[Teoria dei segnali] Esercizi vari
Ciao a tutti,
vorrei chiedere chiarimenti riguardo un paio di esercizi:
incominciamo intanto con questo -
calcolare la convoluzione Z(kT) di
$x_((kT))=(0.5)^(-k) *1_o(-kT)$ e $y_((kT))=(0.5)^(k) *1_o((kT))$
dove $1_o(kT)={(1; per k>=0),(0; altrimenti):}$
allora siccome devo trovare la convoluzione un segnale (prendiamo x) lo devo ribaltare e traslare quindi ottengo due segnali uguali di cui uno lo traslo:
$Z_((kT))=T*sum_(h=-infty)^(+infty)y_((hT))*x_((kT-hT))={(T*sum_(h=0)^(+infty)y_((hT))*x_((kT-hT)) ;per k<0),(T*sum_(h=k)^(+infty)y_((hT))*x_((kT-hT));per k>=0):}$
e fin qui tutto ok. Dopo però la soluzione dice che utilizzando la serie $sum_(k=0)^(infty)p^k=frac{1}{1-p}$ il risultato complessivo diventa $Z_((kT))=4/3*T*(0.5)^(|k|)$
Quest'ultimo passaggio mi è davvero poco chiaro :S
Grazie a tutti
vorrei chiedere chiarimenti riguardo un paio di esercizi:
incominciamo intanto con questo -
calcolare la convoluzione Z(kT) di
$x_((kT))=(0.5)^(-k) *1_o(-kT)$ e $y_((kT))=(0.5)^(k) *1_o((kT))$
dove $1_o(kT)={(1; per k>=0),(0; altrimenti):}$
allora siccome devo trovare la convoluzione un segnale (prendiamo x) lo devo ribaltare e traslare quindi ottengo due segnali uguali di cui uno lo traslo:
$Z_((kT))=T*sum_(h=-infty)^(+infty)y_((hT))*x_((kT-hT))={(T*sum_(h=0)^(+infty)y_((hT))*x_((kT-hT)) ;per k<0),(T*sum_(h=k)^(+infty)y_((hT))*x_((kT-hT));per k>=0):}$
e fin qui tutto ok. Dopo però la soluzione dice che utilizzando la serie $sum_(k=0)^(infty)p^k=frac{1}{1-p}$ il risultato complessivo diventa $Z_((kT))=4/3*T*(0.5)^(|k|)$
Quest'ultimo passaggio mi è davvero poco chiaro :S
Grazie a tutti
Risposte
Per la simmetria del problema si può considerare, per ora, il calcolo dei $z_k$ per $k>=0$.
Traslando di $k$ posizioni a destra uno dei due segnali è evidente osservare, ad esempio per via grafica, che
$y_k ** x_k = sum_(i=0)^infty (1/2)^i(1/2)^(i+k)=(1/2)^k*sum_(i=0)^infty (1/2)^(2i)=((1/2)^k)/(1-1/4)$.
Volendo includere anche il risultato per $k<0$ e il tempo di simbolo $T$ si ottiene:
$z(kT)=4/3T(1/2)^(|k|)$
Traslando di $k$ posizioni a destra uno dei due segnali è evidente osservare, ad esempio per via grafica, che
$y_k ** x_k = sum_(i=0)^infty (1/2)^i(1/2)^(i+k)=(1/2)^k*sum_(i=0)^infty (1/2)^(2i)=((1/2)^k)/(1-1/4)$.
Volendo includere anche il risultato per $k<0$ e il tempo di simbolo $T$ si ottiene:
$z(kT)=4/3T(1/2)^(|k|)$
Ho capito grazie...
Stavo anche osservando questo esercizio:
si consideri il segnale a tempo continuo $x_((t))=V_0*sinc^2(t/T_1)$ campionato con una frequenza $F_(c)=2/T_1 $. Posto $T=1/F_c$ calcolare la trasformata di Fourier del segnale:
$bar x_(t)=sum_(-infty)^(+infty)x_((kT))*rect(frac{t-kT}{T})$ con $t in RR$.
