[Teoria dei Sistemi] Esercizio f.d.t
Salve, volevo sapere se ho svolto bene il seguente esercizio:
Data la seguente funzione di trasferimento:
$G(s) = 1/(s^2 + a*s + b)$
1) Determinare i valori dei parametri a,b per cui il sistema a modi pseudo periodici convergenti che oscillano ad una frequenza di $0.2 Hz$ e con smorzamento pari a $0.7$;
2) Quanto tempo occorre aspettare affinché il sistema mostri la risposta a regime?
Mio svolgimento
1) Riscrivo la f.d.t. nel modo seguente:
$G(s) = 1/(s^2 + 2 * zita*omega_n*s + (omega_n)^2)$
volendo ancora:
$G(s) = 1/(s^2/((omega_n)^2) + 2 * (zita*s)/(omega_n) + 1)$
dunque si ricava che:
$a = 2*zita*omega_n$
$b = omega_n*sqrt(1 - zita^2)$
risolvo questo sistema ricavando $omega_n = 2*pi*0.2$ e andando a sostituire.
Per quanto riguarda il secondo punto basta applicare:
2) $tau = 4.6 / (zita*omega_n)$
Giusto così? Spero mi potete aiutare perché prima durante il tutorato la professoressa dice che ho fatto bene l'esercizio (che è praticamente identico) e dopo fatto l'esame dice che è completamente sbagliato. Credo non mi ascolti per nulla durante il tutorato purtroppo
Data la seguente funzione di trasferimento:
$G(s) = 1/(s^2 + a*s + b)$
1) Determinare i valori dei parametri a,b per cui il sistema a modi pseudo periodici convergenti che oscillano ad una frequenza di $0.2 Hz$ e con smorzamento pari a $0.7$;
2) Quanto tempo occorre aspettare affinché il sistema mostri la risposta a regime?
Mio svolgimento
1) Riscrivo la f.d.t. nel modo seguente:
$G(s) = 1/(s^2 + 2 * zita*omega_n*s + (omega_n)^2)$
volendo ancora:
$G(s) = 1/(s^2/((omega_n)^2) + 2 * (zita*s)/(omega_n) + 1)$
dunque si ricava che:
$a = 2*zita*omega_n$
$b = omega_n*sqrt(1 - zita^2)$
risolvo questo sistema ricavando $omega_n = 2*pi*0.2$ e andando a sostituire.
Per quanto riguarda il secondo punto basta applicare:
2) $tau = 4.6 / (zita*omega_n)$
Giusto così? Spero mi potete aiutare perché prima durante il tutorato la professoressa dice che ho fatto bene l'esercizio (che è praticamente identico) e dopo fatto l'esame dice che è completamente sbagliato. Credo non mi ascolti per nulla durante il tutorato purtroppo

Risposte
"K.Lomax":
Dai uno sguardo a questo post
Per la professoressa va bene se consideriamo $n = 4.6$ secondi. Nel mio esercizio già è fornito lo smorzamento. Questo post mi confonde ulteriormente. Allora $omega$ o $omega_n$ è uguale a $2*pi*f$ ?
Allora, le due condizioni sono
[tex]a=2\zeta \omega_n=2*0.7*1.256=1.75[/tex]
[tex]b=\omega_n^2=(2\pi*0.2)^2=1.57[/tex]
se per 0.2 intende la frequenza naturale. Altrimenti, se intende la frequenza smorzata si ha
[tex]a=2\zeta \omega_n=1.4\omega_n[/tex]
[tex]\omega=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}=\omega_n\sqrt{1-0.7^2}=\omega_n*0.71=1.256\Rightarrow\omega_n=1.76[/tex]
che ti permette di ricavare [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex].
Spero di aver fatto bene i conti
[tex]a=2\zeta \omega_n=2*0.7*1.256=1.75[/tex]
[tex]b=\omega_n^2=(2\pi*0.2)^2=1.57[/tex]
se per 0.2 intende la frequenza naturale. Altrimenti, se intende la frequenza smorzata si ha
[tex]a=2\zeta \omega_n=1.4\omega_n[/tex]
[tex]\omega=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}=\omega_n\sqrt{1-0.7^2}=\omega_n*0.71=1.256\Rightarrow\omega_n=1.76[/tex]
che ti permette di ricavare [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex].
Spero di aver fatto bene i conti
