[Telecomunicazioni] Esercizio ricevitore
Salve. Sto cercando di risolvere il seguente esercizio:
Il segnale $x_1(k)$ si ottiene a valle del campionamento di $r(t)$ con passo $T_1$.
[tex]x_1(k) = r(kT_1) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty}r(nT_1)\delta(k-nT_1)[/tex]
La DTFT sarà
$X_1(\nu) = 1/T_1 \sum_{n = 0}^{T_1-1}R(\nu - n/T_1)$
e a valle del mixing si avrà
$X_2(\nu) = \beta /2 X_1(\nu - T_2) + \beta /2 X_1(\nu + T_2)$
Dal filtro passabasso, infine, fuoriesce il segnale
$X_3(\nu) = \text{rect}(\frac{\nu}{2f_3})X_2(\nu)$ dove chiaramente $f_3 = 1/T_3$.
La traccia dunque chiede di trovare i parametri $T_1$, $T_2$, $T_3$ e $\beta$ tali per cui lo spettro d'ampiezza $|X_3(\nu)|$ sia uguale allo spettro d'ampiezza del segnale, chiamiamolo $s(k)$, ottenuto campionando $w(t)$ con passo $T_1$.
Effettuando tale campionamento si ottiene
$s(k) = w(kT_1) =\sum_{n = -\infty}^{+\infty}w(nT_1)\delta(k-nT_1)$
la cui DTFT è
$S(\nu) = 1/T_1 \sum_{n = 0}^{T_1-1}W(\nu - n/T_1)$.
A questo punto mi chiedo come dovrei procedere per trovare i parametri richiesti.
Non sono sicuro che procedere per via analitica sia la strada migliore, ma anche se fosse vorrei capire come continuare in questa maniera. Anche perchè per via grafica non sembra essere una passeggiata.
Qualche consiglio?
Il segnale $x_1(k)$ si ottiene a valle del campionamento di $r(t)$ con passo $T_1$.
[tex]x_1(k) = r(kT_1) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty}r(nT_1)\delta(k-nT_1)[/tex]
La DTFT sarà
$X_1(\nu) = 1/T_1 \sum_{n = 0}^{T_1-1}R(\nu - n/T_1)$
e a valle del mixing si avrà
$X_2(\nu) = \beta /2 X_1(\nu - T_2) + \beta /2 X_1(\nu + T_2)$
Dal filtro passabasso, infine, fuoriesce il segnale
$X_3(\nu) = \text{rect}(\frac{\nu}{2f_3})X_2(\nu)$ dove chiaramente $f_3 = 1/T_3$.
La traccia dunque chiede di trovare i parametri $T_1$, $T_2$, $T_3$ e $\beta$ tali per cui lo spettro d'ampiezza $|X_3(\nu)|$ sia uguale allo spettro d'ampiezza del segnale, chiamiamolo $s(k)$, ottenuto campionando $w(t)$ con passo $T_1$.
Effettuando tale campionamento si ottiene
$s(k) = w(kT_1) =\sum_{n = -\infty}^{+\infty}w(nT_1)\delta(k-nT_1)$
la cui DTFT è
$S(\nu) = 1/T_1 \sum_{n = 0}^{T_1-1}W(\nu - n/T_1)$.
A questo punto mi chiedo come dovrei procedere per trovare i parametri richiesti.
Non sono sicuro che procedere per via analitica sia la strada migliore, ma anche se fosse vorrei capire come continuare in questa maniera. Anche perchè per via grafica non sembra essere una passeggiata.
Qualche consiglio?
Risposte
In realta' il modo grafico non e' affatto difficile.
Potresti iniziare disegnando lo spettro di $r(t)$ e lo spettro di $r(t)$ campionato con un tempo di $T_1 = 2/f$.
Onestamente non sono sicuro su cosa voglia esattamente chi ha pensato l'esercizio. Ci sono delle soluzioni molto facili come ad esempio $T_1 = 2/f$. Non so se era questo uno dei risultati voluti, ma per te puo' essere sicuramente un modo per iniziare a capire questi esercizi.
Potresti iniziare disegnando lo spettro di $r(t)$ e lo spettro di $r(t)$ campionato con un tempo di $T_1 = 2/f$.
Onestamente non sono sicuro su cosa voglia esattamente chi ha pensato l'esercizio. Ci sono delle soluzioni molto facili come ad esempio $T_1 = 2/f$. Non so se era questo uno dei risultati voluti, ma per te puo' essere sicuramente un modo per iniziare a capire questi esercizi.
"Quinzio":
In realta' il modo grafico non e' affatto difficile.
Potresti iniziare disegnando lo spettro di $r(t)$ e lo spettro di $r(t)$ campionato con un tempo di $T_1 = 2/f$.
Ho provato a fare come mi hai suggerito e sono pervenuto a questo:
Se non mi avessi fissato un valore per $T_1$ non avrei saputo come fare, essendo un parametro.
Resta il dubbio del perchè proprio quel valore, dato che la traccia lo dà come incognita da determinare.
Non capisco anche perchè la chiami "soluzione", dato che la soluzione dovrebbe essere data determinando tutti e quattro i parametri.
