[Telecomunicazioni] Esercizio ricevitore
Salve. Sto cercando di risolvere il seguente esercizio:
Il segnale $x_1(k)$ si ottiene a valle del campionamento di $r(t)$ con passo $T_1$.
[tex]x_1(k) = r(kT_1) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty}r(nT_1)\delta(k-nT_1)[/tex]
La DTFT sarà
$X_1(\nu) = 1/T_1 \sum_{n = 0}^{T_1-1}R(\nu - n/T_1)$
e a valle del mixing si avrà
$X_2(\nu) = \beta /2 X_1(\nu - T_2) + \beta /2 X_1(\nu + T_2)$
Dal filtro passabasso, infine, fuoriesce il segnale
$X_3(\nu) = \text{rect}(\frac{\nu}{2f_3})X_2(\nu)$ dove chiaramente $f_3 = 1/T_3$.
La traccia dunque chiede di trovare i parametri $T_1$, $T_2$, $T_3$ e $\beta$ tali per cui lo spettro d'ampiezza $|X_3(\nu)|$ sia uguale allo spettro d'ampiezza del segnale, chiamiamolo $s(k)$, ottenuto campionando $w(t)$ con passo $T_1$.
Effettuando tale campionamento si ottiene
$s(k) = w(kT_1) =\sum_{n = -\infty}^{+\infty}w(nT_1)\delta(k-nT_1)$
la cui DTFT è
$S(\nu) = 1/T_1 \sum_{n = 0}^{T_1-1}W(\nu - n/T_1)$.
A questo punto mi chiedo come dovrei procedere per trovare i parametri richiesti.
Non sono sicuro che procedere per via analitica sia la strada migliore, ma anche se fosse vorrei capire come continuare in questa maniera. Anche perchè per via grafica non sembra essere una passeggiata.
Qualche consiglio?
Il segnale $x_1(k)$ si ottiene a valle del campionamento di $r(t)$ con passo $T_1$.
[tex]x_1(k) = r(kT_1) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty}r(nT_1)\delta(k-nT_1)[/tex]
La DTFT sarà
$X_1(\nu) = 1/T_1 \sum_{n = 0}^{T_1-1}R(\nu - n/T_1)$
e a valle del mixing si avrà
$X_2(\nu) = \beta /2 X_1(\nu - T_2) + \beta /2 X_1(\nu + T_2)$
Dal filtro passabasso, infine, fuoriesce il segnale
$X_3(\nu) = \text{rect}(\frac{\nu}{2f_3})X_2(\nu)$ dove chiaramente $f_3 = 1/T_3$.
La traccia dunque chiede di trovare i parametri $T_1$, $T_2$, $T_3$ e $\beta$ tali per cui lo spettro d'ampiezza $|X_3(\nu)|$ sia uguale allo spettro d'ampiezza del segnale, chiamiamolo $s(k)$, ottenuto campionando $w(t)$ con passo $T_1$.
Effettuando tale campionamento si ottiene
$s(k) = w(kT_1) =\sum_{n = -\infty}^{+\infty}w(nT_1)\delta(k-nT_1)$
la cui DTFT è
$S(\nu) = 1/T_1 \sum_{n = 0}^{T_1-1}W(\nu - n/T_1)$.
A questo punto mi chiedo come dovrei procedere per trovare i parametri richiesti.
Non sono sicuro che procedere per via analitica sia la strada migliore, ma anche se fosse vorrei capire come continuare in questa maniera. Anche perchè per via grafica non sembra essere una passeggiata.
Qualche consiglio?
Risposte
"DeltaEpsilon":
Il mio testo:
Va bene ne prendo atto.
Mi sembra la prima volta che la vedo scritta cosi'.
Inoltre nel mondo del digital signal processing le parentesi quadre sono per i segnali discreti, quelle tonde per i segnali a tempo continuo.
Ma poi veramente, definire la delta di Kroneker come differenziale del gradino mi sembra davvero pacchiano, con il simbolo Del addirittura.
