[Teoria dei Segnali] Esercizio campionamento
Individuare il periodo, lo sviluppo in serie discreta di Fourier e la trasformata di Fourier del segnale x[n] ottenuto campionando con passo Tc il segnale
[tex]x(t)=cos(4pif_0t)[/tex]
dove [tex]T_c=7/(3f_0)[/tex]
Qualcuno può aiutarmi a trovare la soluzione con i relativi passaggi?
In particolar modo mi interesserebbero (pur se probabilmente banali) i passaggi per campionare il segnale x(t) e l'"impostazione" del problema per il successivo sviluppo in serie di Fourier.
[tex]x(t)=cos(4pif_0t)[/tex]
dove [tex]T_c=7/(3f_0)[/tex]
Qualcuno può aiutarmi a trovare la soluzione con i relativi passaggi?
In particolar modo mi interesserebbero (pur se probabilmente banali) i passaggi per campionare il segnale x(t) e l'"impostazione" del problema per il successivo sviluppo in serie di Fourier.
Risposte
Cominciamo con il campionare il segnale. Per definizione, dato un segnale [tex]x(t)[/tex], la sua versione campionata (monolatera) è possibile ottenerla utilizzando un treno di impulsi di Dirac, ovvero:
[tex]x_n(t)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}x(nT_c)\delta(t-nT_c)[/tex]
Ora, calcoliamo i campioni negli istanti [tex]t=nT_c=n\(\frac{7}{3f_0}\)[/tex]:
[tex]x(0)=\cos(4\pi f_0t)|_{t=0}=1[/tex]
[tex]x(T_c)=\cos(4\pi f_0t)|_{t=T_c}=\cos(\frac{28}{3}\pi)=\cos(\frac{4}{3}\pi+8\pi)=\cos(\frac{4}{3}\pi)=-\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
In generale
[tex]x(nT_c)=\cos(\frac{4\pi}{3}n)=\cos((\pi+\frac{\pi}{3})n)=\cos(\frac{\pi}{3}n+\pi n)=(-1)^n\cos(\frac{\pi}{3}n)[/tex]
Prova a continuare.
[tex]x_n(t)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}x(nT_c)\delta(t-nT_c)[/tex]
Ora, calcoliamo i campioni negli istanti [tex]t=nT_c=n\(\frac{7}{3f_0}\)[/tex]:
[tex]x(0)=\cos(4\pi f_0t)|_{t=0}=1[/tex]
[tex]x(T_c)=\cos(4\pi f_0t)|_{t=T_c}=\cos(\frac{28}{3}\pi)=\cos(\frac{4}{3}\pi+8\pi)=\cos(\frac{4}{3}\pi)=-\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
In generale
[tex]x(nT_c)=\cos(\frac{4\pi}{3}n)=\cos((\pi+\frac{\pi}{3})n)=\cos(\frac{\pi}{3}n+\pi n)=(-1)^n\cos(\frac{\pi}{3}n)[/tex]
Prova a continuare.
Non riesco a capire il passaggio dal segnale originale al segnale campionato. Perchè si utilizza la delta di Dirac per rappresentare il segnale e non si utilizza una funzione onda quadra con ampiezza il valore del segnale al tempo di campionamento?
Il valore del segnale campionato diventa con l'utilizzo della delta il valore dell'integrale di questa "funzione" nell'intervallo di tempo tra i campionamenti.
Il valore del segnale campionato diventa con l'utilizzo della delta il valore dell'integrale di questa "funzione" nell'intervallo di tempo tra i campionamenti.
Non so quale sia il tuo dubbio. Quello scritto è semplicemente il campionamento ideale; ovvero, si ottengono dei campioni di ampiezza pari a quella del segnale negli istanti di campionamento ([tex]x(nT_c)[/tex]) e questo lo si fa utilizzando la [tex]\delta(t-nT_c)[/tex] diversa da [tex]0[/tex] e pari ad [tex]1[/tex] solo per [tex]t=nT_c[/tex].
Con l'utilizzo della "funzione" delta di Dirac il segnale campionato viene convertito in una sequenza di impulsi pari all'impulso del segnale originale nell'intervallo di tempo di campionamento (considerato come segnale costante, quindi senza interpolazione), il valore del segnale viene modificato, visto che la delta "vale" infinito nell'istante di campionamento.
Probabilmente ci sono delle condizioni opportune in base alle quali il segnale originale può essere considerato come una serie di impulsi di durata tendente a 0, un confronto tra il tempo di campionamento e alcune caratteristiche del sistema controllato.
Probabilmente ci sono delle condizioni opportune in base alle quali il segnale originale può essere considerato come una serie di impulsi di durata tendente a 0, un confronto tra il tempo di campionamento e alcune caratteristiche del sistema controllato.
[tex]x[n]=x(nT_c)=(-1)^n\cos(\frac{\pi}{3}n)[/tex]
???
"K.Lomax":
Prova a continuare.
???
Controlla se il valore di questi coefficienti si ripete. Poi continua l'esercizio.
"nnsoxke":
Con l'utilizzo della "funzione" delta di Dirac il segnale campionato viene convertito in una sequenza di impulsi pari all'impulso del segnale originale nell'intervallo di tempo di campionamento (considerato come segnale costante, quindi senza interpolazione), il valore del segnale viene modificato, visto che la delta "vale" infinito nell'istante di campionamento.
Probabilmente ci sono delle condizioni opportune in base alle quali il segnale originale può essere considerato come una serie di impulsi di durata tendente a 0, un confronto tra il tempo di campionamento e alcune caratteristiche del sistema controllato.
Questione interessante. Proviamo ad approfondire... K.Lomax, vuoi farlo tu?
Sono sul posto di lavoro dunque non ho modo di spiegare adeguatamente a modo mio. Maggiori dettagli sono riportati qui http://it.wikiversity.org/wiki/Campiona ... _analogici
Mi sembra che abbiamo fugato il dubbio: il valore del segnale all'istante [tex]nT_c[/tex] non è immagazzinato nei valori di un altro segnale "deltiforme", ma nelle aree sottese dalle [tex]\delta(t-nT_c)[/tex], in vista della proprietà [tex]x(t)\delta(t-t_0)=x(t_0)\delta(t-t_0)[/tex].
Grazie per le informazioni, hanno chiarito il dubbio, non sapevo fosse presente anche un circuito di ricostruzione del segnale e quali fossero i limiti reali di questo
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