Allora operando un campionamento nel dominio del tempo, dualmente nel dominio delle frequenze avrò una periodicizzazione del segnale. Inoltre poi viene fatta il prodtto tra il segnale x campionato e il segnale rect, che nel dominio delle frequenze corrisponde a fare la convoluzione delle trasformate dei due segnali. La trasformata del sinc^2 è un'onda triangolare, e nel nostro particolar caso la trasormata di x è:
$F[x_(t)]=V_0*T_1*tria ngl e(t*T_1)$ mentre la trasofmrata del rect nient'altro è che il sinc.
La soluzione è questa:$bar X_((f))=sinc(fT)*(sum_(-infty)^(+infty)V_0*T_1*tria ngl e((f-k/T)*T_1)$
in linea di massima quindi ho capito da dove escono quel sinc e l'onda triangolare, ma mi trovo in difficoltà con la sommatoria e da come sia definito il rect nel segnale x(t).
Stavo anche osservando questo esercizio:
si consideri il segnale a tempo continuo $x_((t))=V_0*sinc^2(t/T_1)$ campionato con una frequenza $F_(c)=2/T_1 $. Posto $T=1/F_c$ calcolare la trasformata di Fourier del segnale:
$bar x_(t)=sum_(-infty)^(+infty)x_((kT))*rect(frac{t-kT}{T})$ con $t in RR$.
Allora operando un campionamento nel dominio del tempo, dualmente nel dominio delle frequenze avrò una periodicizzazione del segnale. Inoltre poi viene fatta il prodtto tra il segnale x campionato e il segnale rect, che nel dominio delle frequenze corrisponde a fare la convoluzione delle trasformate dei due segnali. La trasformata del sinc^2 è un'onda triangolare, e nel nostro particolar caso la trasormata di x è:
$F[x_(t)]=V_0*T_1*tria ngl e(t*T_1)$ mentre la trasofmrata del rect nient'altro è che il sinc.
La soluzione è questa:$bar X_((f))=sinc(fT)*(sum_(-infty)^(+infty)V_0*T_1*tria ngl e((f-k/T)*T_1)$
in linea di massima quindi ho capito da dove escono quel sinc e l'onda triangolare, ma mi trovo in difficoltà con la sommatoria e da come sia definito il rect nel segnale x(t).
Ogni termine nella sommatoria del segnale $X(f)$ rappresenta una replica della periodicizzazione.
Nel segnale x(t) il termine $"rect"((t-kT)/T)$ rappresenta, al variare di $k$, una successione di rettangoli di durata $T$ e centrati al tempo $kT$; in pratica il segnale $barx_t$ rappresenta un sample&hold.
Nel segnale x(t) il termine $"rect"((t-kT)/T)$ rappresenta, al variare di $k$, una successione di rettangoli di durata $T$ e centrati al tempo $kT$; in pratica il segnale $barx_t$ rappresenta un sample&hold.
Si infatti, non riesco a capire perchè venga periodicizzato il triangolo. Inoltre:
il segnale $sum_(k=-infty)^(+infty)rect(frac{t-kT}{T})$ essendo tanti rettangoli centrati in KT e di durata T, non si sovrappongo dando vita ad un segnale costante pari all'ampiezza (in questo caso 1)???
il segnale $sum_(k=-infty)^(+infty)rect(frac{t-kT}{T})$ essendo tanti rettangoli centrati in KT e di durata T, non si sovrappongo dando vita ad un segnale costante pari all'ampiezza (in questo caso 1)???
Ah no scusa ho detto una monata, la durata è T quindi non si sovrappongo i vari rect...
Comunque resta il fatto che, non capisco bene la questione: c'è que rect periodicizzato, che avrà un'ampiezza pari al valore di x nel punto (kT), e non capisco perchè venga perioidicizzato il triangolo dopo
Nei tempi hai la convoluzione tra la sequenza discreta dei $x(kT)$ e il segnale $"rect"(t/T)$, che nelle frequenze si traduce nel prodotto delle trasformate. La trasformata della sequenza è una periodicizzazione del segnale triangolare, mentre la trasformata del rect è un sinc.
Eccomi che ritorno con un altro esercizio 
Allora siamo in presenza di un filtro con risposta impulsiva $h(t)=2sinc(2t)$ e con ingresso $x(t)=|(1+sinc^2(t))*cos(2*pi*f_0t)|$ con $t in RR$ e $f_0 >>1$. Calcolare l'uscita del filtro.
