[Teoria dei Segnali] [RISOLTO] Banda al 99% della potenza di un segnale
Salve, ho delle perplessità riguardo il seguente esercizio.
"
Si consideri il segnale $x(t)= 1+ \sum_{k=-\infty}^{+ \infty} {\Lambda (3t - 6k)}$ .
1) Calcolare la componente continua del segnale (valor medio);
2) Calcolare la trasformata di Fourier di $x(t)$ ;
3) Calcolare la banda monolatera al 99% della potenza del segnale.
L'impulso triangolare che vediamo periodizzato è così definito :
$$\Lambda (3t)= \begin{cases}
(1-|3t|) , & \text{se} |t| < \frac{1}{3} \\
\newline
0 , \text{altrimenti}
\end{cases}
$$
"
Svolgimento:
1) $x(t)= 1+ \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \Lambda(3(t-2k)) = 1+rep_{2} \Lambda(3t)$
$x_{dc} = 1+ \frac{1}{T_0} \int_{[T_0]} x(t) dt = 1+ \frac{1}{6} = \frac{7}{6}$
2) La trasformata di Fourier del segnale, dovrebbe essere uguale a
$X(f)= \delta(f) + \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{6} sinc^2(\frac{k}{6}) \delta(f- \frac{k}{2})$ .
3) Questo è il punto sul quale ho delle incertezze. Un segnale periodico di periodo $T_0$ è sviluppabile in serie di Fourier; la funzione di autocorrelazione di tale segnale è anch'essa periodica dello stesso periodo e pertanto sviluppabile in serie di Fourier. Abbiamo quindi che (per il teorema di Wiener-Khintchine) la densità spettrale di potenza (PSD) di un segnale periodico è $S_x(f)= \sum_{k=-\infty}^{+\infty} |X_k|^2 \delta(f- \frac{k}{T_0})$ ; otterremo poi la potenza integrando la PSD su tutto lo spettro $P_x= \int_{-\infty}^{+\infty} S_x(f) df = \sum_{k=-\infty}^{+infty} |X_k|^2$ .
Calcolare la banda monolatera al 99% della potenza del segnale vuol dire trovare $M$ tale che $ 0.99 P_x \leq \sum_{k=-M}^{M} |X_k|^2 $. Fin qui mi sembra di avere tutto chiaro; la mia perplessità riguarda gli effetti di quel segnale costante sullo spettro.
La potenza calcolata usando $x(t)$ è $$P_x= \frac{1}{T_0} \int_{[T_0]} |x(t)|^2 dt = \frac{1}{2} \cdot [2+ \frac{2}{3} +\frac{2}{9}] = \frac{13}{9}$$ . Il calcolo di $B_{99%}$ è allora $0.99 P_x \leq 1+ \sum_{k=-M}^{M} [\frac{1}{36} sinc^4(\frac{k}{6})] $ , giusto?
Nota: quell'1 al di fuori della sommatoria rappresenta il contributo alla potenza totale del segnale di $1$, contributo concentrato in un impulso di Dirac centrato in $f=0$ .
"
Si consideri il segnale $x(t)= 1+ \sum_{k=-\infty}^{+ \infty} {\Lambda (3t - 6k)}$ .
1) Calcolare la componente continua del segnale (valor medio);
2) Calcolare la trasformata di Fourier di $x(t)$ ;
3) Calcolare la banda monolatera al 99% della potenza del segnale.
L'impulso triangolare che vediamo periodizzato è così definito :
$$\Lambda (3t)= \begin{cases}
(1-|3t|) , & \text{se} |t| < \frac{1}{3} \\
\newline
0 , \text{altrimenti}
\end{cases}
$$
"
Svolgimento:
1) $x(t)= 1+ \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \Lambda(3(t-2k)) = 1+rep_{2} \Lambda(3t)$
$x_{dc} = 1+ \frac{1}{T_0} \int_{[T_0]} x(t) dt = 1+ \frac{1}{6} = \frac{7}{6}$
2) La trasformata di Fourier del segnale, dovrebbe essere uguale a
$X(f)= \delta(f) + \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{6} sinc^2(\frac{k}{6}) \delta(f- \frac{k}{2})$ .