"DeltaEpsilon":
Ho chiamato $f_c$ la carrier frequency anziché $f$, che mi sembra una scelta abbastanza discutibile da parte del testo.
Benissimo.
Ho evidenziato gli intervalli $[-1, 0]$ e $[0, 1]$ per risaltare la periodicità unitaria della DTFT.
La periodicita' non e' 1, ma e' ....
Se non mi avessi fissato un valore per $T_1$ non avrei saputo come fare, essendo un parametro.
Lo devi fissare tu in base alle richieste, ai vincoli, ecc...
Resta il dubbio del perchè proprio quel valore, dato che la traccia lo dà come incognita da determinare.
La traccia ti da quella disequazione da rispettare. Inoltre i triangoli dello spettro non si devono sovrapporre altrimenti perdi la forma dello spettro, perdi un pezzo di informazione.
Non capisco anche perchè la chiami "soluzione", dato che la soluzione dovrebbe essere data determinando tutti e quattro i parametri.
Ok, $T_1$ e' una parte della soluzione, gli altri tempi li puoi determinare tu, no ? Hai visto che non e' molto difficile.
L'unico da determinare in modo esatto, alla fine, e' $\beta$.
Fai una prova.
"Quinzio":
Ho evidenziato gli intervalli $[-1, 0]$ e $[0, 1]$ per risaltare la periodicità unitaria della DTFT.
La periodicita' non e' 1, ma e' ....
Proprio di questo volevo discutere. La DTFT matematicamente ha sempre periodicità unitaria.
La proprietà del campionamento della DTFT prevede che il passo di campionamento sia un $N_0 \in \mathbb{N}$.
Invece, in questo caso, si è campionato con un passo $T_1 = 2/f_c$ che non è un numero naturale.
Dunque quella che ho riportato non è la DTFT, bensì la FT. Per questo non risulta avere periodicità unitaria ma di $f_c/2$.
In effetti, sia la FT che la DTFT hanno una proprietà di campionamento simile. La prima utilizza delle delta di Dirac e passo di campionamento reale, mentre la seconda degli impulsi discreti e passo di campionamento intero positivo.
Quale delle due utilizzare in questo contesto ancora non mi è molto chiaro. Osservando lo schema nella traccia dell'esercizio, noto che vi è una moltiplicazione per un coseno tempo discreto, per questo motivo ho pensato di adoperare la DTFT così da applicare la proprietà di modulazione di quest'ultima. La proprietà di modulazione della FT vale solo per sinusoidi in cui la variabile temporale è reale.
Potresti chiarirmi questo punto?
"DeltaEpsilon":
Proprio di questo volevo discutere. La DTFT matematicamente ha sempre periodicità unitaria.
No, non e' cosi'. Il periodo e' quello che e': 0.6 secondi, 10 secondi, 1 millisecondo, 0.3333 millisecondi.
E lo si puo' scegliere a piacere (sempre con i dovuti vincoli per non perdere informazione).
Secondo me quello che ti crea confusione e' che i campioni del segnale campionato vengono scritti come $x[0], x[1], x[2], ... , x[n]$.
Il punto e' che nelle applicazioni reali, dove viene usata la FFT, anche la frequenza viene normalizzata e campionata. Anche i campioni dello spettro di frequenza assumono un indice naturale, $f[0], f[1], ...$ ma bisogna avere sempre presente che si tratta di una normalizzazione. E' chiaro che finche' uno rimane nel mondo digitale, puo' dimenticare quale era il periodo di campionamento.
La proprietà del campionamento della DTFT prevede che il passo di campionamento sia un $N_0 \in \mathbb{N}$.
Questo non e' scritto da nessuna pare, dove l'hai letto ? Sono gli indici dei campioni ad avere i numeri naturali 0, 1, 2, 3, ...
Invece, in questo caso, si è campionato con un passo $T_1 = 2/f_c$ che non è un numero naturale.
Dunque quella che ho riportato non è la DTFT, bensì la FT. Per questo non risulta avere periodicità unitaria ma di $f_c/2$.
No, hai fatto proprio la DTFT (discrete time fourier transform). Il tempo e' discreto, ma la frequenza no.
In effetti, sia la FT che la DTFT hanno una proprietà di campionamento simile. La prima utilizza delle delta di Dirac e passo di campionamento reale, mentre la seconda degli impulsi discreti e passo di campionamento intero positivo.
Quale delle due utilizzare in questo contesto ancora non mi è molto chiaro.
Potresti chiarirmi questo punto?
Quello che secondo me non hai ben chiaro sono queste proprieta' della trasformata di Fourier.
Segnale continuo e non periodico <---> Spettro continuo e non periodico.
Segnale campionato e non periodico <---> Spettro continuo e periodico.
Segnale continuo e periodico <---> Spettro campionato e non periodico.
Segnale campionato e periodico <---> Spettro campionato e periodico.
Ovvero la campionatura del segnale produce una "periodicizzazione" dello spettro e viceversa.
Una periodicizzazione del segnale produce una campionatura dello spettro.
Ora con il primo caso:
Segnale continuo e non periodico <---> Spettro continuo e non periodico.
uso la FT, non posso fare altro.
