[Teoria dei Segnali]Sistemi LTI
Salve 
Ragazzi ho un problema con un esercizio sui sistemi LTI, in particolare :
Siano $S_1,S_2$ due sistemi LTI a tempo discreto causali,$S_1$ con risposta implusiva $h_1(n)=R_2(n)={(1 if nin{0,1}),(0 text{ else}):}$
Supponiamo che siano connessi in serie e che la risposta implusiva complessiva del sistema ottenuto sia $h(n)=delta(n)+4delta(n-1)-4delta(n-2)-2delta(n-3)+5delta(n-5)$.
Determinare $h_2(n)$.
Per la risoluzione ho pensato di sfruttare la proprietà della serie dei sistemi LTI la quale garantisce che la serie di 2 sistemi LTI è ancora un sistema LTI che ha per risposta impulsiva la convuluzione delle risposte implusive dei sistemi connessi.
Quindi
$h_1(n)**h_2(n)=h(n)$
Esplicitando
$sum_{k=-oo}^{+oo}h_1(k)h_2(n-k)=h_2(n)+h_2(n-1)=h(n)$
Ora non so come procedere, stavo pensando di sfruttare l'ipotesi che i sistemi sono causali , ma non so come...
L'unica cosa che mi era balzata per la testa era di valutare $h_2(0)+h_2(-1)=h(0)$ che mi dava il valore $h_2$ nell'origine essende il sistema causale,però non so se può essere una cosa utile.
Qualcuno potrebbe aiutarmi ?
Ringrazio in anticipo per le eventuali risposte.
Ragazzi ho un problema con un esercizio sui sistemi LTI, in particolare :
Siano $S_1,S_2$ due sistemi LTI a tempo discreto causali,$S_1$ con risposta implusiva $h_1(n)=R_2(n)={(1 if nin{0,1}),(0 text{ else}):}$
Supponiamo che siano connessi in serie e che la risposta implusiva complessiva del sistema ottenuto sia $h(n)=delta(n)+4delta(n-1)-4delta(n-2)-2delta(n-3)+5delta(n-5)$.
Determinare $h_2(n)$.
Per la risoluzione ho pensato di sfruttare la proprietà della serie dei sistemi LTI la quale garantisce che la serie di 2 sistemi LTI è ancora un sistema LTI che ha per risposta impulsiva la convuluzione delle risposte implusive dei sistemi connessi.
Quindi
$h_1(n)**h_2(n)=h(n)$
Esplicitando
$sum_{k=-oo}^{+oo}h_1(k)h_2(n-k)=h_2(n)+h_2(n-1)=h(n)$
Ora non so come procedere, stavo pensando di sfruttare l'ipotesi che i sistemi sono causali , ma non so come...
L'unica cosa che mi era balzata per la testa era di valutare $h_2(0)+h_2(-1)=h(0)$ che mi dava il valore $h_2$ nell'origine essende il sistema causale,però non so se può essere una cosa utile.
Qualcuno potrebbe aiutarmi ?
Ringrazio in anticipo per le eventuali risposte.
Risposte
"Otherguy2k":
Ora non so come procedere, stavo pensando di sfruttare l'ipotesi che i sistemi sono causali , ma non so come...
L'unica cosa che mi era balzata per la testa era di valutare $h_2(0)+h_2(-1)=h(0)$ che mi dava il valore $h_2$ nell'origine essende il sistema causale,però non so se può essere una cosa utile.
Sì, direi che va bene.
In alternativa potresti passare nel dominio $z$: da $Y(z)=X(z)H_1(z)H_2(z)$ hai $h_2[n]=ccZ^(-1)[(Y(z))/(X(z)H_1(z))]$.
Grazie ad entrambi per le risposte
Ho continuato col metodo con il quale avevo iniziato, dopo aver trovato il valore nell'origine ho proceduto ricorsivamente:
$h_2(1)=h(1)-h_2(0)$
$h_2(2)=h(2)-h_2(1)$
$h_2(3)=h(3)-h_2(2)$
$h_2(4)=h(4)-h_2(3)=0$
Poichè per istanti successivi al quarto $h(n)$ è sempre nulla mi posso fermare a questo termine.
Facendo un pò di calcoli arrivo a:
$h_2(n)=delta(n)+3delta(n-1)-7delta(n-2)+5delta(n-3)$
Ho continuato col metodo con il quale avevo iniziato, dopo aver trovato il valore nell'origine ho proceduto ricorsivamente:
$h_2(1)=h(1)-h_2(0)$
$h_2(2)=h(2)-h_2(1)$
$h_2(3)=h(3)-h_2(2)$
$h_2(4)=h(4)-h_2(3)=0$
Poichè per istanti successivi al quarto $h(n)$ è sempre nulla mi posso fermare a questo termine.
Facendo un pò di calcoli arrivo a:
$h_2(n)=delta(n)+3delta(n-1)-7delta(n-2)+5delta(n-3)$
"Otherguy2k":
Poichè per istanti successivi al quarto $h(n)$ è sempre nulla mi posso fermare a questo termine.
Sicuro? Con l'antitrasformata zeta ottengo che
$h(n)=ccZ^(-1){(1+5/z^5-2/z^3-4/z^2+4/z)/(1+1/z)}=(-1)^n[1-4"H"(n-1)-4"H"(n-2)+2"H"(n-3)-5"H"(n-5)]=delta(n)+3delta(n-1)-7delta(n-2)+5delta(n-3)-5delta(n-4)+10delta(n-5)-10delta(n-6)+10delta(n-7)-ldots$
dove $"H"(cdot)$ è il gradino.
Perdonami ho fatto un errore di battitura:
$h(n)=delta(n)+4delta(n-1)-4delta(n-2)-2delta(n-3)+5delta(n-4)$
$h(n)=delta(n)+4delta(n-1)-4delta(n-2)-2delta(n-3)+5delta(n-4)$
No no, avevi scritto bene (non confondere la $delta$ di Kronecker con il gradino). E' solo che la risposta impulsiva che ottengo con l'antitrasformata è infinita, mentre la tua si annulla dopo un certo numero di passi (in altre parole, ottieni un filtro FIR), e finchè la tua non si annulla le due risposte coincidono. Siccome ho controllato l'antitrasformata con Mathematica, ti invito a rivedere i conti.
Alt ! 
Quella che ho riscritto è la risposta impulsiva della traccia dell'esercizio che avevo sbagliato a scrivere.
La risposta da determinare è $h_2(n)$ e quella che ho trovato è corretta ,ho confrontato il risultato col testo!
Quella che ho riscritto è la risposta impulsiva della traccia dell'esercizio che avevo sbagliato a scrivere.
La risposta da determinare è $h_2(n)$ e quella che ho trovato è corretta ,ho confrontato il risultato col testo!
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