3) Questo è il punto sul quale ho delle incertezze. Un segnale periodico di periodo $T_0$ è sviluppabile in serie di Fourier; la funzione di autocorrelazione di tale segnale è anch'essa periodica dello stesso periodo e pertanto sviluppabile in serie di Fourier. Abbiamo quindi che (per il teorema di Wiener-Khintchine) la densità spettrale di potenza (PSD) di un segnale periodico è $S_x(f)= \sum_{k=-\infty}^{+\infty} |X_k|^2 \delta(f- \frac{k}{T_0})$ ; otterremo poi la potenza integrando la PSD su tutto lo spettro $P_x= \int_{-\infty}^{+\infty} S_x(f) df = \sum_{k=-\infty}^{+infty} |X_k|^2$ .
Calcolare la banda monolatera al 99% della potenza del segnale vuol dire trovare $M$ tale che $ 0.99 P_x \leq \sum_{k=-M}^{M} |X_k|^2 $. Fin qui mi sembra di avere tutto chiaro; la mia perplessità riguarda gli effetti di quel segnale costante sullo spettro.
La potenza calcolata usando $x(t)$ è $$P_x= \frac{1}{T_0} \int_{[T_0]} |x(t)|^2 dt = \frac{1}{2} \cdot [2+ \frac{2}{3} +\frac{2}{9}] = \frac{13}{9}$$ . Il calcolo di $B_{99%}$ è allora $0.99 P_x \leq 1+ \sum_{k=-M}^{M} [\frac{1}{36} sinc^4(\frac{k}{6})] $ , giusto?
Nota: quell'1 al di fuori della sommatoria rappresenta il contributo alla potenza totale del segnale di $1$, contributo concentrato in un impulso di Dirac centrato in $f=0$ .
Risposte
Ciao xh144fata
Ho guardato molto velocemente, e quindi forse mi sbaglio, ma la risposta relativa alla componente continua non mi pare corretta.
Hai un triangolo di base 2/3 altezza 1 che si ripete con un periodo di 2. Mi attenderei un valor medio
$(1/2*2/3*1)/2 = 1/6$
a cui poi ovviamente aggiungere 1 per cui il risultato finale dovrebbe essere 7/6.
Ho guardato molto velocemente, e quindi forse mi sbaglio, ma la risposta relativa alla componente continua non mi pare corretta.
Hai un triangolo di base 2/3 altezza 1 che si ripete con un periodo di 2. Mi attenderei un valor medio
$(1/2*2/3*1)/2 = 1/6$
a cui poi ovviamente aggiungere 1 per cui il risultato finale dovrebbe essere 7/6.
Ciao ingres, grazie per la risposta. Ho corretto gli errori che mi hai fatto notare, tuttavia - se quanto ho scritto è vero - il limite di banda $B_{99}$ è uguale a $0$ , poiché già con il solo impulso di ampiezza 1 supero il 99% della potenza. È il risultato corretto?
La definizione che hai dato mi pare corretta (ma mi riservo di vedere in qualche testo) e non ho rifatto i conti, ma questo risultato sicuramente è errato.
$1/2 [2+ 2/3 +2/9] =17/18$
Il valore corretto è 13/9 e quindi $B_99$ comunque non è nullo.
$1/2 [2+ 2/3 +2/9] =17/18$
Il valore corretto è 13/9 e quindi $B_99$ comunque non è nullo.
Sì, sono d'accordo con te, $B_{99}$ non è nullo. Il problema è trovare il valore corretto. Facendo i calcoli, ho che per M molto alte non riesco ad arrivare ad 1.43. Sapresti dirmi dove sbaglio?
"xh144fata":
Facendo i calcoli, ho che per M molto alte non riesco ad arrivare ad 1.43
Che ovviamente contrasta con il teorema di Wiener secondo il quale il totale deve fare 13/9.
Per capire l'errore avrei bisogno di un maggior dettaglio, ma hai considerato correttamente il termine a k=0 ovvero il valor medio, facendo la sommatoria dei quadrati delle ampiezze?