Col secondo caso:
Segnale campionato e non periodico <---> Spettro continuo e periodico.
il tempo e' discreto, uso la DTFT. Questo caso e' di grande importanza pratica in quanto i sistemi digitali possono usare solo segnali campionati. La FT ha importanza teorica.
Il terzo caso:
Segnale continuo e periodico <---> Spettro campionato e non periodico.
ha di nuovo importanza solo teorica, Sarebbe l'analisi di Fourier.
Il quarto caso:
Segnale campionato e periodico <---> Spettro campionato e periodico.
e' la applicazione al top per i sistemi digitali, in quanto sia frequenza che tempo sono discretizzate e periodiche, quindi si possono usare con i computer. Qui si usa la DFT (discrete fourier transform, discreta sia per il tempo che per la frequenza), ma la vera trasformata usata dovunque e' la FFT, che la DFT con un numero di campioni potenza del 2. Viene usata perche' e' veloce (fast fourier transform).
Osservando lo schema nella traccia dell'esercizio, noto che vi è una moltiplicazione per un coseno tempo discreto, per questo motivo ho pensato di adoperare la DTFT così da applicare la proprietà di modulazione di quest'ultima. La proprietà di modulazione della FT vale solo per sinusoidi in cui la variabile temporale è reale.
Capisco che all'inizio ci sia un po' di confusione, che ovviamente sparisce quando uno studia queste cose e fa esercizi.
Allora, e' vero che devi usare la DTFT, ma non perche' c'e' la moltiplicazione per il coseno.
La FT la usi nel mondo reale.
Se vuoi entrare nel mondo digitale, campioni TUTTI i segnali con lo stesso tempo di campionamento e usi la DTFT.
Infatti il segnale $r(t)$ e' stato campionato e anche quel coseno ti viene proposto in forma gia' campionata. Quello che hai, se vogliamo, e' un coseno gia' campionato e che quindi ha indice $[k]$.
Qui anche chi ha fatto l'esercizio ci mette del suo quando scrive $cos(2\pi T_2 k)$ perche' $T_2$ non e' un tempo, ma e' una frazione pura, senza unita' di misura. Prova a prendere $T_2 = 1/2, 1/3, 1/4, ....$
Inoltre, prova a ragionare su questo: qual era quella funzione coseno, che, campionata, produce $cos(2\pi T_2 k)$ ?
Ovvero, all'inizio c'era un segnale coseno reale, che e' stato campionato a periodi $T_1$ anch'esso. Qual era la frequenza reale in Hz di quel coseno ?
Lo scopo di quest esercizio e' di fare pratica con questi concetti. Non chiederti se ha senso o no....
"Quinzio":
[quote="DeltaEpsilon"]
Proprio di questo volevo discutere. La DTFT matematicamente ha sempre periodicità unitaria.
No, non e' cosi'. Il periodo e' quello che e': 0.6 secondi, 10 secondi, 1 millisecondo, 0.3333 millisecondi.
E lo si puo' scegliere a piacere (sempre con i dovuti vincoli per non perdere informazione).
[/quote]
Per essere chiari, quando parlo di DTFT io sottointendo l'utilizzo della frequenza normalizzata $\nu$.
Quando dico che la DTFT ha periodo unitario mi riferisco sempre alla frequenza normalizzata: $X(\nu) = X(\nu+1)$. Morale: nel disegno ho piazzato male i valori "1" e "-1". Siamo d'accordo?
"Quinzio":
[quote="DeltaEpsilon"]
La proprietà del campionamento della DTFT prevede che il passo di campionamento sia un $N_0 \in \mathbb{N}$.
Questo non e' scritto da nessuna pare, dove l'hai letto ? Sono gli indici dei campioni ad avere i numeri naturali 0, 1, 2, 3, ...
[/quote]
Riporto le proprietà di campionamento nel tempo del mio testo, sia per la FT che per la DTFT:
Quello che confonde è l'estrema somiglianza tra le due formule.
Sopra si hanno delle delta di Dirac, cioè delle distribuzioni, nel tempo continuo.
Sotto si hanno impulsi discreti.
Inoltre, entrambi $x(kT_0)$ e $x(kN_0)$ sono segnali tempo discreto, solo che sopra il passo di campionamento $T_0$ è reale positivo, sotto $N_0$ solo naturale.
Alla fine dei conti si ha che entrambi $y(t)$ e $y(n)$ sono dei segnali essenzialmente """tempo discreto""", se non fosse per l'enorme differenza di carattere matematico che vi è tra delta di Dirac e impulsi discreti.
Tornando dunque all'esercizio: abbiamo un segnale tempo continuo $r(t)$ campionato con passo $T_1 \in \mathbb{R_+}$.
A valle del campionamento avrò allora un segnale campionato ma tempo continuo (vedi $y(t)$) o campionato ma tempo discreto (vedi $y(n)$)? Nel primo caso andrebbe applicata la FT, nel secondo la DTFT.
La formula della DTFT, però, riporta un passo di campionamento naturale, non reale.
"Quinzio":
Inoltre, prova a ragionare su questo: qual era quella funzione coseno, che, campionata, produce $cos(2\pi T_2 k)$?
