[Teoria dei Sistemi] Modo del sistema

Ahi1
Ciao a tutti!

Provo a dare una soluzione al seguente esercizio:

Data la seguente funzione di trasferimento:

$G(s) = K / (s^2 + a*s + b)

determinare i valori dei parametri $a$, $b$, $K$, in modo tale che il sistema abbia modi pseudoperiodici convergenti che oscillano ad una frequenza di $0.25Hz$, mostri la risposta a regime dopo circa 5.1 secondi ed abbia guadagno statico pari a $5$.


Prima cosa che faccio ne calcolo il guadagno statico ossia:

$G(0) = K/b = 5$

dopo di che noto che

$s^2 + a*s + b = 0$ è come se fosse della forma $s^2 + 2 phi*omega_n*s + (omega_n)^2 = 0$

ed essendo $x + jy$

le radici di quell'equazione sono_

$x = -phi*omega_n$, $y = omega_n*sqrt(1 - phi^2)$

dove $omega_n = 2*pi*f = 2 * pi * 0.25 = pi/2 $

Non so proprio se sto facendo bene, cosa devo fare se ho fatto bene fin qui?

Grazie.

Risposte
K.Lomax
Scriviti la risposta in maniera del tutto generica, ovvero lasciando le incognite [tex]\phi[/tex] e [tex]\omega_n[/tex], e poi ci ragioni su.
L'equazione è:

[tex]s^2+2\phi\omega_n+\omega_n^2[/tex]

L'ultimo termine è al quadrato.

Ahi1
"K.Lomax":
Scriviti la risposta in maniera del tutto generica, ovvero lasciando le incognite [tex]\phi[/tex] e [tex]\omega_n[/tex], e poi ci ragioni su.
L'equazione è:

[tex]s^2+2\phi\omega_n+\omega_n^2[/tex]

L'ultimo termine è al quadrato.


Si ho corretto il quadrato, forse hai mancato la s qui. Ora continuando ottengo che:

$a = 2*phi * omega_n$

$b = (omega_n)^2$


inoltre affinché presenti modi convergenti deve essere $0 < phi < 1$ quindi posso dire che scelgo $phi = 0.1$ in modo arbitrario e dunque:

$a = 2* 0.1 * omega_n$

$b = (omega_n)^2$

inontre $omega_n = 2 * pi * f = 2 * pi * 0.25 = pi / 2$

sostituendo si ricava

$a = pi/10$

$b = (pi^2) / 4$

e inoltre $K/b = 5 => K = 5*b = 5 * (pi^2) / 4$

può andare?

K.Lomax
C'è l'ulteriore specifica del tempo di esaurimento del transitorio....

Ahi1
"K.Lomax":
C'è l'ulteriore specifica del tempo di esaurimento del transitorio....


Quindi da quando ho capito ho sbagliato tutto, ma dove e come dovrei utilizzare quel tempo di esaurimento del transitorio?

K.Lomax
Scusa ma non ti è venuto in mente che la specifica sul tempo di esaurimento del transitorio non l'avevi affatto utilizzata?
E' vera la condizione [tex]0<\phi<1[/tex] (stabilità), ma questo parametro è da scegliere in accordo alla specifica del tempo di esaurimento del transitorio. In genere,si può supporre che il transitorio dato dall'esponenziale

[tex]e^{-\omega_n t\sqrt{1-\phi^2}}[/tex]

si esaurisca dopo 2-3 costanti di tempo (ti ricordo che teoricamente quest'esponenziale si esaurisce solo all'infinito, ma nella pratica puoi supporre che si esaurisca entro questo tempo), ovvero quando l'esponente dell'esponenziale è pari a [tex]-3[/tex] dopo [tex]5.1sec[/tex]. Dunque,

[tex]5.1\omega_n\sqrt{1-\phi^2}}\approx 3[/tex]

ovvero

[tex]\phi\approx\sqrt{1-\left(\frac{3}{5.1\omega_n}\right)^2}=0.927[/tex]

o comunque, per evitare tempi superiori alla richiesta, non superiore a questo. Invece, per [tex]\phi=0.1[/tex] come da te scelto, avresti l'esaurimento del transitorio in un tempo:

[tex]t=\frac{6}{\pi\sqrt{1-0.1^2}}=1.919sec[/tex]

quindi molto più velocemente ma sicuramente con picco di risonanza elevato.

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