Teorema di Poynting - Dissipazione effetto Joule
Buongiorno a tutti (ingegneri, professori, studenti ecc ecc) ho una domanda per voi, spero che mi possiate aiutare..
Sto preparando l'esame di onde elettromagnetiche e mi servirebbe una delucidazione sul teorema di Poynting (una cosa che in realtà si dovrebbe conoscere anche senza aver studiato questo teorema).
Non riesco a capire come si può ricavare uno dei "pezzi" della famosa formula del teorema (che non scrivo per brevità altrimenti riempio la pagina). Più precisamente è la parte della potenza dissipata per effetto joule:
$ int int int_(V)^() sigma |vec e|^(2) dvol $
Vorrei sapere Come faccio a ricavare la relazione generale (non del teorema di Poynting) che mi fa capire che quella è la potenza dissipata per effetto Joule!
Vi ringrazio in anticipo per il vostro supporto. Have a nice day!
Sto preparando l'esame di onde elettromagnetiche e mi servirebbe una delucidazione sul teorema di Poynting (una cosa che in realtà si dovrebbe conoscere anche senza aver studiato questo teorema).
Non riesco a capire come si può ricavare uno dei "pezzi" della famosa formula del teorema (che non scrivo per brevità altrimenti riempio la pagina). Più precisamente è la parte della potenza dissipata per effetto joule:
$ int int int_(V)^() sigma |vec e|^(2) dvol $
Vorrei sapere Come faccio a ricavare la relazione generale (non del teorema di Poynting) che mi fa capire che quella è la potenza dissipata per effetto Joule!
Vi ringrazio in anticipo per il vostro supporto. Have a nice day!
Risposte
nella discussione linkata non mi sembra si parli di questo termine del teorema di poynting. In ogni modo ti dico quello che so io:
Bisogna osservare che quell'integrale dimensionalmente vale:
$C/(m^2s)*N/C*m^3=mN/s=W$
quindi posso sicuramente dire che si tratta di una potenza
poi mi ricordo che se un mezzo è passivo i vettori J e E devono essere allineati, cioè devono avere la stessa fase e siccome J e E sono legati dalla relazione $J=\sigmaE$ allora $\sigma$ non può essere che positiva (altrimenti J e E non sarebbero allineati).
Quindi posso concludere che l'integrale di partenza rappresenta sicuramente una potenza scambiata verso l'esterno, ovvero una potenza persa che non può essere mai recuperata cioè $\sigma$ non sarà mai negativa.
Che poi la potenza persa e che non può essere più recuperata la vogliamo chiamare potenza persa effetto Joule...
Bisogna osservare che quell'integrale dimensionalmente vale:
$C/(m^2s)*N/C*m^3=mN/s=W$
quindi posso sicuramente dire che si tratta di una potenza
poi mi ricordo che se un mezzo è passivo i vettori J e E devono essere allineati, cioè devono avere la stessa fase e siccome J e E sono legati dalla relazione $J=\sigmaE$ allora $\sigma$ non può essere che positiva (altrimenti J e E non sarebbero allineati).
Quindi posso concludere che l'integrale di partenza rappresenta sicuramente una potenza scambiata verso l'esterno, ovvero una potenza persa che non può essere mai recuperata cioè $\sigma$ non sarà mai negativa.
Che poi la potenza persa e che non può essere più recuperata la vogliamo chiamare potenza persa effetto Joule...
prendi una regione di spazio $V$ in cui sono presenti delle cariche e in cui vi sia un campo elettromagnetico.
considera un volumetto $dV$. se la distribuzione è continua ed omogenea esso avrà carica $dq$ e le forze dovute all'interazione elettromagnetica sono $d vec(F) = dq (vec(E) + vec(v)^^vec(B))$.
il lavoro elementare è $delta L = del vec(F) * vec(v)*dt = dq E v dt$
poichè $rho vec(v) = vec(J)$ si ha
$delta L = vec(E)*vec(J) dV dt$ (dV è il volume)
ossia la potenza trasferita alle cariche, per volumetto infinitesimo è $(delta L)/(d t) = vec(E)*vec(J) dV$
e questo è il la potenza dissipata per effetto joule
ed è proprio da questa espressione che si ricava il teorema di poynting, infatti
$vec(J) = - epsilon_0 (del vec(E))/(del t) + (nabla ^^ vec(B))/u_0$ (4 di maxwell)
dato che $nabla*(E^^B) = B*(nabla^^E) - E*(nabla^^B)$ e poichè $E*(del E)/(d t) = 1/2 d/(dt) E^2$ si ha
$E*J = B/u_0 (nabla^^E) - nabla*(E^^B)/u_0 - 1/2 epsilon_0 d/(dt) E^2$
poi contando che $nabla^^E = -del/(del t) B$ e $B*(del B)/(del t) = 1/2 del/(del t) B^2$
hai $E*J = -1/2 B^2/u_0 - 1/2 epsilo_0 E^2 - nabla*(E^^B)/u_0$
cioè il t. di poynting:
$(delta L)/(d t) = int_V E*J dV = -del/(del t) int_V (1/2 epsilo_0 E^2 + 1/(2 u_0) B^2)dV - int_V nabla*S dV$
considera un volumetto $dV$. se la distribuzione è continua ed omogenea esso avrà carica $dq$ e le forze dovute all'interazione elettromagnetica sono $d vec(F) = dq (vec(E) + vec(v)^^vec(B))$.
