[Telecomunicazioni] Esercizio ricevitore
Salve. Sto cercando di risolvere il seguente esercizio:
Il segnale $x_1(k)$ si ottiene a valle del campionamento di $r(t)$ con passo $T_1$.
[tex]x_1(k) = r(kT_1) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty}r(nT_1)\delta(k-nT_1)[/tex]
La DTFT sarà
$X_1(\nu) = 1/T_1 \sum_{n = 0}^{T_1-1}R(\nu - n/T_1)$
e a valle del mixing si avrà
$X_2(\nu) = \beta /2 X_1(\nu - T_2) + \beta /2 X_1(\nu + T_2)$
Dal filtro passabasso, infine, fuoriesce il segnale
$X_3(\nu) = \text{rect}(\frac{\nu}{2f_3})X_2(\nu)$ dove chiaramente $f_3 = 1/T_3$.
La traccia dunque chiede di trovare i parametri $T_1$, $T_2$, $T_3$ e $\beta$ tali per cui lo spettro d'ampiezza $|X_3(\nu)|$ sia uguale allo spettro d'ampiezza del segnale, chiamiamolo $s(k)$, ottenuto campionando $w(t)$ con passo $T_1$.
Effettuando tale campionamento si ottiene
$s(k) = w(kT_1) =\sum_{n = -\infty}^{+\infty}w(nT_1)\delta(k-nT_1)$
la cui DTFT è
$S(\nu) = 1/T_1 \sum_{n = 0}^{T_1-1}W(\nu - n/T_1)$.
A questo punto mi chiedo come dovrei procedere per trovare i parametri richiesti.
Non sono sicuro che procedere per via analitica sia la strada migliore, ma anche se fosse vorrei capire come continuare in questa maniera. Anche perchè per via grafica non sembra essere una passeggiata.
Qualche consiglio?
Il segnale $x_1(k)$ si ottiene a valle del campionamento di $r(t)$ con passo $T_1$.
[tex]x_1(k) = r(kT_1) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty}r(nT_1)\delta(k-nT_1)[/tex]
La DTFT sarà
$X_1(\nu) = 1/T_1 \sum_{n = 0}^{T_1-1}R(\nu - n/T_1)$
e a valle del mixing si avrà
$X_2(\nu) = \beta /2 X_1(\nu - T_2) + \beta /2 X_1(\nu + T_2)$
Dal filtro passabasso, infine, fuoriesce il segnale
$X_3(\nu) = \text{rect}(\frac{\nu}{2f_3})X_2(\nu)$ dove chiaramente $f_3 = 1/T_3$.
La traccia dunque chiede di trovare i parametri $T_1$, $T_2$, $T_3$ e $\beta$ tali per cui lo spettro d'ampiezza $|X_3(\nu)|$ sia uguale allo spettro d'ampiezza del segnale, chiamiamolo $s(k)$, ottenuto campionando $w(t)$ con passo $T_1$.
Effettuando tale campionamento si ottiene
$s(k) = w(kT_1) =\sum_{n = -\infty}^{+\infty}w(nT_1)\delta(k-nT_1)$
la cui DTFT è
$S(\nu) = 1/T_1 \sum_{n = 0}^{T_1-1}W(\nu - n/T_1)$.
A questo punto mi chiedo come dovrei procedere per trovare i parametri richiesti.
Non sono sicuro che procedere per via analitica sia la strada migliore, ma anche se fosse vorrei capire come continuare in questa maniera. Anche perchè per via grafica non sembra essere una passeggiata.
Qualche consiglio?
Risposte
"Quinzio":
Quindi la domanda non e': dove e perché entrerebbe in gioco la DTFT?
ma piuttosto: dove e perché entrerebbe in gioco la FT?
E' la DTFT e le sue sorelle la DFT e la FFT che la fanno da padrona nel mondo dell'ingegneria e dei microprocessori.
La FT non esiste, e' una astrazione matematica. Che va capita e studiata, ma poi va messa in un angolo.
Lo so bene
La domanda era dove entra in gioco la DTFT in questo esercizio, non a che servirà mai la DTFT nel mondo
"Quinzio":
Io lo so che tu vuoi usare la FT per risolvere quest'esercizio.
Hai capito che si puo' risolvere con la FT, per cui perche' impegolarsi con la DTFT ?
Io non è che voglio usare la FT. Se ci pensi è il contrario, voglio capire come fare per non usarla.