Partendo da un generico coseno tempo continuo $cos(2\pi ft)$, campionarlo con passo $T_s$ (tale che valga la condizione di Nyquist) vuol dire considerare istanti di tempo $t = kT_s$ $\forall k \in \mathbb{N_0}$. A valle del campionamento si ottiene quindi il coseno tempo discreto $cos(2\pi f k T_s)$. Confrontando questo coseno appena ottenuto con quello fornito, deve essere $f T_s = T_2$, cioè il coseno in origine aveva frequenza $f = T_2/T_s$.
Per quanto riguarda il resto, ti ringrazio per la carrellata di ricapitolazione. In linea del tutto generale, ti ringrazio per il tempo che stai dedicando.
"DeltaEpsilon":
[quote="Quinzio"][quote="DeltaEpsilon"]
Proprio di questo volevo discutere. La DTFT matematicamente ha sempre periodicità unitaria.
No, non e' cosi'. Il periodo e' quello che e': 0.6 secondi, 10 secondi, 1 millisecondo, 0.3333 millisecondi.
E lo si puo' scegliere a piacere (sempre con i dovuti vincoli per non perdere informazione).
[/quote]
Per essere chiari, quando parlo di DTFT io sottointendo l'utilizzo della frequenza normalizzata $\nu$.
Quando dico che la DTFT ha periodo unitario mi riferisco sempre alla frequenza normalizzata: $X(\nu) = X(\nu+1)$. Morale: nel disegno ho piazzato male i valori "1" e "-1". Siamo d'accordo?
[/quote]
Purtroppo no. Mi spiego.
Se usi la frequenza normalizzata sull'asse orizzontale ci vanno i numeri "puri", senza unita' di misura. Di solito si marcano gli interi .., -2, -1, 0, 1, .... ma non e' obbligatorio.
Se usi la frequenza "classica" sull'asse orizzontale ci sono dei valori in Hertz (o multipli, MHz, kHz, ...).
Quello che non va bene, che e' quello che hai fatto tu, e' mischiare le due cose. Intanto scrivi che usi la frequenza normalizzata, ma poi usi la frequenza classica, siccome scrivi -0.2 (MHz) e 0.2 (MHz), che e' il valore di $B$. E fino a qui andrebbe anche bene, perche' comunque si capisce, anche se non e' esatto.
Quello che mi preoccupa e' quel numero 1 quando scrivi.... 0.2..... 0.725 ..... 1.
E temo che quel numero 1 per te sia la frequenza normalizzata, ma non funziona cosi'. Potrebbe essere 1 MHz, ma temo che non sia cosi'. Dov'e' l'1 della frequenza normalizzata ? Non c'e'. E' questo che non si capisce.
"DeltaEpsilon":
[quote="Quinzio"][quote="DeltaEpsilon"]
La proprietà del campionamento della DTFT prevede che il passo di campionamento sia un $N_0 \in \mathbb{N}$.
Questo non e' scritto da nessuna pare, dove l'hai letto ? Sono gli indici dei campioni ad avere i numeri naturali 0, 1, 2, 3, ...
[/quote]
Riporto le proprietà di campionamento nel tempo del mio testo, sia per la FT che per la DTFT:
[/quote]
Qui avevo letto distrattamente quello che avevi scritto.
Cambio il mio commento in:
la proprieta' del campionamento della DTFT non c'entra nulla in questo esercizio.
Secondo me stai confondendo il campionamento di un segnale a tempo continuo con il campionamento di una sequenza numerica (che probabilmente deriva gia' da un campionamento).
La seconda operazione e' anche detta decimazione, ma qui non c'entra nulla.
Poi, siamo d'accordo che matematicamente si assomigliano, ma hanno scopi diversi.
"Quinzio":
Quello che non va bene, che e' quello che hai fatto tu, e' mischiare le due cose. Intanto scrivi che usi la frequenza normalizzata, ma poi usi la frequenza classica, siccome scrivi -0.2 (MHz) e 0.2 (MHz), che e' il valore di $B$. E fino a qui andrebbe anche bene, perche' comunque si capisce, anche se non e' esatto.
Quello che mi preoccupa e' quel numero 1 quando scrivi.... 0.2..... 0.725 ..... 1.
E temo che quel numero 1 per te sia la frequenza normalizzata, ma non funziona cosi'.
No, no. Capisco perfettamente.
Quel "1" andrebbe piazzato in luogo di $f_c/2=0.725$.
Quei valori delle frequenze (unità di misura Hz) indicati in arancione sono solo dei "segnaposto" che ho utilizzato per disegnare, ma non sono i reali valori delle ascisse.
"DeltaEpsilon":
Tornando dunque all'esercizio: abbiamo un segnale tempo continuo $r(t)$ campionato con passo $T_1 \in \mathbb{R_+}$.
A valle del campionamento avrò allora un segnale campionato ma tempo continuo (vedi $y(t)$) o campionato ma tempo discreto (vedi $y(n)$)? Nel primo caso andrebbe applicata la FT, nel secondo la DTFT.
La formula della DTFT, però, riporta un passo di campionamento naturale, non reale.