il lavoro elementare è $delta L = del vec(F) * vec(v)*dt = dq E v dt$
poichè $rho vec(v) = vec(J)$ si ha
$delta L = vec(E)*vec(J) dV dt$ (dV è il volume)
ossia la potenza trasferita alle cariche, per volumetto infinitesimo è $(delta L)/(d t) = vec(E)*vec(J) dV$
e questo è il la potenza dissipata per effetto joule
ed è proprio da questa espressione che si ricava il teorema di poynting, infatti
$vec(J) = - epsilon_0 (del vec(E))/(del t) + (nabla ^^ vec(B))/u_0$ (4 di maxwell)
dato che $nabla*(E^^B) = B*(nabla^^E) - E*(nabla^^B)$ e poichè $E*(del E)/(d t) = 1/2 d/(dt) E^2$ si ha
$E*J = B/u_0 (nabla^^E) - nabla*(E^^B)/u_0 - 1/2 epsilon_0 d/(dt) E^2$
poi contando che $nabla^^E = -del/(del t) B$ e $B*(del B)/(del t) = 1/2 del/(del t) B^2$
hai $E*J = -1/2 B^2/u_0 - 1/2 epsilo_0 E^2 - nabla*(E^^B)/u_0$
cioè il t. di poynting:
$(delta L)/(d t) = int_V E*J dV = -del/(del t) int_V (1/2 epsilo_0 E^2 + 1/(2 u_0) B^2)dV - int_V nabla*S dV$
Grazie mille per le risposte! Ma non mi trovi d'accordo su un punto..
Nella formula che hai presentato manca un termine! Poichè se consideri un caso più generale, in un materiale magari anisotropo, si ha:
j = j0 + jc con j0 sorgente e jc densità di corrente di conduzione (caso quindi più generale del tuo)
Si nota che il t. di Poynting diventa (considerando quindi la seconda equazione di Maxwell con il termine aggiunto j0) :
$ int int_(delV)^( ) S hat(i n) ds + int int int_(V)^() h (del(b)) / (del(t)) + e (del(d)) / (del(t)) dv + int int int_(V)^() sigma (e)^(2) dv = - int int int_(V)^() e j0 dv $
Infatti anche nei calcoli (perfettamente esatti) che hai fatto precedentemente si nota che:
$ (delta L) / (dt) = E J dV $
è la potenza spesa dalle sorgenti per "tenere in moto" il campo EM! E non la potenza spesa per effetto Joule!
Sono giorni che ci sbatto la testa ma non riesco a trovare un'espressione di quella potenza! L'espressione più "vicina" a quella che ho trovato è stata quella che ho ricavato giocando un po' con la legge del circuito semplice, calcolandomi quindi la potenza spesa su un resistore attraversato da corrente in un circuito (banalmente, per capirci, P = VI) ! Ma nulla che mi riporti a quella forma! Any ideas?
Nella formula che hai presentato manca un termine! Poichè se consideri un caso più generale, in un materiale magari anisotropo, si ha:
j = j0 + jc con j0 sorgente e jc densità di corrente di conduzione (caso quindi più generale del tuo)
Si nota che il t. di Poynting diventa (considerando quindi la seconda equazione di Maxwell con il termine aggiunto j0) :
$ int int_(delV)^( ) S hat(i n) ds + int int int_(V)^() h (del(b)) / (del(t)) + e (del(d)) / (del(t)) dv + int int int_(V)^() sigma (e)^(2) dv = - int int int_(V)^() e j0 dv $
Infatti anche nei calcoli (perfettamente esatti) che hai fatto precedentemente si nota che:
$ (delta L) / (dt) = E J dV $
è la potenza spesa dalle sorgenti per "tenere in moto" il campo EM! E non la potenza spesa per effetto Joule!
Sono giorni che ci sbatto la testa ma non riesco a trovare un'espressione di quella potenza! L'espressione più "vicina" a quella che ho trovato è stata quella che ho ricavato giocando un po' con la legge del circuito semplice, calcolandomi quindi la potenza spesa su un resistore attraversato da corrente in un circuito (banalmente, per capirci, P = VI) ! Ma nulla che mi riporti a quella forma! Any ideas?
mah. ho controllato sul libro e per lui è corretta l'espressione.poi non capisco la tua notazione.
conta che sei all'interno del materiale.
in ogni caso il lavoro che spendi per tenere in moto le cariche è pari al lavoro delle forze d'attrito cioè la potenza spesa per vincere gli attriti è pari alla potenza dispersa per effetto joule.
prendi una generica massa m che si muove in una direzione orizzonatale strisciando con attrito. per avere un moto a velocità costante dev'essere soddisfatta $F_m = u*N$ lungo la direzione dove con Fm ho indicato la forza motrice e con u*N la forza d'attrito. come vedi la potenza che ci dai è uguale a quella perduta per attrito. li il discorso è analogo
conta che sei all'interno del materiale.
in ogni caso il lavoro che spendi per tenere in moto le cariche è pari al lavoro delle forze d'attrito cioè la potenza spesa per vincere gli attriti è pari alla potenza dispersa per effetto joule.