Ho un segnale tempo discreto ma non so come calcorarne la DTFT perché compare un segnale tempo continuo nell'espressione.
Speriamo che sia chiaro
Ti ringrazio davvero, ma tutto quello schema mi era già chiaro da prima.
La cosa che continuo a non capire è l'ultima freccia in basso: colleghi $s[n]$ a cosa?
Sembra essere a metà strada tra $Y(f)$ e $Y(\nu)$.
Essendo un segnale tempo discreto a cui applico la DTFT, deve necessariamente produrre $Y(\nu)$, no?
La cosa che continuo a non capire è l'ultima freccia in basso: colleghi $s[n]$ a cosa?
Sembra essere a metà strada tra $Y(f)$ e $Y(\nu)$.
Essendo un segnale tempo discreto a cui applico la DTFT, deve necessariamente produrre $Y(\nu)$, no?
"DeltaEpsilon":
Ti ringrazio davvero, ma tutto quello schema mi era già chiaro da prima.
La cosa che continuo a non capire è l'ultima freccia in basso: colleghi $s[n]$ a cosa?
E' uno schema un po' ambiguo. Come il libro del prof.
Sembra essere a metà strada tra $Y(f)$ e $Y(\nu)$.
Essendo un segnale tempo discreto a cui applico la DTFT, deve necessariamente produrre $Y(\nu)$, no?
No. Dipende da come fai la trasformata.
"Quinzio":
[quote="DeltaEpsilon"]
Essendo un segnale tempo discreto a cui applico la DTFT, deve necessariamente produrre $Y(\nu)$, no?
No. Dipende da come fai la trasformata.[/quote]
Eh? Ma in che senso...
La FT lavora su segnali tempo continuo calcolando un integrale con fasori a tempo continuo.
Che significa ottenere una FT da un segnale tempo discreto?
Nel tuo schema, $s[n]$ equivale al mio $x_1[k]$. Si tratta di un segnale tempo discreto poichè formato da delta di Kronecker la cui ampiezza è però data dal valore che assume un segnale tempo continuo in determinati punti.
Ma è pur sempre un segnale puramente tempo discreto, quindi va applicata la DTFT.
Quello che vorrei capire è come calcolarla analiticamente...
"DeltaEpsilon":
[quote="Quinzio"][quote="DeltaEpsilon"]
Essendo un segnale tempo discreto a cui applico la DTFT, deve necessariamente produrre $Y(\nu)$, no?
No. Dipende da come fai la trasformata.[/quote]
Eh? Ma in che senso...
La FT lavora su segnali tempo continuo calcolando un integrale con fasori a tempo continuo.
Che significa ottenere una FT da un segnale tempo discreto?
[/quote]
Che puoi sempre applicare un fattore di scala alla frequenza.
Nel tuo schema, $s[n]$ equivale al mio $x_1[k]$. Si tratta di un segnale tempo discreto poichè formato da delta di Kronecker la cui ampiezza è però data dal valore che assume un segnale tempo continuo in determinati punti.
Ma è pur sempre un segnale puramente tempo discreto, quindi va applicata la DTFT.
Quello che vorrei capire è come calcolarla analiticamente...[
Con la formula per la DTFT.
"Quinzio":
[quote="DeltaEpsilon"]
La FT lavora su segnali tempo continuo calcolando un integrale con fasori a tempo continuo.
Che significa ottenere una FT da un segnale tempo discreto?
Che puoi sempre applicare un fattore di scala alla frequenza.
[/quote]
Ma la DTFT è periodica, la FT non è detto. Come può essere una mera questione di cambionamento di scala?
Vale solo quando campiono nel tempo?
"Quinzio":
[quote="DeltaEpsilon"]
Quello che vorrei capire è come calcolarla analiticamente...
Con la formula per la DTFT.[/quote]
Senza applicare alcuna proprietà, mediante la definizione?
Non saprei da dove cominciare
*
In parallelo, volevo comunque discutere anche di un'altra cosa.
Supponendo di utilzzare solo la FT: una volta ottenuto $X_1(f)$, come applico la proprietà di modulazione con quella sinusoide tempo discreto? Nei post precedenti abbiamo discusso su come risalire alla frequenza della cosinusoide "originale", ma resta il fatto che non conosco il passo di campionamento con cui si è ottenuto $cos(2\pi k T_2)$. Come si procederebbe in questo caso?
