[Teoria dei sistemi] Dubbio sulla risposta ingresso con un vuoto

[MrChopin]

Salve a tutti stavo cercando di risolvere questo esercizio ma ho alcuni dubbi:



1) Devo stabilire per quali valori di G il sistema a ciclo chiuso sia asintoticamente stabile.
2) Questo sistema ha come ingresso $ u(k)=2xx 1(k-8)+sin(2k)xx1(-k+5) $

Il primo punto credo di averlo fatto bene e l'ho svolto così:

Innanzitutto ho considerato la serie tra le due funzioni sul ramo di azioni ottenendo: $ W_(1)(z)=(10G)/((z-1)(z+0.3)) $ poi ho calcolato la funzione di trasferimento del mio sistema complessivo considerando che sul ramo di retroazione ci fosse una funzione di trasferimento pari a : $ W_(2)(z)=1 $ ottendo così una funzione di trasferimento complessivo pari a:
$ W(z)=(W_(1)(z))/(1+W_(1)(z)W_(2)(z)) =(10G)/((z-1)(z+0.3)+10G)= (10G)/(z^(2)-0.7z-0.3+10G) $

Quindi mi ricavo il valore di $ G $ tramite la formula : $ q(s)=(s-1)^(n)((s+1)/(s-1))^(n) $

Ottenendo: $ q(s)=(s-1)^(2)(s+1)^(2)/(s-1)^(2) -0.7 (s-1)^(2)(s+1)/(s-1)+(10G-0.3)(s-1)^(2)= $
$= s^(2)+2s+1-0.7s^(2)+0.7s-10Gs^(2)-20Gs+10G-0.3s^(2)+0.6s-0.3 =$
$ =10Gs^(2)+s(206-20G)+10G+1,4 $

$ { ( 10G>=0 ),( 2.6-20G>=0 ),( 1.4-10G>=0 ):}=>{ ( 10G>=0 ),( G<=0.13 ),( G>=-0.14 ):}=> 0<=g<=0.13 $

Scelgo il valore di $G=0.03$ ottenendo $ W(z)=(0.3)/(z^(2)-0.7z-0.3+0.3)=(0.3)/(z(z-0.7)) $

Il mio ingresso $ u(k)=2xx 1(k-8)+sin(2k)xx1(-k+5) $ quindi ho un ingresso di ampiezza $1$ sinusoidale che parte da meno infinito e arriva a $5$ poi l'ingresso si arresta e riparte da un gradino che parte da 8 e va a infinito e di ampiezza $ 2 $.

Quindi ho diviso gli instanti in per:

1)CASO:$k<=5$

Mi calcolo la risposta in frequenza con questa formula: $ y(k)=|W(2k)|U_(0)sin(2k +/_W(2k) ) $
$ { ( |W(2k)=0.07 ),( /_W(2k)=2.80 ):}=>y(k)=0.07sin(2k +2.80 ) $


2)CASO: $5

Da questo punto il mio sistema dovrebbe andare in evoluzione libera quindi mi sono calcolato lo stato del sistema successivo all'instante in cui cessa azione dell'ingresso sinusoidale, cioè mi sono calcolato $x_(0)(6)$, e poi ho calcolato la risposta libera del sistema con la formula: $ y(k)=psi (z)X_(0) $

Calcolo innanzitutto la $ H(z) $ del sistema ricavandola sfruttando la forma canonica di controllo che mi ricavo dalla $ W(z) $ del sistema.