Qui non ci siamo. La DTFT non ha un passo di campionamento naturale, ma ha un passo di campionamento di $T
Lo dicono anche qui.
https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete- ... troduction
$$\displaystyle S_{1/T}(f)\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }\underbrace {T\cdot s(nT)} _{s[n]}\ e^{-i2\pi fTn}.$$
Hai letto le proprietà di campionamento nel tempo e hai pensato che questo si riferisca al campionamento di un segnale continuo, o che sia la definizione di DTFT, ma non e' cosi'.
"Quinzio":
Inoltre, prova a ragionare su questo: qual era quella funzione coseno, che, campionata, produce $cos(2\pi T_2 k)$?
Partendo da un generico coseno tempo continuo $cos(2\pi ft)$, campionarlo con passo $T_s$ (tale che valga la condizione di Nyquist) vuol dire considerare istanti di tempo $t = kT_s$ $\forall k \in \mathbb{N_0}$. A valle del campionamento si ottiene quindi il coseno tempo discreto $cos(2\pi f k T_s)$. Confrontando questo coseno appena ottenuto con quello fornito, deve essere $f T_s = T_2$, cioè il coseno in origine aveva frequenza $f = T_2/T_s$.
Per quanto riguarda il resto, ti ringrazio per la carrellata di ricapitolazione. In linea del tutto generale, ti ringrazio per il tempo che stai dedicando.
Si, qui e' ok. Ci torniamo dopo.
"Quinzio":
Hai letto le proprietà di campionamento nel tempo e hai pensato che questo si riferisca al campionamento di un segnale continuo, o che sia la definizione di DTFT, ma non e' cosi'.
No, che sia la definizione di DTFT no. La proprietà di campionamento nel tempo si riferisce al campionamento di un segnale tempo continuo (caso della FT) o di un segnale tempo discreto (caso della DTFT).
E si, è facile confondere quest'ultima con la decimazione [nota]la quale "getta via" valori del segnale, a differenza del campionamento che mantiene valori nulli tra un campione e l'altro[/nota], ma non è il mio caso fortunatamente.
Partiamo dal principio.
Abbiamo un segnale tempo continuo $r(t)$ che va campionato con passo $T_1$.
La proprietà di campionamento nel tempo della trasformata di Fourier (FT) dice che campionando il segnale tempo continuo $r(t)$ con passo $T_1$
$x_1(t) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty}r(nT_1)\delta(t-nT_1)$
si ottiene, in frequenza, la replica periodica dello spettro di $r(t)$
$X_1(f) = 1/T_1 \sum_{n = -\infty}^{+\infty} R(f-n/T_1)$
Ho utilizzato la trasformata di Fourier tempo continuo (FT) sul segnale $x_1(t)$ che è il campionamento ideale del segnale $r(t)$.
Partiamo da questo: dove e perché entrerebbe in gioco la DTFT?
"DeltaEpsilon":
Partiamo da questo: dove e perché entrerebbe in gioco la DTFT?
Perche' hai solo dei segnali campionati, a parte $r(t)$ iniziale.
Per cui con i segnali campionati, o a tempo discreto, puoi usare la DTFT (Discrete Time FT).
Detto cio', se la tua domanda e': "Ma non posso usare semplicemente la FT ?"
La risposta e' si.
Le due trasformate sono molto molto simili. Quello che cambia e' che nella DTFT Il segnale diventa semplicemente una sequenza numerica, per cui il concetto di tempo sparisce completamente.
"Quinzio":
Perche' hai solo dei segnali campionati, a parte $r(t)$ iniziale.
Per cui con i segnali campionati, o a tempo discreto, puoi usare la DTFT (Discrete Time FT).
Detto cio', se la tua domanda e': "Ma non posso usare semplicemente la FT ?"
La risposta e' si.
Ecco, la possibilità di usarle entrambe è stato il motivo principale della confusione per cui ho aperto questo thread. Appurato che posso usarle entrambe, facciamo un passo avanti.
Nel primissimo post di questo thread ho scritto:
Il segnale $x_1(k)$ si ottiene a valle del campionamento di $r(t)$ con passo $T_1$.
[tex]x_1(k) = r(kT_1) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty}r(nT_1)\delta(k-nT_1)[/tex]
La DTFT sarà
$X_1(\nu) = 1/T_1 \sum_{n = 0}^{T_1-1}R(\nu - n/T_1)$
Quello che ho fatto è stato trattare $x_1$ come un segnale tempo discreto, al contrario di quanto ho fatto nel post precedente in cui l'ho scritto come segnale tempo continuo (campionamento ideale, delta di Dirac).
Subito dopo, ho applicato la proprietà di campionamento nel tempo per la DTFT.
Tuttavia, quella proprietà della DTFT, abbiamo detto, vale se sto campionando nel tempo un segnale tempo discreto. Ma $r(kT_1)$ è il campionamento nel tempo di un segnale tempo continuo, perché $r(t)$ è tempo continuo.
Non dovrebbe allora essere sbagliato quello che ho fatto all'inizio?