prendi una generica massa m che si muove in una direzione orizzonatale strisciando con attrito. per avere un moto a velocità costante dev'essere soddisfatta $F_m = u*N$ lungo la direzione dove con Fm ho indicato la forza motrice e con u*N la forza d'attrito. come vedi la potenza che ci dai è uguale a quella perduta per attrito. li il discorso è analogo
Quello che dici tu è giusto, ma ricorda che in generale j = j0 + jc! jc sarebbe la j di conduzione! Classico esempio per notare la jc è fare un circuito nel quale ci sia un condensatore.. se calcoli il flusso di j0 su S, dove S è una superficie aperta appoggiata su una circonferenza che avvolge il filo conduttore, e che taglia a metà il condensatore(passa tra le due facce) , ottieni zero! mentre se calcoli il flusso sulla superficie S1 che appoggia sulla stessa circonferenza ma passa sul filo ottieni una corrente diversa da zero! Questo appunto perchè tra le facce del condensatore c'è una jc! Se quindi nella seconda equazione di Maxwell (rotore di H) al posto di j, sostituisci j0 + jc, ottieni quello che ho detto io! Ma il mio libro non svolge tutti i calcoli e, una volta che hai la formula di Poynting (come l'ho scritta io), dice che quel pezzo con sigma e^2 è la dissipazione per effetto joule (separata dalla potenza spesa dai generatori!)
parli della densità di corrente di spostamento? c'è gia nella 4° di mazwell è il termine $epsilon_0 u_0 (del E)/(del t)$
cosa intendi per $sigma$? per il resto hai usato le lettere mminuscole per i campi vero?
comunque sembra quasi che voglia separare il contributo alla potenza del campo elettromagnetico (che è generico, da sorgenti esterne o interne) da quello di eventuali generatori di corrente.... boh
infatti quel termine con sigma è quello che nella ia espressione è a primo membro $E*J = E * sigma*E$ (la mia J era la tua j0+jc)
ps. se spostassi la discussione in fisica avresti risposte sicuramente più numerose e valide
cosa intendi per $sigma$? per il resto hai usato le lettere mminuscole per i campi vero?
comunque sembra quasi che voglia separare il contributo alla potenza del campo elettromagnetico (che è generico, da sorgenti esterne o interne) da quello di eventuali generatori di corrente.... boh
infatti quel termine con sigma è quello che nella ia espressione è a primo membro $E*J = E * sigma*E$ (la mia J era la tua j0+jc)
ps. se spostassi la discussione in fisica avresti risposte sicuramente più numerose e valide
Non è che il contributo alla potenza del campo elettromagnetico lo voglio separare io da quello di eventuali generatori di corrente, è che su ben 2 libri che ho è espressamente denotata questa differenza! E a me sembra comprensibile! perchè c'è differenza tra la potenza spesa per effetto joule (di tutto il campo EM) e la potenza spesa per tenere in vita il campo EM (solo quello dei generatori, non di eventuali induzioni) ...
A lezione mi era stato presentato così, poi ho fatto un po' di calcoli e ragionamenti da solo e esce comunque questo che ti dico! In tutte le prove che faccio si evince! addirittura in un banale circuito semplice, dove si vede che in condizioni stazionarietà non ci può essere il solo campo elettrico (a rotore nullo) ma ci vuole il campo elettromotore! Lo stesso accade con J! C'è j sorgente e j di conduzione!
Va bene sposto la discussione, vediamo i fisici che ci dicono!
A lezione mi era stato presentato così, poi ho fatto un po' di calcoli e ragionamenti da solo e esce comunque questo che ti dico! In tutte le prove che faccio si evince! addirittura in un banale circuito semplice, dove si vede che in condizioni stazionarietà non ci può essere il solo campo elettrico (a rotore nullo) ma ci vuole il campo elettromotore! Lo stesso accade con J! C'è j sorgente e j di conduzione!
Va bene sposto la discussione, vediamo i fisici che ci dicono!
Scusami sdrullo non riesco a capire il tuo dubbio. Comicnio col dire che anche il mio libro separa i due contributi così come hai fatto tu. Ma una volta che abbiamo capito che entrambi i contributi sono delle potenze spese per tenere in vita il campo, Poi abbiamo capito che il termine $-int(J_0e)$ è la forza esercitata dalle sorgenti sul campo; una volta capito che il termine $intJ_ce$ rappresenta necessariamente una potenza persa dal campo (vedi mio post precedente) che problema hai a chiamarla potenza persa per effetto Joule?
Per quanto mi riguarda l'effetto Joule è il fatto che un conduttore dissipa una certa potenza se attraversato da una corrente elettrica pari a $VI$, ma non saprei assolutamente dire nulla di più specifico. Quindi secondo me cercare di voler capire come una potenza persa da un campo elettromagnetico sia IN GENERALE legata a $VI$ mi sembra un po' azzardato. Sempre secondo me facendo ulteriori ipotesi sul materiale, ad esempio che si tratta di un mezzo conduttore potresti anche arrivarci ma non saprei approfondire. E poi secondo me imporre un mezzo conduttore fa perdere molta della sua generalità al teorema di Poynting.
Diverso il discorso se tu mi dici che conosci una formulazione e una modellizzazione dell'effetto Joule più generale e più rigorosa. è così?
Per quanto mi riguarda l'effetto Joule è il fatto che un conduttore dissipa una certa potenza se attraversato da una corrente elettrica pari a $VI$, ma non saprei assolutamente dire nulla di più specifico. Quindi secondo me cercare di voler capire come una potenza persa da un campo elettromagnetico sia IN GENERALE legata a $VI$ mi sembra un po' azzardato. Sempre secondo me facendo ulteriori ipotesi sul materiale, ad esempio che si tratta di un mezzo conduttore potresti anche arrivarci ma non saprei approfondire. E poi secondo me imporre un mezzo conduttore fa perdere molta della sua generalità al teorema di Poynting.