$ W(z)=0.3/(z(z-0.7))=>{ ( A=[ ( 0.7 , 0 ),( 1 , 0 ) ]; ),( B=[ ( 1 ),( 0 ) ]; ),( C=[ ( 0 , 0.3 )]):} =>(zI-A)^(-1)=[ ( z-0.7 , 0 ),( -1 , z ) ]^(-1)=([ ( z, 0 ),( 1 , z-0.7 ) ])/(z(z-0.7)) $

$ H(z)=([ ( z, 0 ),( 1 , z-0.7 ) ][ ( 1 ),( 0 ) ])/(z(z-0.7))=([ ( z ),( 1 ) ])/(z(z-0.7))=[ ( z/(z(z-0.7)) ),( 1/(z(z-0.7)) ) ] $

$ H_(1)(z)= z/(z(z-0.7)) =>|H_(1)(2k)|U_(0)sin(2k +/_H(2k) )=0.47sin(2k-1.90)=>x_(1)(6)=-0.29$

$ H_(2)(z)= 1/(z(z-0.7)) =>|H_(2)(2k)|U_(0)sin(2k +/_H_(2)(2k)) =0.24sin(2k-2.81)=>x_(2)(6)=-0.06$

$ y_(lib)(k-6)=Z^(-1)[psi(z)X_(0) ]_(k=k-6)=Z^(-1)[zC(zI-A)^(1) X_(0) ]_(k=k-6)=Z^(-1)[Y(z)]_(k=k-6) $

$ Y(z)=(z[ ( 0, 0.3 ) ][ ( z, 0 ),( 1 , z-0.7 ) ][ ( -0.29 ),( 0.06 ) ])/(z(z-0.7))=([ ( 0.3, z-0.7 ) ][ ( -0.29 ),( 0.06 ) ])/((z-0.7))= (-0.9 + 0.06z-0.04)/((z-0.7)) = = (-0.94 + 0.06z)/((z-0.7))$

$y_(lib)(k)=Z^(-1)[Y(z)]_(k=k-6)=Z^(-1)[(-0.94 + 0.06z)/((z-0.7))]_(k=k-6) = Z^(-1)[A/((z-0.7))]_(k=k-6) $

$ R_(1)=lim_(x -> 0.7) ((-0.94 + 0.06z)(z-0.7))/(z-0.7)=-0.94 + 0.04=-0.9 $

$y_(lib)(k)= Z^(-1)[-0.9/((z-0.7))] = -0.9(0.7)^(k) => y_(lib)(k-6)=-0.9(0.7)^(k-6) $


3)CASO:$k>=8$

Qui inizio ad avere qualche dubbio e sicuramente mi sbaglierò ma faccio questa domanda proprio per farmi correggere e aumentare la sicurezza nelle mie conoscenze.

In questo caso devo solo calcolare la risposta forzata? Oppure devo considerare che la forzata parte da uno stato libero e quindi la forzata viene influenzata dalla libera? Devo calcolarmi la risposta a regime e quella transitoria?Ho qualche dubbio su come si calcoli la risposta a regime e quella transitoria potreste darmi le formule per il loro calcolo? O se potete farmi vedere come calcolarla in questo caso?

Io comunque l'ho calcolata così la risposta spero di aver sbagliato per imparare di più.

Dopo $ 8 $ così considerando il segnale $u(k)=2xx 1(k-8)$:

$ y(k-8)=Z^(-1)[W(z)U(z)]_(k-8)= Z^(-1)[0.3/(z(z-0.7))(2z)/(z-1)]_(k-8)=Z^(-1)[0.6/((z-0.7)(z-1))]_(k-8)= Z^(-1)[A/(z-0.7)+B/(z-1)]_(k-8)$

$ A=lim_(x -> 0.7) (0.6(z-0.7))/((z-1)(z-0.7))=lim_(x -> 0.7) 0.6/(z-1)=-2 $
$ B=lim_(x -> 1) (0.6(z-1))/((z-1)(z-0.7))=lim_(x -> 0.7) 0.6/(z-0.7)=2 $

$ y(k-8)=Z^(-1)[-2/(z-0.7)+2/(z-1)]_(k-8)=2xx 1(k-8)-2(0.7)^(k-8)$

[Quinzio]

Secondo me c'e' qualche errore, ma soprattutto, alla fine qual e' la risposta del sistema (domanda 2) ?