"DeltaEpsilon":
[quote="Quinzio"][quote="DeltaEpsilon"]
La FT lavora su segnali tempo continuo calcolando un integrale con fasori a tempo continuo.
Che significa ottenere una FT da un segnale tempo discreto?
Che puoi sempre applicare un fattore di scala alla frequenza.
[/quote]
Ma la DTFT è periodica, la FT non è detto. Come può essere una mera questione di cambionamento di scala?
Vale solo quando campiono nel tempo?
[/quote]
Vale sempre. https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform prop 104
"Quinzio":
[quote="DeltaEpsilon"]
Quello che vorrei capire è come calcolarla analiticamente...
Con la formula per la DTFT.
Senza applicare alcuna proprietà, mediante la definizione?
Non saprei da dove cominciare
[/quote]Avevi scritto analiticamente.... altrimenti usa le trasformate gia' calcolate.
*
In parallelo, volevo comunque discutere anche di un'altra cosa.
Supponendo di utilzzare solo la FT: una volta ottenuto $X_1(f)$, come applico la proprietà di modulazione con quella sinusoide tempo discreto?
Di fatto la modulazione e' una moltiplicazione.
Nei post precedenti abbiamo discusso su come risalire alla frequenza della cosinusoide "originale", ma resta il fatto che non conosco il passo di campionamento con cui si è ottenuto $cos(2\pi k T_2)$. Come si procederebbe in questo caso?
Il passo di campionamento e' $T_1$.
"Quinzio":
[quote="DeltaEpsilon"]
Ma la DTFT è periodica, la FT non è detto. Come può essere una mera questione di cambionamento di scala?
Vale solo quando campiono nel tempo?
Vale sempre. https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform prop 104
[/quote]
Non mi riferivo alla proprietà del cambiamento di scala della trasformata di Fourier.
Sto parlando del fatto che la DTFT è sempre periodica, la FT no.
Come posso trasformare una FT in una DTFT con un mero cambiamento di scala?
"Quinzio":Avevi scritto analiticamente.... altrimenti usa le trasformate gia' calcolate.[/quote]
[quote="DeltaEpsilon"]
Senza applicare alcuna proprietà, mediante la definizione?
Per "analiticamente" intendo passaggi algebrici, senza passare per via grafica.
"Quinzio":
[quote="DeltaEpsilon"]
Supponendo di utilzzare solo la FT: una volta ottenuto $X_1(f)$, come applico la proprietà di modulazione con quella sinusoide tempo discreto?
Di fatto la modulazione e' una moltiplicazione.
[/quote]
Ma non posso applicare la proprietà di modulazione della FT perchè quel coseno è tempo discreto, no?
"Quinzio":
Il passo di campionamento e' $T_1$.
Quello è il passo di campionamento di $r(t)$. Perchè mai dovrebbe coincidere con il passo di campionamento di quel coseno?
"DeltaEpsilon":
[quote="Quinzio"][quote="DeltaEpsilon"]
Ma la DTFT è periodica, la FT non è detto. Come può essere una mera questione di cambionamento di scala?
Vale solo quando campiono nel tempo?
Vale sempre. https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform prop 104
[/quote]
Non mi riferivo alla proprietà del cambiamento di scala della trasformata di Fourier.
Sto parlando del fatto che la DTFT è sempre periodica, la FT no.
Come posso trasformare una FT in una DTFT con un mero cambiamento di scala?
[/quote]
Non puoi. Io mi riferivo al mero passaggio tra la frequenza unitaria e non.
"Quinzio":Avevi scritto analiticamente.... altrimenti usa le trasformate gia' calcolate.
[quote="DeltaEpsilon"]
Senza applicare alcuna proprietà, mediante la definizione?
Per "analiticamente" intendo passaggi algebrici, senza passare per via grafica.
[/quote]
Puoi usare tutto quello che trovi nelle tabelle di questa pagina.
https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform
"Quinzio":
[quote="DeltaEpsilon"]
Supponendo di utilzzare solo la FT: una volta ottenuto $X_1(f)$, come applico la proprietà di modulazione con quella sinusoide tempo discreto?
Di fatto la modulazione e' una moltiplicazione.
Ma non posso applicare la proprietà di modulazione della FT perchè quel coseno è tempo discreto, no?
[/quote]
Effettui la conversione inversa: da tempo discreto a tempo continuo.
"Quinzio":
Il passo di campionamento e' $T_1$.
