[Teoria dei Segnali] Autoconvoluzione
Qualcuno riuscirebbe a darmi qualche dritta su come svolgere questa autoconvoluzione? Grazie mille.
$x(t)=A*e^(-t^2)$
$y(t)=x(t)$
Applicando la definizione di convoluzione come di consueto, si arriva ad avere un prodotto tra $t$ e $tau$ (essendoci il quadrato) e avrei alcune difficoltà nel scegliere che strada usare per continuare
Il risultato del libro è: $(A^2*sqrt(pi))/(sqrt(2))*e^((-t^2)/2)$
$x(t)=A*e^(-t^2)$
$y(t)=x(t)$
Applicando la definizione di convoluzione come di consueto, si arriva ad avere un prodotto tra $t$ e $tau$ (essendoci il quadrato) e avrei alcune difficoltà nel scegliere che strada usare per continuare
Il risultato del libro è: $(A^2*sqrt(pi))/(sqrt(2))*e^((-t^2)/2)$
Risposte
Una via non troppo complicata è quella di passare attraverso la Trasformata di Fourier, sfruttando la proprietà per cui la convoluzione nel tempo diventa una moltiplicazione in frequenza, cioè:
$ y(t)=x(t)** x(t) $ diventa: $ Y(omega )=X(omega )X(omega )=X(omega )^2 $
Essendo: $ X(omega )=Asqrt(pi )*e^(-(omega ^2)/4) $
$Y(omega)= X(omega )^2=A^2*pi *e^(-(omega ^2)/2) $
Quindi, antitrasformando:
$ y(t)=A^2*sqrt(pi/2) *e^(-(t^2)/2) $
$ y(t)=x(t)** x(t) $ diventa: $ Y(omega )=X(omega )X(omega )=X(omega )^2 $
Essendo: $ X(omega )=Asqrt(pi )*e^(-(omega ^2)/4) $
$Y(omega)= X(omega )^2=A^2*pi *e^(-(omega ^2)/2) $
Quindi, antitrasformando:
$ y(t)=A^2*sqrt(pi/2) *e^(-(t^2)/2) $
Sì avevo pensato anche a quello, ma nel libro quell'esercizio viene prima del capitolo in cui spiega la trasformata, quindi immagino si debba farlo con la definizione di convoluzione