Se la potenza del segnale è veramente $P_x=\frac{1}{2} \int_{-1}^{+1} (1+ \Lambda(3t))^2 dt $ allora il 99% è $0.99P_x =0.99 \frac{13}{9} = 1.43 $ . In tal caso, devo trovare $M$ tale che $1.43 \leq 1+ \sum_{k=-M}^{M} [\frac{1}{36} sinc^4(\frac{k}{6})]$ , tuttavia sommando arrivo ad 1.349 e non vado oltre. Dev'esserci qualcosa di sbagliato, probabilmente nel calcolo della potenza.
Se guardo $x(t)$ come la somma di due segnali, allora avrei che $P_x= P_(x_1) + P_(x_2)$ ; se la potenza della somma di due segnali è uguale alla somma delle rispettive potenze (non ne sono sicuro), allora $P_x= 1+ P_(x_2)= 1 + \frac{1}{2} \frac{2}{9}= \frac{10}{9}$ . Avremmo quindi che $0.99P_x= 1.1$ e perciò $M=2$ ed il limite di banda è $B_{99} = \frac{M}{T_0} = \frac{2}{2}=1 $ . Tra i due modi di procedere, l'unico che mi da un risultato è quest'ultimo: è corretto?
Se guardo $x(t)$ come la somma di due segnali, allora avrei che $P_x= P_(x_1) + P_(x_2)$ ; se la potenza della somma di due segnali è uguale alla somma delle rispettive potenze (non ne sono sicuro), allora $P_x= 1+ P_(x_2)= 1 + \frac{1}{2} \frac{2}{9}= \frac{10}{9}$ . Avremmo quindi che $0.99P_x= 1.1$ e perciò $M=2$ ed il limite di banda è $B_{99} = \frac{M}{T_0} = \frac{2}{2}=1 $ . Tra i due modi di procedere, l'unico che mi da un risultato è quest'ultimo: è corretto?
In generale la proprietà di potenza totale come somma delle potenze singole non è valida (basta considerare un segnale somma di 2 segnali costanti per verificarlo).
Il teorema di Parseval, visto che parliamo di una serie di Fourier, oppure se vuoi quello di Wiener, danno un risultato del genere perchè i singoli segnali componenti godono di una proprietà di ortogonalità tra loro.
Premesso questo, intanto ti confermo che, proprio in base a quanto scritto sopra, c'è un errore nella componente media. il quadrato di tale componente vale 49/36 e non 37/36 come si desume dalla relazione che hai scritto (la differenza dipende proprio dal fatto che i valori medi non sono ortogonali).
Ovviamente non basta aggiungere 12/36 per andare avanti: in primo luogo bisogna verificare che le due espressioni della $P_x$ coincidano, al di là della richiesta del 99%.
Prova da solo a verificare e nel caso ad aggiustare i conti. In parallelo vedo se riesco a fare lo stesso.
Il teorema di Parseval, visto che parliamo di una serie di Fourier, oppure se vuoi quello di Wiener, danno un risultato del genere perchè i singoli segnali componenti godono di una proprietà di ortogonalità tra loro.
Premesso questo, intanto ti confermo che, proprio in base a quanto scritto sopra, c'è un errore nella componente media. il quadrato di tale componente vale 49/36 e non 37/36 come si desume dalla relazione che hai scritto (la differenza dipende proprio dal fatto che i valori medi non sono ortogonali).
Ovviamente non basta aggiungere 12/36 per andare avanti: in primo luogo bisogna verificare che le due espressioni della $P_x$ coincidano, al di là della richiesta del 99%.
Prova da solo a verificare e nel caso ad aggiustare i conti. In parallelo vedo se riesco a fare lo stesso.
c'è un errore nella componente media. il quadrato di tale componente vale 49/36 e non 37/36 come si desume dalla relazione che hai scritto
Dove?
Per quanto riguarda il calcolo della potenza, $P_x= \frac{1}{T_0} \int_{[T_0]} |x(t)|^2 dt $ è la formula per il calcolo della potenza di un segnale periodico. Non credo che $1$ faccia parte del segnale periodico, ma che sia invece un segnale a se. Dovremmo allora considerare $x(t)$ come la somma di due elementi, o sbaglio?