Quello è il passo di campionamento di $r(t)$. Perchè mai dovrebbe coincidere con il passo di campionamento di quel coseno?
Essenzialmente perche' cosi' e' piu' semplice...
"Quinzio":
[quote="DeltaEpsilon"]
Come posso trasformare una FT in una DTFT con un mero cambiamento di scala?
Non puoi. Io mi riferivo al mero passaggio tra la frequenza unitaria e non.
[/quote]
Eh appunto. La cosa che non riesco a capire da giorni è come calcolare la DTFT di $x_1(k)$. Cosa me ne faccio di una FT con frequenza normalizzata?
"Quinzio":
[quote="DeltaEpsilon"]
Quello è il passo di campionamento di $r(t)$. Perchè mai dovrebbe coincidere con il passo di campionamento di quel coseno?
Essenzialmente perche' cosi' e' piu' semplice...[/quote]
Quindi è una solo una semplificazione, un'assunzione... ma non è detto sia vero...
"DeltaEpsilon":
[quote="Quinzio"][quote="DeltaEpsilon"]
Come posso trasformare una FT in una DTFT con un mero cambiamento di scala?
Non puoi. Io mi riferivo al mero passaggio tra la frequenza unitaria e non.
[/quote]
Eh appunto. La cosa che non riesco a capire da giorni è come calcolare la DTFT di $x_1(k)$.
[/quote]
In realta' l'hai gia' colcolata nel tuo post del 04 nov 2024 22:45.
L'unico errore sta negli estremi della sommatoria.
Cosa me ne faccio di una FT con frequenza normalizzata?
Puoi ad esempio calcolare la corrispondente DTFT.
"Quinzio":
[quote="DeltaEpsilon"]
Quello è il passo di campionamento di $r(t)$. Perchè mai dovrebbe coincidere con il passo di campionamento di quel coseno?
Essenzialmente perche' cosi' e' piu' semplice...
Quindi è una solo una semplificazione, un'assunzione... ma non è detto sia vero...[/quote]
Il testo non ce lo dice. Quindi siamo liberi di fare le nostre assunzioni.
In mancanza di altri vincoli, si sceglie l'opzione piu' semplice (principo del "rasoio di Occam").
"Quinzio":
[quote="DeltaEpsilon"]
Eh appunto. La cosa che non riesco a capire da giorni è come calcolare la DTFT di $x_1(k)$.
In realta' l'hai gia' colcolata nel tuo post del 04 nov 2024 22:45.
L'unico errore sta negli estremi della sommatoria.
[/quote]
Gli estremi della sommatoria sono quelli perchè avevo erroneamente applicato la proprietà di campionamento nel tempo di un segnale tempo discreto per la DTFT.
Se estendo la somma all'infinito, ottengo nient'altro che la proprietà di campionamento nel tempo di un segnale tempo continuo per la FT. Quindi ciò che ottengo è una FT $X_1(f)$.
Ora tu mi dici "normalizza la frequenza"... e ok, posso anche farlo. Ma resta pur sempre una FT, non una DTFT.
Quello che non riesco a capire è perchè dici che normalizzando la frequenza della FT ottengo la "corrispondente DTFT". Non capisco il legame...
[ot]
"Quinzio":
In mancanza di altri vincoli, si sceglie l'opzione piu' semplice (principo del "rasoio di Occam").
Incredibile coincidenza: sono venuto a conoscenza di questo "rasoio di Occam" solo qualche giorno fa
[/ot]
"DeltaEpsilon":
[quote="Quinzio"][quote="DeltaEpsilon"]
Eh appunto. La cosa che non riesco a capire da giorni è come calcolare la DTFT di $x_1(k)$.
In realta' l'hai gia' colcolata nel tuo post del 04 nov 2024 22:45.
L'unico errore sta negli estremi della sommatoria.
[/quote]
Gli estremi della sommatoria sono quelli perchè avevo erroneamente applicato la proprietà di campionamento nel tempo di un segnale tempo discreto per la DTFT.
[/quote]
No. E' comunque sbagliata.
Se estendo la somma all'infinito, ottengo nient'altro che la proprietà di campionamento nel tempo di un segnale tempo continuo per la FT. Quindi ciò che ottengo è una FT $X_1(f)$.
No. Ottieni la DTFT di $x_1[k]$
Ora tu mi dici "normalizza la frequenza"... e ok, posso anche farlo. Ma resta pur sempre una FT, non una DTFT.