Il metodo classico e quello di passare nel dominio delle frequenze, ovvero, siccome il filtro nel tempo non fa altro che calcolare la convoluzione tra segnale d'ingresso e risposta impulsiva, tutto ciò nel dominio delle frequenze si traduce nel prodotto tra le due trasformate, ovvero in una finestra.
Quindi:
$H(f)=rect (f/2)$ mentre per il segnale d'ingresso la cosa risulta un po'laboriosa. Posso scirvere $x(t)=(1+sinc^2(t))*|cos(2*pi*f_0*t)|$ e passando nel dominio delle frequenze->$X(f)={delta_(RR)(f)+t r i a n g l e(f)}convolut o{F[|cos(2*pi*f_0*t)|]}$
Quella trasformata del coseno in modulo è possbile ottenerla pensando al coseno come ad un prodotto tra coseno e un rect periodicizzato e deperiodicizzato successviamente, che nelle frequenze si traduce in un campionamento ed un interpolazione e si ottiene:
$F[|cos(2*pi*f_0*t)|]=2*fo*sum_(k=-infty)^(+infty)[1/(4f_0)*sinc(frac{k2f_o-f_0}{2f_0})+1/(4f_0)*sinc(frac{k2f_o + f_0}{2f_0})]*delta_(RR)(f-2kf_0)$
E fin qui mi trovo con la soluzione ma poi scirve direttamente il risultato di Y(f), che deriva dalla convoluzione dell'ultimo segnale che ho scirtto e quella somma tra l'impulo e il triangolo
Ma come si fa?? Il risultato è:$Y(f)=2/pi*(delta_(RR)(f)+triangle(f)$.
Grazie a tutti
Allora siamo in presenza di un filtro con risposta impulsiva $h(t)=2sinc(2t)$ e con ingresso $x(t)=|(1+sinc^2(t))*cos(2*pi*f_0t)|$ con $t in RR$ e $f_0 >>1$. Calcolare l'uscita del filtro.
Il metodo classico e quello di passare nel dominio delle frequenze, ovvero, siccome il filtro nel tempo non fa altro che calcolare la convoluzione tra segnale d'ingresso e risposta impulsiva, tutto ciò nel dominio delle frequenze si traduce nel prodotto tra le due trasformate, ovvero in una finestra.
Quindi:
$H(f)=rect (f/2)$ mentre per il segnale d'ingresso la cosa risulta un po'laboriosa. Posso scirvere $x(t)=(1+sinc^2(t))*|cos(2*pi*f_0*t)|$ e passando nel dominio delle frequenze->$X(f)={delta_(RR)(f)+t r i a n g l e(f)}convolut o{F[|cos(2*pi*f_0*t)|]}$
Quella trasformata del coseno in modulo è possbile ottenerla pensando al coseno come ad un prodotto tra coseno e un rect periodicizzato e deperiodicizzato successviamente, che nelle frequenze si traduce in un campionamento ed un interpolazione e si ottiene:
$F[|cos(2*pi*f_0*t)|]=2*fo*sum_(k=-infty)^(+infty)[1/(4f_0)*sinc(frac{k2f_o-f_0}{2f_0})+1/(4f_0)*sinc(frac{k2f_o + f_0}{2f_0})]*delta_(RR)(f-2kf_0)$
E fin qui mi trovo con la soluzione ma poi scirve direttamente il risultato di Y(f), che deriva dalla convoluzione dell'ultimo segnale che ho scirtto e quella somma tra l'impulo e il triangolo
Ma come si fa?? Il risultato è:$Y(f)=2/pi*(delta_(RR)(f)+triangle(f)$.
Grazie a tutti
Rieccomi con un altro esercizio: ho provato a farlo in un certo modo ma mi servirebbe una mano 
Allora devo calcolare la trasformata do Fourier del segnale $sinc^3((t-T)/T)$ (con $t in RR$) campionato da R a Z(T) ottenendo il segnale $x_(c(kT))$. Devo appunto calcolare la trasformata del segnale campionato.
Sono patito col fatto di lasciar perdere per il momento la traslazione nel tempo e di considerare solamente il segnale $sinc^2(t/T)*sin(t/T)$.