[MrChopin]

"Quinzio":Secondo me c'e' qualche errore, ma soprattutto, alla fine qual e' la risposta del sistema (domanda 2) ?

La risposta che ho calcolato in questo post era:
$ y(k)={ (0.07sin(2k +2.80 ) | k<=5 ),(-0.9(0.7)^(k-6)|5<=k<=8 ),( 2xx 1(k-8)-2(0.7)^(k-8) |k>=8):} $


Credo forse di aver capito dove sbagliavo, cioè nel calcolo della risposta libera per $ 5<=k<=8 $ ma trovando la soluzione ho trovato forse un altro problema.

Ho ragionato rispetto a prima in modo diverso, l'obbiettivo è sempre lo stesso, calcolarmi $ H(z) $ per ottenere il valore di $X(6)$ e calcolarmi quindi la risposta libera del sistema $ y_(lib)(k)=psi (z)X_(6) $.

Questa volta però mi sono basato soprattutto sulle relazioni di congruenza e il segnale stesso.

Ricapitolando il mio segnale é: $ u(k)=2xx 1(k-8)+sin(2k)xx1(-k+5) $ quindi ho un ingresso di ampiezza $1$ sinusoidale che parte da meno infinito e arriva a $5$ poi l'ingresso si arresta e riparte da un gradino che parte da 8 e va a infinito e di ampiezza $ 2 $.



Quindi vedendo il mio sistema so che essendo un sistema in retroazione e essendo la mia fdt sul ramo di azione il suo ingresso $ u_(1) $ è pari alla differenza tra l'ingresso del sistema e l'uscita del ramo di retroazione "libero" cioè: $ u_(1)=u_(k) - y_(2) $, quindi essendo nullo l'ingresso di $ u_(k)$ allora $ u_(1)= - y_(2) $ .

Inoltre noto che: $ y_(2)= y_(1)= y $

Il problema viene nel ricavarmi la mia $ H(z) $ indipendentemente da che tipo di forma canonica usi mi viene un sistema con una matrice $ B $ nulla e quindi non so come procedere, non capisco che errore io faccia.

Rappresento il mio sistema in forma canonica di osservazione quindi:

$ A=[ ( -a_(1) , 1 , 0 , 0 , 0 ),( -a_(2) , 0 , 1 , 0 , 0 ),( ... , ... , ... , ..., ...),( ... , ... , ... , ..., 1),( -a(n) , 0 , 0 , ..., 0 ) ] =[ ( 0.7 , 1 ),( 0 , 0 ) ] | ( ),( ),( ),( ),( ),( ) | B=[ ( b_(1)-a_(1)b_(0) ),( b_(2)-a_(2)b_(0) ),( ... ),( ...),( b_(n)-a_(n)b_(0) ) ] =[ ( 0 ),( 0.3 ) ] $
$C=[ 1 \ \ 0 \ \ .... \ \ ... \ \ 0 ] =[ 1 \ \ 0 ] | ( ),( ),( ),( ),( ),( ) |D=0 $

$ { ( x(k+1)= [ ( 0.7 , 1 ),( 0 , 0 ) ]x(k)+[ ( 0 ),( 0.3 ) ]u(k) ),( y(k)=[ 1 \ \ 0 ]x(k) ):} =>{ ( x_(1)(k+1)= 0.7x_(1)(k)+x_(2)(k)),( x_(2)(k+1)=0.3u_(2)(k) ),( y(k)=x_(1)(k) ):} $

Quindi sapendo che $ u_(1)(k)= - y_(2)(k) $allora riscrivo il sistema e da questo ottengo la mia $ H(z) $:

$ { ( x_(1)(k+1)= 0.7x_(1)(k)+x_(2)(k)),( x_(2)(k+1)=-0.3x_(1)(k) ),( y(k)=x_(1)(k) ):} =>{ ( x(k+1)= [ ( 0.7 , 1 ),( -0.3, 0 ) ]x(k)+[ ( 0 ),( 0 ) ]u(k) ),( y(k)=[ 1 \ \ 0 ]x(k) ):}$