Quello che non riesco a capire è perchè dici che normalizzando la frequenza della FT ottengo la "corrispondente DTFT". Non capisco il legame...
Infatti non ho detto questo. Non ho detto nulla del genere.
[ot]"Quinzio":
In mancanza di altri vincoli, si sceglie l'opzione piu' semplice (principo del "rasoio di Occam").
Incredibile coincidenza: sono venuto a conoscenza di questo "rasoio di Occam" solo qualche giorno fa
Bene....
"Quinzio":
[quote="DeltaEpsilon"]
Gli estremi della sommatoria sono quelli perchè avevo erroneamente applicato la proprietà di campionamento nel tempo di un segnale tempo discreto per la DTFT.
No. E' comunque sbagliata.
[/quote]
Ma perché?
La proprietà di campionamento nel tempo di un segnale tempo discreto per la DTFT è proprio quella.
Lasciamo stare che è stata applicata male, perchè $r$ è tempo continuo. Ma se fosse tempo discreto, si avrebbe quell'espressione lì, no? Almeno così dice il formulario, poi non lo so.
"Quinzio":
[quote="DeltaEpsilon"]
Se estendo la somma all'infinito, ottengo nient'altro che la proprietà di campionamento nel tempo di un segnale tempo continuo per la FT. Quindi ciò che ottengo è una FT $X_1(f)$.
No. Ottieni la DTFT di $x_1[k]$
[/quote]
Stiamo facendo il giro intorno sempre allo stesso discorso, non se ne esce.
Quando campiono $r$ ottengo il campionamento di un segnale tempo continuo, che è una proprietà della FT non della DTFT. La proprietà di campionamento nel tempo di un segnale tempo discreto non posso applicarla perchè $r$ non è tempo discreto.
"Quinzio":
[quote="DeltaEpsilon"]
Ora tu mi dici "normalizza la frequenza"... e ok, posso anche farlo. Ma resta pur sempre una FT, non una DTFT.
Quello che non riesco a capire è perchè dici che normalizzando la frequenza della FT ottengo la "corrispondente DTFT". Non capisco il legame...
Infatti non ho detto questo. Non ho detto nulla del genere.
[/quote]
Scusa e allora questo cosa vuol dire:
"Quinzio":
[quote="DeltaEpsilon"]
Cosa me ne faccio di una FT con frequenza normalizzata?
Puoi ad esempio calcolare la corrispondente DTFT.
[/quote]
Come? Potresti elaborare?
"DeltaEpsilon":
[quote="Quinzio"][quote="DeltaEpsilon"]
Gli estremi della sommatoria sono quelli perchè avevo erroneamente applicato la proprietà di campionamento nel tempo di un segnale tempo discreto per la DTFT.
No. E' comunque sbagliata.
[/quote]
Ma perché?
La proprietà di campionamento nel tempo di un segnale tempo discreto per la DTFT è proprio quella.
Lasciamo stare che è stata applicata male, perchè $r$ è tempo continuo. Ma se fosse tempo discreto, si avrebbe quell'espressione lì, no? Almeno così dice il formulario, poi non lo so.
[/quote]
Io vorrei capire dove e perche' tu vuoi fare un campionamento di un segnale a tempo discreto.
Abbiamo: il segnale $r(t)$ il campionatore, il segnale $x_1[n]$, il moltiplicatore, $x_2[n]$, il filtro, da cui esce $x_3[n]$.
In quale punto e perche' vuoi fare un campionamento a tempo discreto ?
"Quinzio":
Io vorrei capire dove e perche' tu vuoi fare un campionamento di un segnale a tempo discreto.
In quale punto e perche' vuoi fare un campionamento a tempo discreto ?
Io non voglio fare nessun campionamento tempo discreto.
Ti stavo solo rispondendo da dove venivano fuori quegli estremi della sommatoria.
Io voglio capire come ottenere la DTFT di $x_1(k)$, che è un segnale formato da tanti impulsi di Kronecker con ampiezza dettata dal valore assunto da $r$ nei vari istanti di campionamento.
Applicare la FT per ottenere $X_1(f)$ e poi normalizzare la frequenza non riesco a capire cosa abbia a che fare con la DTFT.
"DeltaEpsilon":
Io voglio capire come ottenere la DTFT di $x_1(k)$,
https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete- ... _transform
In questa pagina hai tutto quello che ti serve.
