Teoria dei Segnali - Prodotto scalare
Salve a tutti,
mi trovo in questa situazione: devo calcolare l'autocorrelazione della risposta impulsiva $r_h$,
mediante, quindi, il prodotto scalare:
$r_h=$
dove $h(t)=2\Pi(t/T)$, quindi un impulso rettangolare.
In questo caso ho risolto moltiplicando i due segnali fra di loro:
$2\Pi(t/T)*2\Pi((t-\tau)/T)$
ottenendo:
$4\Pi(\tau/T)$ , anche se non sono proprio sicuro di questo risultato.
E' la strada giusta?
Grazie
mi trovo in questa situazione: devo calcolare l'autocorrelazione della risposta impulsiva $r_h$,
mediante, quindi, il prodotto scalare:
$r_h=
dove $h(t)=2\Pi(t/T)$, quindi un impulso rettangolare.
In questo caso ho risolto moltiplicando i due segnali fra di loro:
$2\Pi(t/T)*2\Pi((t-\tau)/T)$
ottenendo:
$4\Pi(\tau/T)$ , anche se non sono proprio sicuro di questo risultato.
E' la strada giusta?
Grazie
Risposte
Come da definizione, l'autocorrelazione, funzione di [tex]$\tau[/tex], risulta essere
[tex]$r_h(\tau)=\int_{-\infty}^\infty h^\star(t)h(t+\tau)dt[/tex],
dove la stella indica il complesso coniugato.
Prova a fare i conti.
[tex]$r_h(\tau)=\int_{-\infty}^\infty h^\star(t)h(t+\tau)dt[/tex],
dove la stella indica il complesso coniugato.
Prova a fare i conti.
Grazie per la risposta,
ma in questo caso non ho un segnale complesso, ma un segnale reale.
Non credo sia possibile calcolare il coniugato dell'impulso rettangolare.
Per questo ho moltiplicato il segnale centrato nell'origine per lo stesso segnale traslato.
Evidentemente sono delle mie congetture, applicando al caso continuo la soluzione del caso discreto con delta di Dirac (dove appunto si moltiplicano i due segnali delta per ottenere il prodotto scalare)
ma in questo caso non ho un segnale complesso, ma un segnale reale.
Non credo sia possibile calcolare il coniugato dell'impulso rettangolare.
Per questo ho moltiplicato il segnale centrato nell'origine per lo stesso segnale traslato.
Evidentemente sono delle mie congetture, applicando al caso continuo la soluzione del caso discreto con delta di Dirac (dove appunto si moltiplicano i due segnali delta per ottenere il prodotto scalare)
"faximusy":
ma in questo caso non ho un segnale complesso, ma un segnale reale.
Non credo sia possibile calcolare il coniugato dell'impulso rettangolare.
Certo che si può, se la parte immaginaria è nulla, cambiata di segno rimane nulla. Ripeto, prova a calcolare quell'integrale, il risultato non è una funzione rettangolare.
Quindi, considerando nulla la parte immaginaria, e considerando corretta la mia moltiplicazione, dovrei risolvere l'integrale:
[tex]$r_h(\tau)=\int_{-\infty}^\infty 4\Pi(t/T)dt[/tex]
che equivale all'integrale:
$\int_(-T/2)^(T/2) 4\Pi(t/T)dt=4T$
[tex]$r_h(\tau)=\int_{-\infty}^\infty 4\Pi(t/T)dt[/tex]
che equivale all'integrale:
$\int_(-T/2)^(T/2) 4\Pi(t/T)dt=4T$
Il valore dell'autocorrelazione non dipende da [tex]\tau[/tex]? Mi puzza.
C'è un metodo carino nel risolvere questi integrali ovviando alla solita strada analitica. In pratica tu dovresti calcolare questo integrale:
[tex]\displaystyle4\int_{-\infty}^{+\infty}\Pi\left(\frac{t}{T}\right)\Pi\left(\frac{t+\tau}{T}\right)\text{d}t[/tex]
La funzione [tex]h(t)=\Pi\left(\frac{t}{T}\right)[/tex] è un rettangolo centrato in [tex]t=0[/tex] e compreso nell'intervallo [tex][-T/2, T/2][/tex]. Il trucco è quello di far traslare questa funzione e calcolare quell'integrale in funzione del parametro di traslazione [tex]\tau[/tex]. Infatti, la funzione [tex]h(t+\tau)=\Pi\left(\frac{t+\tau}{T}\right)[/tex] non è nient'altro che il rettangolo [tex]h(t)[/tex] centrato in [tex]t=-\tau[/tex] e compreso nell'intervallo [tex][-\tau-T/2, -\tau+T/2][/tex]. Questo vuol dire che per [tex]\tau>T[/tex] (ottenuto imponendo che il limite superiore della funzione traslata sia inferiore all'estremo inferiore di quella di base, ovvero che [tex]-\tau+T/2<-T/2[/tex]) non ci sarà nessuna intersezione tra le due funzioni e quindi l'integrale risulterà nullo (nella pratica la funzione traslata, se posta su un grafico, si troverà sempre più a sinistra di quella di base e quindi l'intersezione tra le due sarà sempre nulla).
Se ti è chiaro quello che ho scritto non avrai difficoltà a capire come varia il valore dell'integrale al variare di [tex]\tau[/tex] (ed in particolare al diminuire).
C'è un metodo carino nel risolvere questi integrali ovviando alla solita strada analitica. In pratica tu dovresti calcolare questo integrale:
[tex]\displaystyle4\int_{-\infty}^{+\infty}\Pi\left(\frac{t}{T}\right)\Pi\left(\frac{t+\tau}{T}\right)\text{d}t[/tex]
La funzione [tex]h(t)=\Pi\left(\frac{t}{T}\right)[/tex] è un rettangolo centrato in [tex]t=0[/tex] e compreso nell'intervallo [tex][-T/2, T/2][/tex]. Il trucco è quello di far traslare questa funzione e calcolare quell'integrale in funzione del parametro di traslazione [tex]\tau[/tex]. Infatti, la funzione [tex]h(t+\tau)=\Pi\left(\frac{t+\tau}{T}\right)[/tex] non è nient'altro che il rettangolo [tex]h(t)[/tex] centrato in [tex]t=-\tau[/tex] e compreso nell'intervallo [tex][-\tau-T/2, -\tau+T/2][/tex]. Questo vuol dire che per [tex]\tau>T[/tex] (ottenuto imponendo che il limite superiore della funzione traslata sia inferiore all'estremo inferiore di quella di base, ovvero che [tex]-\tau+T/2<-T/2[/tex]) non ci sarà nessuna intersezione tra le due funzioni e quindi l'integrale risulterà nullo (nella pratica la funzione traslata, se posta su un grafico, si troverà sempre più a sinistra di quella di base e quindi l'intersezione tra le due sarà sempre nulla).
Se ti è chiaro quello che ho scritto non avrai difficoltà a capire come varia il valore dell'integrale al variare di [tex]\tau[/tex] (ed in particolare al diminuire).
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