$ H(z)=(zI-A)^(-1)B =[ ( z-0.7 , -1 ),( 0.3, z ) ]^(-1)[ ( 0 ),( 0 ) ]=([ ( z , 1 ),( -0.3, z-0.7 ) ]^(-1)[ ( 0 ),( 0 ) ])/((z-0.7)z)=0 $

Se invece rappresento il mio sistema in forma canonica di controllo quindi:

$ A=[ ( -a_(1) , -a_(2) , ... , ... , a(n)),( 1 , 0 , ... , ... , 0),( 0 , 1 , ... , ..., ...),( ... , ... , ... , ..., 0),( 0 , ... , ..., 1 , 0 ) ] =[ ( 0.7 , 0 ),( 1 , 0 ) ] | ( ),( ),( ),( ),( ),( ) | B=[ ( 1 ),( 0 ),( ... ),( ...),( 0 ) ] =[ ( 1 ),( 0 ) ] $
$C=[ ( b_(1)-a_(1)b_(0) ) \ \ ( b_(2)-a_(2)b_(0) )\ \ .... \ \ ... \ \ ( b_(n)-a_(n)b_(0) ) ] =[ 0 \ \ 0.3 ] | ( ),( ),( ),( ),( ),( ) |D=0 $

$ { ( x(k+1)= [ ( 0.7 , 0 ),( 1 , 0 ) ]x(k)+[ ( 1 ),( 0 ) ]u(k) ),( y(k)=[ 0 \ \ 0.3 ]x(k) ):} =>{ ( x_(1)(k+1)= 0.7x_(1)(k)+u_(1)(k)),( x_(2)(k+1)=x_(1)(k) ),( y(k)=0.3x_(2)(k) ):} $

Quindi sapendo che $ u_(1)(k)= - y_(2)(k) $allora riscrivo il sistema e da questo ottengo la mia $ H(z) $:

$ { ( x_(1)(k+1)= 0.7x_(1)(k)-0.3x_(2)(k)),( x_(2)(k+1)=x_(1)(k) ),( y(k)=0.3x_(2)(k) ):} =>{ ( x(k+1)= [ ( 0.7 , -0.3 ),( 1, 0 ) ]x(k)+[ ( 0 ),( 0 ) ]u(k) ),( y(k)=[ 0 \ \ 0.3 ]x(k) ):}$

$ H(z)=(zI-A)^(-1)B =[ ( z-0.7 , -0.3 ),( 1 , z ) ]^(-1)[ ( 0 ),( 0 ) ]=([ ( z , 1 ),( -0.3, z-0.7 ) ]^(-1)[ ( 0 ),( 0 ) ])/((z-0.7)z)=0 $

Quindi come devo fare per ottenere la mia H(z)?

[Quinzio]

La forma canonica di controllo io l'ho sempre vista scritta in modo diverso. Basta consultare qualche dispensa pubblica in rete.
Perche' tu la scrivi cosi' ?

[MrChopin]

"Quinzio":La forma canonica di controllo io l'ho sempre vista scritta in modo diverso. Basta consultare qualche dispensa pubblica in rete.
Perche' tu la scrivi cosi' ?

Ma è sbagliata come la scrivo? se usassi le forme canoniche scritte in rete con le sostituzioni che ho fatto mi esce sempre lo stesso risultato, però potrei usare le cose a mio vantaggio visto che usando una forma canonica ottengo $ y=x_(1)(k) $ e nell'altra ottengo $ y=x_(2)(k) $, essendo il mio obbiettivo calcolare gli istanti di tempo per ottenere la risposta libera, allora da questa relazione ottengo i miei istanti iniziali che sarebbero pari alle uscite calcolate sulle uscite dell'intero sistema. La cosa che non mi quadra e che avrei due istanti iniziali uguali

[MrChopin]

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