Definizioni, proprieta', relazione con la FT.
che è un segnale formato da tanti impulsi di Kronecker con ampiezza dettata dal valore assunto da $r$ nei vari istanti di campionamento.
Di nuovo imprecisione che porta a confusione.
La delta di Kroneker NON e' un impulso.
La delta di Dirac invece e' anche un impulso (ideale) che non esiste nel mondo fisico.
La delta di Kroneker e' un tensore $\delta_{ij}$ che e' viene usato quasi esclusivamente con gli indici interi.
Anche se non e' sbagliato definire "... un segnale formato da tante delta di Kronecker ..." e' totalmente inutile.
E' come dire che un numero $x$ e' il risultato di $x+1-1$. Va bene, ma a che serve ?
Applicare la FT per ottenere $X_1(f)$ e poi normalizzare la frequenza non riesco a capire cosa abbia a che fare con la DTFT.
Puo' servire perche' la DTFT e' periodica di periodo 1 e quindi se vuoi sommare alla FT le sue repliche (per fare la DTFT) prima devi riscalare la FT a frequenza unitaria.
[ot]Per altri impegni ho dovuto accantonare l'esercizio momentaneamente.[/ot]
Ho tentato di procedere nel modo seguente:
A valle della modulazione, lo spettro $X_2(\nu)$ assume quella forma, ovvero è composto dalla somma $\beta/2X_1(\nu-T_2)+\beta/2X_1(\nu+T_2)$.
Lo spettro $X_3(\nu)$ è semplicemente lo spettro $X_2(\nu)$ filtrato con un LPF a frequenza di cut-off $f_3 = 1/T_3$.
Lo spettro $S(\nu)$ è quello che $X_3(\nu)$ dovrebbe diventare con valori opportuni dei parametri $T_1$, $T_2$, $T_3$ e $\beta$. La traccia infatti dice di trovare i valori dei parametri tali per cui lo spettro $X_3(\nu)$ sia uguale allo spettro del segnale che si ottiene campionando $w(t)$ con passo $T_1$, e questo spettro l'ho chiamato $S(\nu)$.
Tuttavia, per via della modulazione, le repliche nello spettro $X_2(\nu)$ appaiono traslate rispetto all'origine degli assi, mentre lo spettro $S(\nu)$ contiene una replica proprio nell'origine.
A patto che abbia fatto bene i conti, è corretto allora dire che $T_2$ dovrebbe essere zero?
Ho tentato di procedere nel modo seguente:
A valle della modulazione, lo spettro $X_2(\nu)$ assume quella forma, ovvero è composto dalla somma $\beta/2X_1(\nu-T_2)+\beta/2X_1(\nu+T_2)$.
Lo spettro $X_3(\nu)$ è semplicemente lo spettro $X_2(\nu)$ filtrato con un LPF a frequenza di cut-off $f_3 = 1/T_3$.
Lo spettro $S(\nu)$ è quello che $X_3(\nu)$ dovrebbe diventare con valori opportuni dei parametri $T_1$, $T_2$, $T_3$ e $\beta$. La traccia infatti dice di trovare i valori dei parametri tali per cui lo spettro $X_3(\nu)$ sia uguale allo spettro del segnale che si ottiene campionando $w(t)$ con passo $T_1$, e questo spettro l'ho chiamato $S(\nu)$.
Tuttavia, per via della modulazione, le repliche nello spettro $X_2(\nu)$ appaiono traslate rispetto all'origine degli assi, mentre lo spettro $S(\nu)$ contiene una replica proprio nell'origine.
A patto che abbia fatto bene i conti, è corretto allora dire che $T_2$ dovrebbe essere zero?
"DeltaEpsilon":
A valle della modulazione, lo spettro $X_2(\nu)$ assume quella forma, ovvero è composto dalla somma $\beta/2X_1(\nu-T_2)+\beta/2X_1(\nu+T_2)$.
Fai la somma di un tempo con una frequenza normalizzata ?
Capisco che anche l'esercizio sia scritto male, ma potresti chiarire.
Lo spettro $X_3(\nu)$ è semplicemente lo spettro $X_2(\nu)$ filtrato con un LPF a frequenza di cut-off $f_3 = 1/T_3$.
Non va bene, anche lo spettro del filtro ha le repliche periodiche in frequenza.
Non sei piu' in tempo continuo, sei in tempo discreto, tutti gli spettri di qualsiasi cosa sono periodici, hanno le repliche.
$S(\nu)$ cosa sarebbe ?
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