[Teoria dei Segnali] Coefficienti serie di Fourier
Ciao ragazzi, vi scrivo questo esercizio perché ho qualche difficoltà a capire "come fare" nonostante io abbia capito "cosa fare":
"Si consideri il segnale periodico $ x(t)=rep_2[x_g(t)] $, dove
$ x_g(t)={(t,if 0<=t<=1),(t(2-t),if 1
$A)$ Dopo aver disegnato $x_g(t)$, calcolare i coefficienti $X_k$ della serie di Fourier di $x(t)$.
$B)$ Semplificare il più possibile l’espressione dei coefficienti $X_k$ nel caso di $k$ pari.
$C)$ Determinare l’uscita $y(t)$ del sistema LTI avente risposta in frequenza $ H(f) = (j2pif) rect((2f)/3) $ sollecitato in ingresso da $x(t)$."
Allora, ho disegnato $x_g(t)$ ottenendo questo grafico:
Per calcolare i coefficienti utilizzo questa formula: $ X_k=1/T_0int_(T_0)x(t)*e^(-j2pikt/T_0)dt $, ottenendo quindi, in questo caso, due integrali:
$ X_(k1)=1/2int_(0)^(1)t*e^(-jpikt)dt $
e
$ X_(k2)=1/2int_(1)^(2)t(2-t)*e^(-jpikt)dt $
A questo punto dovrei risolverli per parti ma credo che durante l'esame ci metterei troppo tempo, rischiando anche di sbagliare i conti, c'è qualche altro metodo che posso usare?
Sto provando a utilizzare un metodo grafico calcolando la derivata di $x_g(t)$ e basandomi sui risultati del grafico ottengo $ x_g^{\prime}=rect(t-1/2)-delta(t-2) $
potrebbe andare?
Continuando con questa strada ne ho fatto la trasformata di Fourier e ho trovato $ X_g(f)=sinc(f)*e^(-jpif)-e^(-j4pif) $
"Si consideri il segnale periodico $ x(t)=rep_2[x_g(t)] $, dove
$ x_g(t)={(t,if 0<=t<=1),(t(2-t),if 1
$A)$ Dopo aver disegnato $x_g(t)$, calcolare i coefficienti $X_k$ della serie di Fourier di $x(t)$.
$B)$ Semplificare il più possibile l’espressione dei coefficienti $X_k$ nel caso di $k$ pari.
$C)$ Determinare l’uscita $y(t)$ del sistema LTI avente risposta in frequenza $ H(f) = (j2pif) rect((2f)/3) $ sollecitato in ingresso da $x(t)$."
Allora, ho disegnato $x_g(t)$ ottenendo questo grafico:
Per calcolare i coefficienti utilizzo questa formula: $ X_k=1/T_0int_(T_0)x(t)*e^(-j2pikt/T_0)dt $, ottenendo quindi, in questo caso, due integrali:
$ X_(k1)=1/2int_(0)^(1)t*e^(-jpikt)dt $
e
$ X_(k2)=1/2int_(1)^(2)t(2-t)*e^(-jpikt)dt $
A questo punto dovrei risolverli per parti ma credo che durante l'esame ci metterei troppo tempo, rischiando anche di sbagliare i conti, c'è qualche altro metodo che posso usare?
Sto provando a utilizzare un metodo grafico calcolando la derivata di $x_g(t)$ e basandomi sui risultati del grafico ottengo $ x_g^{\prime}=rect(t-1/2)-delta(t-2) $
potrebbe andare?
Continuando con questa strada ne ho fatto la trasformata di Fourier e ho trovato $ X_g(f)=sinc(f)*e^(-jpif)-e^(-j4pif) $
Risposte
Sei sicuro di quel disegno? A me pare che non rispecchi la definizione di $x_{g}(t)$ che hai dato.
Il dubbio è che mi viene è che ho posto, in pratica, $t=1$, se t fosse minore o maggiore di 1 il grafico cambierebbe...
"IngSteve":
Il dubbio è che mi viene è che ho posto, in pratica, $t=1$, se t fosse minore o maggiore di 1 il grafico cambierebbe...
Perchè proprio 1? E se $t$ è uguale a $0.5$ o $0.778$ come lo disegni?
Da 0 a 1 la funzione è lineare...
Devi considerare che nella funzione $x_{g}(t)$ la $t$ è la variabile indipendente. Devi disegnare il grafico in funzione di $t$!
hai ragione, avevo considerato t come costante ma NON LO è. è invece una funzione lineare, mi viene questo grafico:
Va già meglio ma ancora non ci siamo.
Nell'intervallo $(1,2]$ la funzione vale $2t-t^2$ mentre tu hai disegnato un andamento lineare.
Correggi la funzione in quell'intervallo.
Nell'intervallo $(1,2]$ la funzione vale $2t-t^2$ mentre tu hai disegnato un andamento lineare.
Correggi la funzione in quell'intervallo.
ecco! credo sia giusto ora.
Bene!
Dal testo che hai scritto non mi è chiaro quale periodo ha $x(t)$.
Mi sembra una buona idea per trovare la trasformata di $x_{g}(t)$!
Dopodiché trovare la trasformata del segnale $x(t)$ è facile conoscendo la trasformata del suo singolo periodo $x_{g}(t)$ ...
Dal testo che hai scritto non mi è chiaro quale periodo ha $x(t)$.
"IngSteve":
Sto provando a utilizzare un metodo grafico calcolando la derivata di $ x_g(t) $ ...
Mi sembra una buona idea per trovare la trasformata di $x_{g}(t)$!
Dopodiché trovare la trasformata del segnale $x(t)$ è facile conoscendo la trasformata del suo singolo periodo $x_{g}(t)$ ...
"IngSteve":
A questo punto dovrei risolverli per parti ma credo che durante l'esame ci metterei troppo tempo, rischiando anche di sbagliare i conti, c'è qualche altro metodo che posso usare?
Si tratta di integrali in realtà piuttosto elementari, ma posso capire la "preoccupazione". Ricorda in generale comunque che i coeff. di Fourier sono infinitesimali per il th. di Riemann-Lebesgue, per cui un primo controllo può essere quello.
Comunque, se l'hai studiato, per segnali periodici (e quindi replicati) c'è un legame tra FT e FS dato dalla somma di Poisson (vedi eqq. 1-2-3-4).
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