Cioè, in altri termini: da una parte ho costruito un segnale tempo discreto $x_1(k)$ per cui sono abilitato ad usare la DTFT. Dall'altra, però, la proprietà di campionamento della DTFT vale per il campionamento di un segnale tempo discreto, quindi non posso applicarla in questo caso.
"DeltaEpsilon":
Ecco, la possibilità di usarle entrambe è stato il motivo principale della confusione per cui ho aperto questo thread. Appurato che posso usarle entrambe, facciamo un passo avanti.
Nel primissimo post di questo thread ho scritto:
Il segnale $x_1(k)$ si ottiene a valle del campionamento di $r(t)$ con passo $T_1$.
[tex]x_1(k) = r(kT_1) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty}r(nT_1)\delta(k-nT_1)[/tex]
Allora, questa parte qui e' giusta.
[tex]x_1(k) = r(kT_1)[/tex]
Ma questa e' sbagliata.
[tex]x_1(k) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty}r(nT_1)\delta(k-nT_1)[/tex]
A parte che si usano le parentesi quadre $x_1[n]$ proprio per indicare che si tratta di una sequenza e non piu' di una funzione continua, la sequenza $x_1[n]$ NON e' fatta da tante Delta di Dirac.
La $x_1[n]$ e' fatta da valori, che sono quello che sono, semplicemente uguali alla funzione originale nell'istante in cui e' stata campionata. E' molto piu' semplice di quello che hai scritto tu.
Prendiamo la funzione $f(t) = t$ e la campiono con passo $T = 1" ms"$, ottenendo una sequenza $s[n]$
Quello che ottengo NON e' $s[n] = 0, 1/1000 \delta(t-1/1000), 2/1000 \delta(t-2/1000), 3/1000 \delta(t-3/1000), ....$
ma semplicemente $s[n] = 0, 1/1000, 2/1000, 3/1000, ...$
Le Delta di Dirac non ci sono piu'.
Quello che devi immaginare e' che la sequenza vive dentro la memoria di un microprocessore, perche' tutta questa teoria e' stata fatta solo per giustificare dal punto di vista matematico i calcoli che vengono fatti nel microprocessore.
Ora nel microprocessore, non posso rappresentare una Delta di Dirac, non ha senso.
La Delta di Dirac e' un'astrazione matematica, non esiste neanche nella realta', tanto meno in un microprocessore.
[quote]
La DTFT sarà
$X_1(\nu) = 1/T_1 \sum_{n = 0}^{T_1-1}R(\nu - n/T_1)$
[/quote]
Cos'e' $R$, da dove viene ? Forse $R$ e' gia' la FT ?
Ok, ma non c'e' bisogno di passare per la FT, la DTFT ha gia' la sua definizione che si trova qui.
https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete- ... _transform
Poi, guarda volevo solo farti notare gli errori che ci sono nella formula.
Che senso ha $ \sum_{n = 0}^{T_1-1}$ ?
La sommatoria va da $0$ a ? un tempo ? ad esempio da 0 a 1 ms ? che senso ha ? Poi perche' il $-1$ ?
C'e' anche questa $R(\nu - n/T_1)$. Se $R$ e' la FT, non usa la frequenza unitaria $\nu$ ma usa la frequenza $f$ in Hertz.
Stai confondendo un po ' di cose.
Quello che ho fatto è stato trattare $x_1$ come un segnale tempo discreto, al contrario di quanto ho fatto nel post precedente in cui l'ho scritto come segnale tempo continuo (campionamento ideale, delta di Dirac).
Subito dopo, ho applicato la proprietà di campionamento nel tempo per la DTFT.
Questo e' quello che credi di aver fatto, ma non e' cosi'.
Quello che hai fatto e' stato applicare la proprieta' della moltiplicazione/convoluzione che e' spiegata qui:
https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_t ... transforms alla riga 109
oppure qui
https://en.wikipedia.org/wiki/Convolution_theorem
Quella che tu chiami proprietà di campionamento per la DTFT e' quella che tutti chiamano decimazione, che 'e spiegata qui
https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete- ... Properties riga Decimation
Probabilmente il tuo libro o il tuo prof la chiamano proprietà di campionamento, ma mi sembra una scelta infelice.
Tuttavia, quella proprietà della DTFT, abbiamo detto, vale se sto campionando nel tempo un segnale tempo discreto. Ma $r(kT_1)$ è il campionamento nel tempo di un segnale tempo continuo, perché $r(t)$ è tempo continuo.
Non dovrebbe allora essere sbagliato quello che ho fatto all'inizio?
Non e' che e' sbagliato, e' che confondi la sequenza numerica $x_1[n]$ con la funzione campionata con le delta di dirac.
Cioè, in altri termini: da una parte ho costruito un segnale tempo discreto $x_1(k)$ per cui sono abilitato ad usare la DTFT. Dall'altra, però, la proprietà di campionamento della DTFT vale per il campionamento di un segnale tempo discreto, quindi non posso applicarla in questo caso.
Infatti non dovresti usarla qui quella proprietà di campionamento.
Hai due strade per avere la DTFT.
1) Prendi la $r(t)$, la campioni, operazione molto molto semplice e ottieni la sequenza $x_1[n]$ , Poi fai la DTFT usando la definizione della DTFT.