Diverso il discorso se tu mi dici che conosci una formulazione e una modellizzazione dell'effetto Joule più generale e più rigorosa. è così?
l'effetto joule in parole povere consiste nel fatto che le cariche sbattono contro la struttura atomica cedendo parte della propria energia ad essa e quindi creando agitazione cioè macroscopicamente un aumento dell'energia interna che si manifesta come un aumento della temperatura. quindi si, entrambi servono a vincere questi urti e quindi compensano la potenza che va via per effetto joule. nonmi è chiaro il motivo del termine "in più" $int j0 E dV$ posot che $int J*E dv$ è la potenza del campo elettomagnetico agente sul volume (con J indico J totale come sempre, la vostra j0+jc) l'unica che mi vien in mente è che il vostro libro consideri $sigma*j_c = E$ allora tornerebbe uguale alla mia
ps. senza di esso non avrebbe senso la relazione $J=sigma E$ poichè essa dice che la forza per unità di carica è proporzionale alla velocità media dlle particelle quando chiaramente dovrebbe essere proporzionale all'accelerazione. infatti quella relazione deriva dal fatto che gli e- sbattono continuamente contro la struttura atomica fermandosi urto dopo urto e complessivamente tutte queste accelerazioni\decelerazioni danno vita al concetto di velocità di deriva. infatti una corrente elettrica ha una velocità di deriva piccolissima, dell'ordine se non sbaglio di qualche centesimo di millimetro al secondo mentre gli e- raggiungono velocità molto alte.
ps. senza di esso non avrebbe senso la relazione $J=sigma E$ poichè essa dice che la forza per unità di carica è proporzionale alla velocità media dlle particelle quando chiaramente dovrebbe essere proporzionale all'accelerazione. infatti quella relazione deriva dal fatto che gli e- sbattono continuamente contro la struttura atomica fermandosi urto dopo urto e complessivamente tutte queste accelerazioni\decelerazioni danno vita al concetto di velocità di deriva. infatti una corrente elettrica ha una velocità di deriva piccolissima, dell'ordine se non sbaglio di qualche centesimo di millimetro al secondo mentre gli e- raggiungono velocità molto alte.
dunque cerco di spiegarti come arrivo io ( e credo anche sdrullo) all'espressione del teorema.
i campi li indico con lettere minuscole e con X intendo il prodotto vettoriale, con $\nabla*$ la divergenza, con $\nablaX$ il rotore, con $*$ il prodotto scalare
definisco $s=eXh$
ne faccio la divergenza
$\nabla*s=\nabla(eXh)=(\nablaXe)*h-(\nablaXh)*e$
per la I equazione di Maxwell $\nablaXe=-db/dt*h$
adesso la II equazione di Maxwell tu la dovresti avere nella forma $(\nablaXh)=dd/dt+J_(t)$, io esprimo $J_(t)=J_0+J$ per sottolineare il fatto che in un mezzo può esservi una certa densità di corrente a prescindere dal campo che posso anche dire di conoscere prima di risolvere le equazioni di Maxwell e la presenza di un campo comporterà eventualmente altre densità di correnti ad esso dovuto (J) che non posso dire di conoscere senza prima aver risolto le equazioni di Maxwell.
Quindi andando a sostituire
$\nabla*s=-db/dt*h-dd/dt*e-J_o*e-J*e$
adesso integro su un arbitrario volume V con frontiera una superficie chiusa S e normale uscente $i_n$
$int\nabla*s*sdv+int(db/dt*h+dd/dt*e)dv+intJ*edv=-intJ_o*edv$
applicando il teorema di Gauss al primo membro questo diventa proprio il flusso di s attraverso la superficie S
Per prima cosa dobbiamo accorgerci che tutti i termini di quest'equazione hanno le dimensioni di una potenza e quindi posso interpretare quest'equazione come un bilancio di potenze.
adesso io partendo dall'espressione della forza esercitata da un campo su una densità di carica posso fari vedere che il secondo membro è proprio la potenza fornita al campo dalle sorgenti. E sono calcoli molti simili, se non proprio uguali, a quelli postati da cyd
densità di forze $f=\rho_o*e+J_oXb$ (e questa è una formula che io prendo per buona, con $\rho_0$ densità di cariche)
quindi $dL=f*ds$, Potenza=$dL/dt=...=J_0*e$
quindi il secondo membro è la potenza fornita dalle sorgenti al campo (notare il segno -)
quindi partendo dal fatto che le cariche forniscono una certa potenza al campo questa va a dividersi in diversi contributi, dove ogni contributo è un termine del primo membro.
Bene a questo mi accorgo che il termine incriminato è sicuramente positivo ovvero è sicuramente un qualcosa che consuma la potenza data dalle sorgenti scritta al secondo membro.
E basta mi fermo qua, ripeto mi risulta difficile e comunque riduttivo cercare di introdurre ora tensioni e correnti.
Se poi come dice cyd nell'ultimo messaggio l'effetto Joule è dato dalle cariche che sbattono contro la struttura atomica e vogliamo far vedere che questo termine è collegato a "questo sbattimento" secondo me bisogna indagare nella definizione di J densità di corrente.
Cerco qualcosa...
i campi li indico con lettere minuscole e con X intendo il prodotto vettoriale, con $\nabla*$ la divergenza, con $\nablaX$ il rotore, con $*$ il prodotto scalare
definisco $s=eXh$
ne faccio la divergenza
$\nabla*s=\nabla(eXh)=(\nablaXe)*h-(\nablaXh)*e$
per la I equazione di Maxwell $\nablaXe=-db/dt*h$
adesso la II equazione di Maxwell tu la dovresti avere nella forma $(\nablaXh)=dd/dt+J_(t)$, io esprimo $J_(t)=J_0+J$ per sottolineare il fatto che in un mezzo può esservi una certa densità di corrente a prescindere dal campo che posso anche dire di conoscere prima di risolvere le equazioni di Maxwell e la presenza di un campo comporterà eventualmente altre densità di correnti ad esso dovuto (J) che non posso dire di conoscere senza prima aver risolto le equazioni di Maxwell.
Quindi andando a sostituire
$\nabla*s=-db/dt*h-dd/dt*e-J_o*e-J*e$
adesso integro su un arbitrario volume V con frontiera una superficie chiusa S e normale uscente $i_n$
$int\nabla*s*sdv+int(db/dt*h+dd/dt*e)dv+intJ*edv=-intJ_o*edv$
applicando il teorema di Gauss al primo membro questo diventa proprio il flusso di s attraverso la superficie S
Per prima cosa dobbiamo accorgerci che tutti i termini di quest'equazione hanno le dimensioni di una potenza e quindi posso interpretare quest'equazione come un bilancio di potenze.
adesso io partendo dall'espressione della forza esercitata da un campo su una densità di carica posso fari vedere che il secondo membro è proprio la potenza fornita al campo dalle sorgenti. E sono calcoli molti simili, se non proprio uguali, a quelli postati da cyd
densità di forze $f=\rho_o*e+J_oXb$ (e questa è una formula che io prendo per buona, con $\rho_0$ densità di cariche)
quindi $dL=f*ds$, Potenza=$dL/dt=...=J_0*e$
quindi il secondo membro è la potenza fornita dalle sorgenti al campo (notare il segno -)
quindi partendo dal fatto che le cariche forniscono una certa potenza al campo questa va a dividersi in diversi contributi, dove ogni contributo è un termine del primo membro.
Bene a questo mi accorgo che il termine incriminato è sicuramente positivo ovvero è sicuramente un qualcosa che consuma la potenza data dalle sorgenti scritta al secondo membro.
E basta mi fermo qua, ripeto mi risulta difficile e comunque riduttivo cercare di introdurre ora tensioni e correnti.
Se poi come dice cyd nell'ultimo messaggio l'effetto Joule è dato dalle cariche che sbattono contro la struttura atomica e vogliamo far vedere che questo termine è collegato a "questo sbattimento" secondo me bisogna indagare nella definizione di J densità di corrente.
Cerco qualcosa...
ok, allora vedi, la vostra espressione è analoga alla mia, non manca un termine come diceva sdrullo. giusto il fatto che io con J indico la densità di corrente nel volume indistintamente. alla fine come puoi distinguere?
infatti se porti il termine $int J e dv$ a secondo membro hai $int (J+J_0) *e dv$ che è il termine che ho inicato come $int J*E dV$.
ma infatti il problema non si pone più.
beh per far vedere che E*J è la potenza persa per efffetto joule puoi considerare il lavoro fatto su una carica $dq$ dal campo elettromagntico:
$delta L = dq*dphi = dq*dphi$ ($phi$ è il potenziale) (in forma non locale è la classica $W=V*I$
per definizione $E*dl = d phi$
-> $delta L = dq * E*dl$ con dl spostamento elementare $dl=v_d*dt$
-> $(delta L)/(dt) = dq*E* v_d$ essendo $dq=rho*dV$ si ha $(delta L)/(dt) = rho*v_d * E *dv = J*E*dV$
(ps. su questo ultimo punto non posso assicurare la validità poichè è un mio ragionamento)
e questa è la potenza per tenere in moto le cariche. se non ci fosse l'effetto joule avresti che le cariche acclerebbero con accelerazione $a= (dq*E)/(dm)$ ma gradie ad esso esse è come se si muovessero con velocità costante $v_d$ che puoi ottenre integrando a $v = int (dq*E)/(dm) dt = (dq*E)/(dm)*t + v_t$ (vt è la velocità termica) e considerando che ogni $tau$ secondi una particella sbatte contro il reticolo e si ferma allora la velocità media che complessivamente si vede è $v_d = = (dq*E)/(dm) tau$ ($=0$)
allora le forze devono vincere una accelarione, complessivamente pari a $a_1 = -a = -(dq*E)/(dm)$ cioè devono erogare una forza per ogni dV pari a $F= dm a = -dq*E$ ossia una potenza pari a $F*v_d = - dq*E*v_d = - rho*v_d*E*dV = - J*E dV$
ossia proprio pari all'opposto della potenza fornita dal campo.
infatti se porti il termine $int J e dv$ a secondo membro hai $int (J+J_0) *e dv$ che è il termine che ho inicato come $int J*E dV$.
ma infatti il problema non si pone più.
beh per far vedere che E*J è la potenza persa per efffetto joule puoi considerare il lavoro fatto su una carica $dq$ dal campo elettromagntico:
$delta L = dq*dphi = dq*dphi$ ($phi$ è il potenziale) (in forma non locale è la classica $W=V*I$
per definizione $E*dl = d phi$
-> $delta L = dq * E*dl$ con dl spostamento elementare $dl=v_d*dt$
-> $(delta L)/(dt) = dq*E* v_d$ essendo $dq=rho*dV$ si ha $(delta L)/(dt) = rho*v_d * E *dv = J*E*dV$
(ps. su questo ultimo punto non posso assicurare la validità poichè è un mio ragionamento)
e questa è la potenza per tenere in moto le cariche. se non ci fosse l'effetto joule avresti che le cariche acclerebbero con accelerazione $a= (dq*E)/(dm)$ ma gradie ad esso esse è come se si muovessero con velocità costante $v_d$ che puoi ottenre integrando a $v = int (dq*E)/(dm) dt = (dq*E)/(dm)*t + v_t$ (vt è la velocità termica) e considerando che ogni $tau$ secondi una particella sbatte contro il reticolo e si ferma allora la velocità media che complessivamente si vede è $v_d =
allora le forze devono vincere una accelarione, complessivamente pari a $a_1 = -a = -(dq*E)/(dm)$ cioè devono erogare una forza per ogni dV pari a $F= dm a = -dq*E$ ossia una potenza pari a $F*v_d = - dq*E*v_d = - rho*v_d*E*dV = - J*E dV$
ossia proprio pari all'opposto della potenza fornita dal campo.
"cyd":
ok, allora vedi, la vostra espressione è analoga alla mia, non manca un termine come diceva sdrullo. giusto il fatto che io con J indico la densità di corrente nel volume indistintamente. alla fine come puoi distinguere?
infatti se porti il termine $int J e dv$ a secondo membro hai $int (J+J_0) *e dv$ che è il termine che ho inicato come $int J*E dV$.
ma infatti il problema non si pone più.
beh per far vedere che E*J è la potenza persa per efffetto joule puoi considerare il lavoro fatto su una carica $dq$ dal campo elettromagntico:
$delta L = dq*dphi = dq*dphi$ ($phi$ è il potenziale) (in forma non locale è la classica $W=V*I$
per definizione $E*dl = d phi$
-> $delta L = dq * E*dl$ con dl spostamento elementare $dl=v_d*dt$
-> $(delta L)/(dt) = dq*E* v_d$ essendo $dq=rho*dV$ si ha $(delta L)/(dt) = rho*v_d * E *dv = J*E*dV$
(ps. su questo ultimo punto non posso assicurare la validità poichè è un mio ragionamento)
fin qui riesco a seguire il tuo ragionamento. Il resto non riesco proprio a seguirlo perché introduci dei concetti e delle relazioni che non conosco, almeno non conosco in questo contesto.
Comunque la mia obiezione al tuo ragionamento è al passaggio "per definizione $E*dl = d phi$ " per dire questo, almeno per come affronto io la questione, devo poter dire che il campo elettrico è conservativo; e sempre per come l'ho studiata io posso dire sicuramente dire che il campo elettrico è conservativo quando le componenti non trasversali dei campi sono nulle (modo TEM), negli altri casi non saprei fartelo vedere e comunque non credo che il campo elettrico sia in generale conservativo.
su quello hai ragione, stavo scrivendo un'altra cosa dopo quel "per definizione".
in ogni caso è vero. il campo elettrico in generale non è conservativo, questo è un caso particolare.
in generale è conservativo il campo $E+ (del A)/(del t)$ dove A=potenziale vettore, sarebbe da trovare l'espressione in questo caso.
assunto per ora E conservativo cosa non ti è chiaro?
in ogni caso è vero. il campo elettrico in generale non è conservativo, questo è un caso particolare.
in generale è conservativo il campo $E+ (del A)/(del t)$ dove A=potenziale vettore, sarebbe da trovare l'espressione in questo caso.
assunto per ora E conservativo cosa non ti è chiaro?
ok allora sia E conservativo. Arrivati al punto Potenza=$rho_ov_dEdV$
(permettimi di chiamare la tua $rho$ $rho_0$ perché è un qualcosa che possiamo conoscere a priori indipendentemente dal campo: è infatti la densità di cariche)
dunque tu dici che che $J=rho_0*v_d$ ma se così fosse tu potresti conoscere la densità di corrente a priori indipendentemente dal campo perché sia la densità di cariche che la loro velocità è un qualcosa indipendente dal campo.
Io invece dico che sia la densità di cariche che la loro velocità media (e quindi J) dobbiamo vederle come somma di un contributo indipendente dal campo esistente a priori e un contributo dovuto alle modificazioni date, o se vuoi indotte,d al campo.
Ma diciamo pure che tu per $rho$ e $v_d$ intendi la risultante totale di densità e velocità. Quindi tu mi dici che la potenza esercitata dal campo sulle cariche è $JEdV$ e diciamo che questo posso pure accettarlo.
poi dopo mi dici che sotto l'azione della forza del campo elettrico le cariche hanno una certa accelerazione e quindi una certa velocità ma non riesco ad andare avanti perché non capisco perché come forza consideri solo quella del campo elettrico e non anche quella dovuta al campo magnetico (vedi espressione della forza di Lorentz che ho postato prima)
Ma diciamo pure che la vogliamo trascurare per qualche motivo, ok hai calcolato una certa velocità; e quindi???
anzi chiariamo prima le cose fin qui poi dopo mi leggo l'ultimo tuo paragrafo.
(permettimi di chiamare la tua $rho$ $rho_0$ perché è un qualcosa che possiamo conoscere a priori indipendentemente dal campo: è infatti la densità di cariche)
dunque tu dici che che $J=rho_0*v_d$ ma se così fosse tu potresti conoscere la densità di corrente a priori indipendentemente dal campo perché sia la densità di cariche che la loro velocità è un qualcosa indipendente dal campo.
Io invece dico che sia la densità di cariche che la loro velocità media (e quindi J) dobbiamo vederle come somma di un contributo indipendente dal campo esistente a priori e un contributo dovuto alle modificazioni date, o se vuoi indotte,d al campo.
Ma diciamo pure che tu per $rho$ e $v_d$ intendi la risultante totale di densità e velocità. Quindi tu mi dici che la potenza esercitata dal campo sulle cariche è $JEdV$ e diciamo che questo posso pure accettarlo.
poi dopo mi dici che sotto l'azione della forza del campo elettrico le cariche hanno una certa accelerazione e quindi una certa velocità ma non riesco ad andare avanti perché non capisco perché come forza consideri solo quella del campo elettrico e non anche quella dovuta al campo magnetico (vedi espressione della forza di Lorentz che ho postato prima)
Ma diciamo pure che la vogliamo trascurare per qualche motivo, ok hai calcolato una certa velocità; e quindi???
anzi chiariamo prima le cose fin qui poi dopo mi leggo l'ultimo tuo paragrafo.
è la definizione di J, $J=rho v$.
per chiarezza, sto considerando un volume contenente delle cariche. la quantità di carica pui anche prenderla per nota dentro il volume, $Q$. mi sto rifacendo al caso semplice in cui puoi considerare che ogni $dV$ abbia carica $dq$
non faccio differenza tra contributo indipendente dal campo e del campo perchè sono di fatto indistinguibili. infatti se cè un campo esterno, questo viene modificato da un'eventuale corrente interna, si mischiano. campi potenziale ecc sono schemi fittizi per intepretare un fenomeno che non fa distinzione tra queste cose.
chiaramente puoi anche farla, se i procedimenti sono corretti in entrambi i sensi si giungerà alle stesse conclusioni.
non considero la forza dovuta al campo magnetico perchè non compie lavoro. $F=dq(E+v^^B)$ ->$dL = dq*(E + v^^B)*dl = dq*E*v dt + dq*(v^^B)*v dt = dqE*v dt$ infatti $v^^B$ è ortogonale a v e quindi il prodotto scalare per dl=v dt è nullo.
e non fornisce potenza. $W=F*v = (v^^B)*v = 0$
allora. in soldoni,
in presenza di un campo elettromagnetico gli elettroni sono accelerati con accelerazione $a_c$. per ogni $dV$ carico di carica $dq$ si ha $a_c=dq(E+ v^^B)$.
le carche però sbattono contro la struttura del materiale in cui sono (se ci fosse il vuoto non ci sarebbe potenza dissipata assumendo che le cariche non sbattano tra di loro) e generalmente dopo ogni urto cambiano velocità, in modulo o in direzione, cedono energia, si fermano ecc.. poi ogni volta riaccelerano cn accelrazione $a_c$.
macroscopicamente questo moto caotico si può schematizzare, vedere come una corrente, un fascio di cariche che si muove a velocità costante $v_d$. infatti sempre second schemi semplificativi, se un elettrone accelera, si ferma, riaccelera ecc. il moto su grandi distanze può essere visto come un moto a velocità uniforme pari allavelocità media (a parità di campo em ovviamente).
ok. ma allora se il campo e.m. fornisce un'accelerazione e però le cariche si muovono con velocità costante $v_d$ significa che la potenza data dal campo e.m. è "compensata", o dispersa poichè un moto a velocità uniforme (sempre a parità di campo) implica $sum F =0$ quindi $L_(em) + L_p =0$ con L_em = lavoro campo e L_p energia dispersa.
e nel paragrafo ho cercato un'espressione sia della potenza del campo, sia della potenza persa (tramite il fatto che per velocità costante allora l'accelerazione $a_c$ dev'essere in qualche modo compensata) giungendo alla conclusione che sono due valori opposti che quindi verificano $L_(em) + L_p =0$.
nel calcolo della potenza poi la compenente della forza di lorenza dovuta a B è nulla.
è un ragionamento, non sono un fisico non te lo do per certo. probabilmente non sto considerando il caso piu generale, però in questo caso mi sembra che torni.
in ogni caso, se il campo elettrico non è stazionario si ha $E + (del A)/(del t) = - nabla phi$ quindi moltiplicando scalarmente per lo spostamento elementare, $d phi = E*dl + (del A)/(del t) * dl$
l'espressione di A in funzione di $J$ nel volume dV è $A= u_0/(4 pi) J/(|r-r'|) dV = u_0/(4 pi) (rho v_d)/(|r-r'|) dV$
(r-r' è la posizione del volumetto considerato)
dunque poichè esso è diretto come V_d la sua derivata temporale$(del A)/(del t)$ è ortogonale a tale direzione
quindi tale derivata moltiplicata per los postamento elementare $dl= v_d dt$ da $0$ e dunque l'espressione resta quella del post di prima.
per chiarezza, sto considerando un volume contenente delle cariche. la quantità di carica pui anche prenderla per nota dentro il volume, $Q$. mi sto rifacendo al caso semplice in cui puoi considerare che ogni $dV$ abbia carica $dq$
non faccio differenza tra contributo indipendente dal campo e del campo perchè sono di fatto indistinguibili. infatti se cè un campo esterno, questo viene modificato da un'eventuale corrente interna, si mischiano. campi potenziale ecc sono schemi fittizi per intepretare un fenomeno che non fa distinzione tra queste cose.
chiaramente puoi anche farla, se i procedimenti sono corretti in entrambi i sensi si giungerà alle stesse conclusioni.
non considero la forza dovuta al campo magnetico perchè non compie lavoro. $F=dq(E+v^^B)$ ->$dL = dq*(E + v^^B)*dl = dq*E*v dt + dq*(v^^B)*v dt = dqE*v dt$ infatti $v^^B$ è ortogonale a v e quindi il prodotto scalare per dl=v dt è nullo.
e non fornisce potenza. $W=F*v = (v^^B)*v = 0$
allora. in soldoni,
in presenza di un campo elettromagnetico gli elettroni sono accelerati con accelerazione $a_c$. per ogni $dV$ carico di carica $dq$ si ha $a_c=dq(E+ v^^B)$.
le carche però sbattono contro la struttura del materiale in cui sono (se ci fosse il vuoto non ci sarebbe potenza dissipata assumendo che le cariche non sbattano tra di loro) e generalmente dopo ogni urto cambiano velocità, in modulo o in direzione, cedono energia, si fermano ecc.. poi ogni volta riaccelerano cn accelrazione $a_c$.
macroscopicamente questo moto caotico si può schematizzare, vedere come una corrente, un fascio di cariche che si muove a velocità costante $v_d$. infatti sempre second schemi semplificativi, se un elettrone accelera, si ferma, riaccelera ecc. il moto su grandi distanze può essere visto come un moto a velocità uniforme pari allavelocità media (a parità di campo em ovviamente).
ok. ma allora se il campo e.m. fornisce un'accelerazione e però le cariche si muovono con velocità costante $v_d$ significa che la potenza data dal campo e.m. è "compensata", o dispersa poichè un moto a velocità uniforme (sempre a parità di campo) implica $sum F =0$ quindi $L_(em) + L_p =0$ con L_em = lavoro campo e L_p energia dispersa.
e nel paragrafo ho cercato un'espressione sia della potenza del campo, sia della potenza persa (tramite il fatto che per velocità costante allora l'accelerazione $a_c$ dev'essere in qualche modo compensata) giungendo alla conclusione che sono due valori opposti che quindi verificano $L_(em) + L_p =0$.
nel calcolo della potenza poi la compenente della forza di lorenza dovuta a B è nulla.
è un ragionamento, non sono un fisico non te lo do per certo. probabilmente non sto considerando il caso piu generale, però in questo caso mi sembra che torni.
in ogni caso, se il campo elettrico non è stazionario si ha $E + (del A)/(del t) = - nabla phi$ quindi moltiplicando scalarmente per lo spostamento elementare, $d phi = E*dl + (del A)/(del t) * dl$
l'espressione di A in funzione di $J$ nel volume dV è $A= u_0/(4 pi) J/(|r-r'|) dV = u_0/(4 pi) (rho v_d)/(|r-r'|) dV$
(r-r' è la posizione del volumetto considerato)
dunque poichè esso è diretto come V_d la sua derivata temporale$(del A)/(del t)$ è ortogonale a tale direzione
quindi tale derivata moltiplicata per los postamento elementare $dl= v_d dt$ da $0$ e dunque l'espressione resta quella del post di prima.
Ragazzi, non ho letto tutta la vostra discussione ma comunque sono riuscito a darmi una risposta! Era tutto molto semplice!
Per farla breve: $ vec(j) = vec(j_0) +vec(j_c) $ come si sapeva, con $ j_0 $ sorgente e $ j_c $ di conduzione. Poi utilizzando la dimostrazione proposta da cyd:
Si nota che quella è la potenza spesa per tenere in vita il campo. Ma perfettamente in modo analogo si dimostra che $vec(j_c)*vec(E)$ è la densità di potenza relativa alla corrente di conduzione, cioè l'effetto joule. Ma dato che $ vec( j_c) = sigma vec(E) $ si ha $ p = sigma |vec(E)|^2 $ con p densità di potenza, e tutto è risolto!
Grazie comunque per il supporto che mi ha fatto aprire gli occhi!
Per farla breve: $ vec(j) = vec(j_0) +vec(j_c) $ come si sapeva, con $ j_0 $ sorgente e $ j_c $ di conduzione. Poi utilizzando la dimostrazione proposta da cyd:
"cyd":
prendi una regione di spazio $V$ in cui sono presenti delle cariche e in cui vi sia un campo elettromagnetico.
considera un volumetto $dV$. se la distribuzione è continua ed omogenea esso avrà carica $dq$ e le forze dovute all'interazione elettromagnetica sono $d vec(F) = dq (vec(E) + vec(v)^^vec(B))$.
il lavoro elementare è $delta L = del vec(F) * vec(v)*dt = dq E v dt$
poichè $rho vec(v) = vec(J_0)$ si ha
$delta L = vec(E)*vec(J) dV dt$ (dV è il volume)
ossia la potenza trasferita alle cariche, per volumetto infinitesimo è $(delta L)/(d t) = vec(E)*vec(J) dV$
Si nota che quella è la potenza spesa per tenere in vita il campo. Ma perfettamente in modo analogo si dimostra che $vec(j_c)*vec(E)$ è la densità di potenza relativa alla corrente di conduzione, cioè l'effetto joule. Ma dato che $ vec( j_c) = sigma vec(E) $ si ha $ p = sigma |vec(E)|^2 $ con p densità di potenza, e tutto è risolto!
Grazie comunque per il supporto che mi ha fatto aprire gli occhi!
Non ho capito una cosa riguardo $vecJ$, o vettore densità di corrente. Se ad esempio consideriamo un materiale conduttore complessivamente neutro, cioè costituito da tante cariche positive quante quelle negative, con una distribuzione discreta per entrambi i tipi di carica approssimata con due distribuzioni continue di segno opposto, in moto in uno spazio in cui è presente un campo elettromagnetico, avremmo che $vecJ$ (complessivo) nelle equazioni di Maxwell sarà dato dalla somma dei due vettori nello spazio, mentre la velocità dei soli elettroni, quelli che non sono fissati ad uno struttura cristallina come le cariche positive, sarà data dalla sola densità di corrente delle cariche negative.
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