[Teoria dei Segnali] Caratterizzazione statistica processo aleatorio

[xh144fata]

Salve, ho delle perplessità sull'esercizio che riporto qui di seguito:

Si consideri un sistema di comunicazione che trasmette una sequenza di variabili aleatorie $X(n)$ indipendenti ed identicamente distribuite, che assumono valore 0 ed A con uguale probabilità. Il canale di trasmissione altera la comunicazione aggiungendo rumore $Z(n)$ , indipendente da $X(n)$ . Si assuma che $Z(n)$ sia una sequenza di variabili aleatorie Gaussiane, indipendenti ed identicamente distribuite, a media nulla e deviazione standard $\sigma_Z$ . Sia $Y(n) = X(n)+Z(n)$ il segnale ricevuto. In ricezione si adotta la seguente regola di decisione: $ W(n)= { ( 0 \text{ se } Y(n) < A/2),(A/2 \text{ se } A/2 \leq Y(n) ):} $ .
1) Studiare la caratterizzazione al primo ordine di $Y((n)$ ;
2) Stabilire se $Y(n)$ è stazionario in senso stretto e/o in senso lato;
3) Calcolare la probabilità di commettere un errore in ricezione.

Ho provato a risolverlo, tuttavia il primo punto non mi è molto chiaro. Riporto quanto ho fatto io.

Punto 1
Dato che $X(n)$ è un segnale aleatorio tempo discreto ad ampiezza discreta, la sua PDF è una somma di impulsi. Infatti
$ f_X (x;n) = 1/2 * [ \delta(x) + \delta(x-A)] $
Per quanto riguarda la PDF del rumore, essa è uguale a
$ f_Z (z;n) = \frac{1}{\sqrt{2π \sigma_Z^2}} * e^{-\frac{z^2}{2\sigma_Z^2 $ .
Ora, dato che i due processi aleatori sono indipendenti uno dall'altro, la PDF di $Y(n)=X(n)+Z(n)$ è uguale alla convoluzione delle due PDF.
Come faccio la convoluzione tra le due? Riscrivo $x$ in termini di $y$ e di $z$ , ottenendo $ f_X(x;n) = \frac{1}{2} * [\delta(y-z) + \delta(y-z-A)] $ ?

Punto 2
Se la PDF di $Y(n)$ non dipende da $n$ , il segnale è stazionario in senso stretto e quindi anche in senso lato. In caso contrario, calcolo media e funzione di autocorrelazione di $Y(n)$ e se queste non dipendono da $n$ vuol dire che il segnale è almeno stazionario in senso lato.

Punto 3
$ P(\text{errore}) = P(Y(n)< A/2 | X(n)=A) + P(Y(n)>= A/2 | X(n)=0) =2* \frac{1}{2} * Q(\frac{A}{2\sigma_Z}) = Q(\frac{A}{2\sigma})$
Queste due probabilità sono uguali e vengono espresse in termini di funzione Q dopo aver reso Gaussiana Standard $Z(n)$ . Conoscendo i valori di $A, \sigma_Z$ possiamo poi consultare le tabelle dei valori della funzione Q ed avere la probabilità dell'errore relativa a quella coppia di valori.

Questi due punti sono corretti? Come procedere nel punto 1?

[Quinzio]

Non so perche' ma la convoluzione sembra sempre un ostacolo insormontabile.

$ f_Y (y;n) = \frac{1}{\sqrt{2π \sigma_Z^2}} (e^{-\frac{y^2}{2\sigma_Z^2}} + e^{-\frac{(y-A)^2}{2\sigma_Z^2}} ) $

[xh144fata]

"Quinzio":Non so perche' ma la convoluzione sembra sempre un ostacolo insormontabile.

$ f_Y (y;n) = \frac{1}{\sqrt{2π \sigma_Z^2}} (e^{-\frac{y^2}{2\sigma_Z^2}} + e^{-\frac{(y-A)^2}{2\sigma_Z^2}} ) $

Ciao Quinzio, ho capito, grazie per la risposta. Il punto 3 invece ti torna?
$P(Y(n)< \frac{A}{2} | X(n)=A) = P(X(n) + Z(n) < \frac{A}{2} | X(n) = A) = P(X(n) = A)*P(Z(n)< \frac{-A}{2}) = \frac{1}{2}*Q(\frac{A}{2 \sigma_Z}) $
Mentre $P(Y(n) \geq \frac{A}{2} | X(n)=0) = P(X(n) + Z(n) \geq \frac{A}{2} | X(n) = 0) = P(X(n) = 0)*P(Z(n) \geq \frac{A}{2}) = \frac{1}{2}*Q(\frac{A}{2 \sigma_Z}) $
Giusto?

[Quinzio]

In realta' non dici cos'e' $Q$, ma direi che intendi dire la funzione errore $"erf" (x)$.
https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_degli_errori
Se e' cosi' devi fare attenzione perche' la funzione errore e' definita come

$"erf" (x) = 2/\sqrt\pi \int_0^x e^(-t^2) dt$

mentre quello che vuoi calcolare tu e' la parte della gaussiana che eccede la $A/2$

$2/\sqrt\pi \int_x^{\infty} e^(-t^2) dt$ con $x = A/2$,

quindi la tua probabilita' e' $1-"erf"(x) = 1-Q(A/2)$.

Inoltre devi fare attenzione alla normalizzazione, perche' la funzione degli errori e' definita in modo semplice senza deviazione standard, quindi dovresti normalizzare per $1/(\sqrt 2 \sigma_Z)$ sempre se la $Q$ e' la funzione errore.

[xh144fata]

No, non intendo la funzione errore ma la https://en.wikipedia.org/wiki/Q-function . Usando queste tabelle, dopo aver reso "Standard" una generica gaussiana, possiamo calcolare la CDF della variabile aleatoria che ci interessa. Gli inglesi la chiamano anche Z-Table o Standard normal table https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_normal_table