2) Prendi la $r(t)$, la moltiplichi per le Delta di Dirac negli istanti di campionamento (il famoso pettine di Dirac). Poi, usando la proprieta' della moltiplicazione/convoluzione o il convolution theorem che ti ho citato prima, prendi la FT della $r(t)$, la FT del pettine di Dirac e fai la convoluzione.
Sono due strade molto simili e sono facili da confondere, ma concettualmente sono due cose diverse.
La 2) in qualche modo e' piu' intuitiva, forse perche' uno e' gia' abituato alla FT. E va bene usarla, a patto di capire cosa si sta facendo e che e' una scorciatoia per arrivare alla DTFT.
Soprattutto, l'esercizio ci da gia' la FT del segnale di partenza.
Anche il termine "campionare" viene usato in modo ambiguo.
Campionare puo' voler dire estrarre la sequenza numerica per la DTFT, oppure moltiplicare la funzione continua per il pettine di Dirac. Dal contesto dovrebbe essere chiaro cosa si sta facendo, ma non sempre perche' probabilmente si suppone che chi legge sappia fare questa distinzione da solo.
Aggiungo: quello con le Delta di Dirac dovrebbe chiamarsi campionamento impulsivo, a differenza di quell'altro, detto semplicemente campionamento.
"Quinzio":
Allora, questa parte qui e' giusta.
[tex]x_1(k) = r(kT_1)[/tex]
Ma questa e' sbagliata.
[tex]x_1(k) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty}r(nT_1)\delta(k-nT_1)[/tex]
la sequenza $x_1[n]$ NON e' fatta da tante Delta di Dirac.
La $x_1[n]$ e' fatta da valori, che sono quello che sono, semplicemente uguali alla funzione originale nell'istante in cui e' stata campionata. E' molto piu' semplice di quello che hai scritto tu.
[...]
Le Delta di Dirac non ci sono piu'.
[...]
La Delta di Dirac e' un'astrazione matematica, non esiste neanche nella realta', tanto meno in un microprocessore.
Attenzione, quelle che ho scritto io non sono delta di Dirac ma delta di Kronecker.
Lo puoi vedere dal fatto che ho utilizzato la variabile temporale discreta $\delta(k)$ e non continua $\delta(t)$.
Quelli che ottengo, quindi, sono proprio i valori come dici tu.
Chiarito questo, ti trovi che è corretto quel che ho scritto?
"Quinzio":
Cos'e' $R$, da dove viene ? Forse $R$ e' gia' la FT ?
Ok, ma non c'e' bisogno di passare per la FT, la DTFT ha gia' la sua definizione che si trova qui.
Ma se $r(t)$ è un segnale tempo continuo, $R$ deve per forza essere una FT, no?
"Quinzio":
Se $R$ e' la FT, non usa la frequenza unitaria $\nu$ ma usa la frequenza $f$ in Hertz.
Si, sono d'accordo.
"Quinzio":
Che senso ha $ \sum_{n = 0}^{T_1-1}$ ?
La sommatoria va da $0$ a ? un tempo ? ad esempio da 0 a 1 ms ? che senso ha ? Poi perche' il $-1$ ?
Su questo vorrei una tua conferma. Voglio capire se è un errore di battitura nel libro.
La DTFT di un pettine di delta $\tilde{\delta}(n)$ (tempo discreto) di periodo $N_0$ è:
Nota che la somma dei pettini ha bisogno solo di $N_0$ termini, al contrario se uso singole delta ne ho bisogno di infinite.
Sia ora $s(n)$ un segnale tempo discreto. Moltiplicando nel tempo $s(n)$ con $x(n)$ ottengo
$x(n)\cdot s(n) = s(n) \cdot \sum_{k = -\infty}^{+\infty} \delta(n-kN_0) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} s(n) \cdot \delta(n-kN_0)$
In frequenza ho la convoluzione:
$X(\nu) \ast S(\nu) = 1/N_0 \sum_{k = -\infty}^{+\infty} S(\nu) \ast \delta(\nu-k/N_0) = 1/N_0 \sum_{k = -\infty}^{+\infty} S(\nu-k/N_0)$
Questo è il campionamento nel tempo di un segnale tempo discreto, e la somma ha infiniti termini.
Il libro invece la riporta così
Sei d'accordo con me che il libro, magari per un copia e incolla erroneo, ha probabilmente tenuto la somma finita che proviene dal pettina di delta?
"Quinzio":
Quella che tu chiami proprietà di campionamento per la DTFT e' quella che tutti chiamano decimazione
Probabilmente il tuo libro o il tuo prof la chiamano proprietà di campionamento, ma mi sembra una scelta infelice.
No, no. La proprietà di decimazione viene riportata e dimostrata:
Tuttavia, la decimazione si effettua su segnali tempo discreto. Nella formula appena riportata, $x$ non può che essere tempo discreto. Nel mio caso ho $r(t)$ che è tempo continuo, dunque $r(kT_1)$ non è una decimazione.
"Quinzio":
Hai due strade per avere la DTFT.
1) Prendi la $r(t)$, la campioni, operazione molto molto semplice e ottieni la sequenza $x_1[n]$ , Poi fai la DTFT usando la definizione della DTFT.
