[Teoria dei sistemi] Ampiezza riposta in uscita

[zipangulu]

In un esercizio ho un sistema la cui funzione di trasferimento è la seguente
$W(s) = 2s / [(s+1)(s+2)(s-2)]$
Un punto dell'esercizio mi chiede di determinare , se possibile , l'ampiezza della risposta in uscita , a regime , per ingresso sinusoidale di ampiezza unitaria e frequenza $f = 2pi$ Hz
Per svolgere questo punto ho ragionato così , ditemi se e dove sbaglio:
so che la funzione di trasferimento è definita come
$W(s) = [Y(s)]/[U(s)]$
dove con $Y(s)$ intendo la trasformata di Laplace dell'uscita del sistema e $U(s)$ la trasformata di Laplace dell'ingresso
Nel mio caso essendo
$u(t) = sin (1t)$
la cui trasformata di Laplace è
$U(s) = 1/(s^2 + 1)$
quindi
$Y(s) = 2s/[(s+1)(s+2)(s-2)(s^2+1)]$
Ora io so (magari mi sbaglio) che l'ampiezza della risposta in uscita posso ottenerla come il modulo della risposta in frequenza (riscrivo la $Y(s)$ in forma $Y(j omega)$ con $omega=1$ rad/s e ne faccio il modulo) ma ottengo 2/9=0.2 (2 periodico)
Ma sulla risoluzione dell'esercizio fatta dal mio prof procede diversamente:
dalla funzione di trasferimento sopra mostrata possiamo tracciare il relativo diagramma di Bode delle ampiezze che è il seguente

a questo punto dice che essendo la pulsazione dell'ingresso 1 rad/s , e guardando il diagramma sopra si ottiene
un modulo della risposta armonica di circa -3 dB e quindi una ampiezza del segnale in uscita pari a $1/sqrt(2)$
qui ho capito che il risultato scaturisce dal seguente calcolo
$20log(alpha)=-3$ --> $alpha = 1/sqrt(2)$

ma non capisco il ragionamento che lo porta a dire ciò..dunque chiedo a voi , perchè?inoltre e soprattutto , il mio ragionamento fatto inizialmente è errato?

[Riccardo Desimini]

"zipangulu":Nel mio caso essendo $ u(t) = sin (1t) $ la cui trasformata di Laplace è $ U(s) = 1/(s^2 + 1) $ quindi $ Y(s) = 2s/[(s+1)(s+2)(s-2)(s^2+1)] $

A me sembra invece che, essendo \( f = 2\pi\ \text{[Hz]} \), sia \( u(t) = \sin (4 \pi^2 t) \), da cui \( U(s) = \frac{4\pi^2}{s^2 + 16\pi^4} \).
L'uscita sarebbe allora data da
\[ Y(s) = \frac{8 \pi^2 s}{(s + 1)(s + 2)(s - 2)(s^2 + 16\pi^4)} \]
Passando alla risposta in frequenza:
\[ Y(j \omega) = \frac{8 \pi^2 j \omega}{(j \omega + 1)(j \omega + 2)(j \omega - 2)(-\omega^2 + 16\pi^4)} \]
pertanto
\[ \left \vert Y(j \omega) \right \vert = \frac{8 \pi^2 \omega}{\sqrt{\omega^2 + 1} (\omega^2 + 4) \left \vert 16\pi^4 - \omega^2 \right \vert } \]

[elgiovo]

Sulla questione di $f = 2 \pi$ ti ha detto bene Riccardo, anche se a mio avviso hai scritto (o letto) male il testo, perché per avere successivamente \(\displaystyle \omega = 1\) rad/s casomai dovrebbe essere $f = 1/{2\pi}$ Hz.
Comunque il tuo procedimento è quello esatto, mentre il professore ha usato un'ispezione visiva per evitare di fare conti (sa già che a -3dB il modulo ha un certo valore).

PS: dal grafico del modulo che hai riportato però non mi sembra si possa dire proprio con sicurezza che il modulo vale -3dB per 1 rad/s! La scala va di 10 in 10... Un pò approssimativo questo prof.