questo. Invece, per [tex]\phi=0.1[/tex] come da te scelto, avresti l'esaurimento del transitorio in un tempo:

[tex]t=\frac{6}{\pi\sqrt{1-0.1^2}}=1.919sec[/tex]

quindi molto più velocemente ma sicuramente con picco di risonanza elevato.