L'ho scritta in questo modo perchè così, passando nel dominio delle frequenze, posso calcolarmi la convoluzione tra ${T*t r i a n g l e(T*f)}$ e ${T*rect(T*f)}$.
Decido di ribaltare e traslare di f il rect ottenendo una cosa del genere (per il momento trascuro il T^2):
1) per $f+1/(2T)<-1/T$ e $f-1/(2T)>1/T$ la la convoluzione è nulla;
2)per $f-1/(2T)<-1/T$ e $f+1/(2T)>-1/T$ ho scritto $int_(-1/T)^(1/(2T)+f)(1+f'T)df'$ ottenendo $Z(f)=f^2T+2f+3/(4T)$;
3)per $f-1/(2T)>-1/T$ e $f+1/(2T)<1/T$ ottengo $int_(-1/(2T))^0(1+f'T)df'+int_0^(1/(2T)+f)(1-f'T)df'=-1/(2T)$
4)per $f-1/(2T)<1/T$ e $f+1/(2T)>1/T$ ottengo $Z(f)=f^2T-2f+3/(4T)$
Primo: non sono sicuro se quello che ho fatto finora è corretto. Secondo: come potrei scrivere questi casi in un modo più compatto?Nel senso esiste un segnale che mi descriva quei 4 casi fusi assieme??Terzo: non ho ancora tralsato nè periodicizzato il segnale, dato che nel tempo lo campiono: posso per ogni caso moltiplicare il segnale ottenuto per $e^(-j2pifT)$?? E per periodicizzarlo basta che scriva per ogni caso la sommatoria di $sum_(k=-infty)^(+infty)Z(f-kT)$???
Grazie mille a tutti
Allora devo calcolare la trasformata do Fourier del segnale $sinc^3((t-T)/T)$ (con $t in RR$) campionato da R a Z(T) ottenendo il segnale $x_(c(kT))$. Devo appunto calcolare la trasformata del segnale campionato.
Sono patito col fatto di lasciar perdere per il momento la traslazione nel tempo e di considerare solamente il segnale $sinc^2(t/T)*sin(t/T)$.
L'ho scritta in questo modo perchè così, passando nel dominio delle frequenze, posso calcolarmi la convoluzione tra ${T*t r i a n g l e(T*f)}$ e ${T*rect(T*f)}$.
Decido di ribaltare e traslare di f il rect ottenendo una cosa del genere (per il momento trascuro il T^2):
1) per $f+1/(2T)<-1/T$ e $f-1/(2T)>1/T$ la la convoluzione è nulla;
2)per $f-1/(2T)<-1/T$ e $f+1/(2T)>-1/T$ ho scritto $int_(-1/T)^(1/(2T)+f)(1+f'T)df'$ ottenendo $Z(f)=f^2T+2f+3/(4T)$;
3)per $f-1/(2T)>-1/T$ e $f+1/(2T)<1/T$ ottengo $int_(-1/(2T))^0(1+f'T)df'+int_0^(1/(2T)+f)(1-f'T)df'=-1/(2T)$
4)per $f-1/(2T)<1/T$ e $f+1/(2T)>1/T$ ottengo $Z(f)=f^2T-2f+3/(4T)$
Primo: non sono sicuro se quello che ho fatto finora è corretto. Secondo: come potrei scrivere questi casi in un modo più compatto?Nel senso esiste un segnale che mi descriva quei 4 casi fusi assieme??Terzo: non ho ancora tralsato nè periodicizzato il segnale, dato che nel tempo lo campiono: posso per ogni caso moltiplicare il segnale ottenuto per $e^(-j2pifT)$?? E per periodicizzarlo basta che scriva per ogni caso la sommatoria di $sum_(k=-infty)^(+infty)Z(f-kT)$???
Grazie mille a tutti
"minavagante":
E fin qui mi trovo con la soluzione ma poi scirve direttamente il risultato di Y(f), che deriva dalla convoluzione dell'ultimo segnale che ho scirtto e quella somma tra l'impulo e il triangolo
Ma come si fa?? Il risultato è:$Y(f)=2/pi*(delta_(RR)(f)+triangle(f)$.
Grazie a tutti
Una volta ottenuta la trasformata del modulo del coseno è sufficiente osservare che il filtro H fa passare solo la componente in frequenza per $k=0$. In questo modo il problema si semplifica notevolmente.
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