Qua mi aggancio al discorso iniziale, sul fatto del perchè sia sbagliato esprimere $x_1(k)$ come somma di delta di Kronecker (la cui ampiezza è dettata dal segnale $r$ che sto campionando).
"DeltaEpsilon":
Attenzione, quelle che ho scritto io non sono delta di Dirac ma delta di Kronecker.
Lo puoi vedere dal fatto che ho utilizzato la variabile temporale discreta $\delta(k)$ e non continua $\delta(t)$.
Ti do una risposta alla volta altrimenti non ci si capisce nulla.
La delta di Kroneker si scrive cosi'.
https://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker_delta
$$\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}0&{\text{if }}i\neq j,\\1&{\text{if }}i=j.\end{cases}}$$
Non si scrive cosi: $\delta(k)$. Questa e' la delta di Dirac.
Capisco che i simboli sono arbitrari e ognuno potrebbe inventarsi i simboli che piacciono ad esso.
Pero' se ognuno inizia a farsi le sue convenzioni non ne usciamo piu'.
Siccome queste pagine sono pubbliche e io non conosco le tue convenzioni o quelle del tuo libro, direi che usiamo tutti le convenzioni delle pagine di Wikipedia in inglese. Altrimenti giriamo in tondo per sempre.
Poi, sempre come c'e' scritto nella pagina Wikipedia, la delta di Kroneker non deve necessariamente avere un pedice intero ma puo' anche essere reale. Dice che di solito vengono usati gli interi.
"DeltaEpsilon":
[quote="Quinzio"]
Che senso ha $ \sum_{n = 0}^{T_1-1}$ ?
La sommatoria va da $0$ a ? un tempo ? ad esempio da 0 a 1 ms ? che senso ha ? Poi perche' il $-1$ ?
Su questo vorrei una tua conferma. Voglio capire se è un errore di battitura nel libro.
[/quote]
Quella sommatoria con quegli indici non ha senso. $T_1$ e' un tempo e quindi $T_1 \in RR$. A meno che il tuo libro non dica che sono interi, ma mi sembra una cosa folle.
Trovami su una pagina internet pubblica una sommatoria dove si usano i reali o dove il tempo e' un intero.
"Quinzio":
[quote="DeltaEpsilon"]
Attenzione, quelle che ho scritto io non sono delta di Dirac ma delta di Kronecker.
Lo puoi vedere dal fatto che ho utilizzato la variabile temporale discreta $\delta(k)$ e non continua $\delta(t)$.
Ti do una risposta alla volta altrimenti non ci si capisce nulla.
La delta di Kroneker si scrive cosi'.
https://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker_delta
$$\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}0&{\text{if }}i\neq j,\\1&{\text{if }}i=j.\end{cases}}$$
Non si scrive cosi: $\delta(k)$. Questa e' la delta di Dirac.
Capisco che i simboli sono arbitrari e ognuno potrebbe inventarsi i simboli che piacciono ad esso.
Pero' se ognuno inizia a farsi le sue convenzioni non ne usciamo piu'.
Siccome queste pagine sono pubbliche e io non conosco le tue convenzioni o quelle del tuo libro, direi che usiamo tutti le convenzioni delle pagine di Wikipedia in inglese. Altrimenti giriamo in tondo per sempre.
Poi, sempre come c'e' scritto nella pagina Wikipedia, la delta di Kroneker non deve necessariamente avere un pedice intero ma puo' anche essere reale. Dice che di solito vengono usati gli interi.[/quote]
Il mio testo:
"DeltaEpsilon":
Questo è il campionamento nel tempo di un segnale tempo discreto, e la somma ha infiniti termini.
Il libro invece la riporta così
Sei d'accordo con me che il libro, magari per un copia e incolla erroneo, ha probabilmente tenuto la somma finita che proviene dal pettina di delta?
[quote="Quinzio"]
Quella che tu chiami proprietà di campionamento per la DTFT e' quella che tutti chiamano decimazione
Probabilmente il tuo libro o il tuo prof la chiamano proprietà di campionamento, ma mi sembra una scelta infelice.
No, no. La proprietà di decimazione viene riportata e dimostrata:
[/quote]
Quelle formule vanno bene, e $\delta$ indica la delta di Dirac.
Quello che mi traeva in inganno era che non l'ho mai vista chiamare "proprieta' del campionamento nel tempo di un segnale tempo discreto".
Per tutti si usa la proprieta' della moltiplicazione/convoluzione con un pettine di Dirac.
Se il tuo libro ne vuole fare una proprieta' a se stante, va bene.
Il problema di partenza era questo: comunque la chiami, non hai bisogno di quella cosa li per risolvere il tuo problema.
Non capisco perche' e dove la vuoi usare.
"DeltaEpsilon":
Qua mi aggancio al discorso iniziale, sul fatto del perchè sia sbagliato esprimere $x_1(k)$ come somma di delta di Kronecker (la cui ampiezza è dettata dal segnale $r$ che sto campionando).
Perche' la FT di una delta di Kroneker e' zero e' nulla. Anche del pettine di delta di Kroneker.
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