"xh144fata":
Dove?
Dove hai scritto che$ 1.43 \leq 1+ \sum_{k=-M}^{M} [\frac{1}{36} sinc^4(\frac{k}{6})] $
Da questa relazione si desumerebbe che i contributi dei termini medi valgano 1+ 1/36.
"xh144fata":
Dovremmo allora considerare x(t) come la somma di due elementi,
Si. La potenza non è lineare e quindi devi considerare x(t) come somma dei due segnali (d'altro canto anche nel calcolo diretto dell'integrale si tiene conto assieme dei due segnali). Il valore 1 non fa altro che aumentare il termine medio a 7/6 senza alterare il fatto che il segnale nel suo complesso rimanga periodico.
Per la soluzione puoi vedere il post successivo.
Ho eseguito dei calcoli, in primo luogo per verificare la rispondenza al teorema.
Mi risulta effettivamente ($text(sinc)(x) =(sin(pi*x))/(pi*x)$)
$P_x = 49/36 + 2*sum_(k=1)^infty [1/36 text(sinc)^4(k/6)]=1.bar 4 = 13/9$
Poi si trova abbastanza agevolmente che $0.99 P_x$ si ha per M=2.
Mi risulta effettivamente ($text(sinc)(x) =(sin(pi*x))/(pi*x)$)
$P_x = 49/36 + 2*sum_(k=1)^infty [1/36 text(sinc)^4(k/6)]=1.bar 4 = 13/9$
Poi si trova abbastanza agevolmente che $0.99 P_x$ si ha per M=2.
Non capisco da dove viene $\frac{49}{36}$ , inoltre seguendo quello che hai scritto tu viene $P_x=1.6824 \ne \frac{13}{9}$ .
"xh144fata":
Non capisco da dove viene 49/36
E' il termine $(7/6)^2$ ovvero il quadrato del valor medio.
"xh144fata":
inoltre seguendo quello che hai scritto tu viene $P_x=1.6824≠13/9$.
Hai usato la definizione normalizzata di sinc(x) ?
https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_sinc
Quindi possiamo calcolare la potenza di un segnale periodico scomponendolo in componenti continua ed alternata, poi sommando i quadrati (nel dominio della frequenza). Giusto?
Mentre il limite di banda è uguale a $B_{99}= \frac{M}{T_0}=1$ . È così?
Un'ultima domanda: come mai usi il seno cardinale normalizzato anziché quello definito come $sinc(x)= \frac{sin(x)}{x}$ ?
Mentre il limite di banda è uguale a $B_{99}= \frac{M}{T_0}=1$ . È così?
Un'ultima domanda: come mai usi il seno cardinale normalizzato anziché quello definito come $sinc(x)= \frac{sin(x)}{x}$ ?
"xh144fata":
Quindi possiamo calcolare la potenza di un segnale periodico scomponendolo in componenti continua ed alternata, poi sommando i quadrati (nel dominio della frequenza). Giusto?
SI.
In realtà la componente continua è il termine in M=0 che ho messo in evidenza solo per rimarcare il fatto che tale termine è relativo a tutta la forma d'onda e che non è corretto considerare le componenti separate. E quanto detto non vale solo per la componente media ma anche per tutte le armoniche laddove fosse il caso.
"xh144fata":
Mentre il limite di banda è uguale a $B_99=M/T_0=1$. È così?
SI
"xh144fata":
Un'ultima domanda: come mai usi il seno cardinale normalizzato anziché quello definito come $sinc(x)=sin(x)/x$ ?
Questa non è una mia scelta, ma dipende intrinsecamente dallo sviluppo della funzione in termini armonici.
Qui https://www3.diism.unisi.it/~giambene/f ... se_tds.pdf
puoi trovare a pag. 15 il calcolo dello sviluppo della funzione (basta porre $A=1$, $tau=2/3$, $T=2$) e a pagina 16 ritrovi esattamente i tuoi coefficienti e tutto il calcolo per ottenerli, che però sfrutta la definizione di seno cardinale normalizzato.
Ho capito. Grazie mille per l'aiuto, ingres.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo