[Tensioni principali e Cerchi di Mohr]

[Pivot1]

Ciao a tutti.

Vorrei un aiuto per questo esercizio.

Assegnata la matrice di tensioni:

$ S = ((1,0,-1),(0,-1,1),(-1,1,0))*10^3 Kg : cm^2$

Ricavare le tre tensioni principali, assieme alle corrispondenti direzioni principali.
Tracciati i relativi cerchi di Mohr principali, identificare su di essi gli stati tensionali corrispondenti
a tensioni tangenziali massime e minime.

Per calcolare le tensioni principali e le direzioni principali ho pensato di trovare le radici dell'equazione secolare:

$-sigma^3 + I_1*sigma^2 - I_2*sigma + I_3 = 0$

$I_1 = sigma_11 + sigma_22 + sigma_33$
$I_2 = sigma_11 * sigma_22 + sigma_11 * sigma_33 + sigma_22 * sigma_33 - sigma_12^2 - sigma_13^2 - sigma_23^2$
$I_3 = det S$

Una volta note le radici dell'equazione, calcolo i coseni direttori sostituendo una per volta le radici trovate nel sisema:

$\{((sigma_11- sigma)*n_11 + sigma_12*n_12 + sigma_13*n_13 = 0),(sigma_21*n_21 + (sigma_22 - sigma)*n_22 + sigma_23*n_23 = 0),(sigma_31*n_31 + sigma_32*n_32 + (sigma_33 - sigma)*n_33 = 0):}$

e da qui ricavo i valori di n.

Ora calcolo le componeti cartesiane del vettore tensione:

$\{(t_n1 = sigma_11*n1 + sigma_12*n2 +sigma_13*n_3),(t_n2 = sigma_21*n_1 + sigma_22*n_2 + sigma_23*n_3),(t_n3 = sigma31*n_1 + sigma_32*n_2 + sigma_33*n_3):}$

Poi calcolo l'intesità del vettore tensione come:

$t_n = sqrt(t_(n1)^2 + t_(n2)^2 + t_(n3)^2)$

Calcolo la tensione normale:

$sigma_n^2 = (sigma_1*n_1^2 + sigma_2*n_2^2 + sigma_3*n_3^2)^2 $

Calcolo la tensione tangenziale:

$tau = sqrt(t_n^2 - sigma_n^2)$

Come calcolo le tensioni tangenziali massime e minime? Ho pensato di fare cosi:

$tau_n = \pm\ (sigma_2 - sigma_3)/2$

$tau_n = \pm\ (sigma_1 - sigma_3)/2$

$tau_n = \pm\ (sigma_1 - sigma_2)/2$

dove $+$ è il massimo e $-$ il minimo.
Cosa ne pensate? Secondo voi il procedimento è corretto?

Come faccio a tracciare i cerchi principali di Mohr e ad individuare su di essi gli stati tensionali corrispondenti e le tensioni tangenziali massime e minime?

Grazie anticipate

[ELWOOD1]

Il procedimento mi sembra corretto.
Se sai come determinare i cerchi di Mohr (le equazioni parametriche) sai come individuare le tensioni tangenziali max e minime, che sono rispettivamente i punti di max e minimo dei cerchi

[Pivot1]

ok grazie Elwood ora provo

[xnix]

scusate ma se la traccia del tensore non fosse stata zero... come si procede a calcolare le tensioni principali?

[ELWOOD1]

In questo caso la traccia del tensore NON è zero infatti
Si tratta di un problema agli autovalori

[xnix]

ma la traccia di $S$ è zero (1 -1 0)... non capisco a quale traccia ti riferisci

[ELWOOD1]

Si scusami... Ho visto male.
Ok è zero e quindi dove sarebbe il problema secondo te?