Ripeto, mi sembra molto pericoloso che ognuno usi i suoi simbolismi.
Come se la materia non fosse gia' abbastanza ostica di per se.
Titolo e autore del libro ? Cosi' per sapere di cosa stiamo parlando.
"Quinzio":
Va bene ne prendo atto.
Mi sembra la prima volta che la vedo scritta cosi'.
Titolo e autore del libro ? Cosi' per sapere di cosa stiamo parlando.
Il testo è "Gelli, Verde - Segnali e Sistemi" ed è scritto in maniera superba a mio parere.
Anche un'altra professoressa di tutto rispetto utilizza la stessa convenzione nei suoi appunti:
E comunque girando online non la vedo una cosa così poco comune: https://eng.libretexts.org/Bookshelves/Electrical_Engineering/Signal_Processing_and_Modeling/Signals_and_Systems_(Baraniuk_et_al.)/01%3A_Introduction_to_Signals/1.07%3A_Discrete_Time_Impulse_Function
"Quinzio":
Ma poi veramente, definire la delta di Kroneker come differenziale del gradino mi sembra davvero pacchiano, con il simbolo Del addirittura.
Perché?
"Quinzio":
Quelle formule vanno bene
Quello che mi traeva in inganno era che non l'ho mai vista chiamare "proprieta' del campionamento nel tempo di un segnale tempo discreto".
Quindi è giusto che quella somma vada da $0$ a $N_0-1$? Cosa c'è di sbagliato nella mia derivazione della stessa formula?
E comunque no, non voglio usarla.
"DeltaEpsilon":
E comunque girando online non la vedo una cosa così poco comune: https://eng.libretexts.org/Bookshelves/Electrical_Engineering/Signal_Processing_and_Modeling/Signals_and_Systems_(Baraniuk_et_al.)/01%3A_Introduction_to_Signals/1.07%3A_Discrete_Time_Impulse_Function
Si ma nel sito LibreText usano le parentesi quadre $\delta [n]$.
Questa e' la convenzione che ho sempre visto.
Parentesi tonde, tempo continuo.
Parentesi quadre, tempo discreto, indice intero.
Il prof Gelli usa lo stesso simbolo con parentesi tonde per entrambe le delta.
La lettera usata per la variabile non e' indicativa, $t$ per il tempo continuo e $n$ per gli interi
Se uso $k, y$ come variabile, cos'e' ? Un intero ? Mah...
Il risultato di questa ambiguita' e' che tu pensavi che in quelle formule fossero usate della delta di Kroneker mentre invece sono delta di Dirac.
Non male per creare confusione no ?
"Quinzio":
Ma poi veramente, definire la delta di Kroneker come differenziale del gradino mi sembra davvero pacchiano, con il simbolo Del addirittura.
Perché?
Perche' non e' necessaria e confonde le idee.. Non basta scrivere che vale 1 se n=0 e zero altrove ?
"Quinzio":
Si ma nel sito LibreText usano le parentesi quadre $\delta [n]$.
Questa e' la convenzione che ho sempre visto.
Parentesi tonde, tempo continuo.
Parentesi quadre, tempo discreto, indice intero.
Il prof Gelli usa lo stesso simbolo con parentesi tonde per entrambe le delta.
Dico la verità, io ho visto usare entrambe le convenzioni.
Perdipiù, ho sempre visto usare $t$ nel continuo e $n$ o $k$ nel discreto.
"Quinzio":
tu pensavi che in quelle formule fossero usate della delta di Kroneker mentre invece sono delta di Dirac.
Non male per creare confusione no ?
Guarda, il testo usa SEMPRE $n$ nel discreto.
Sono certo che quelle delta siano di Kronecker, impulsi discreti. Perchè sostieni il contrario?
"Quinzio":
Perche' non e' necessaria e confonde le idee.. Non basta scrivere che vale 1 se n=0 e zero altrove ?
A mio parere, è interessante perchè evidenzia il parallelo con la derivata (nel senso delle distribuzioni) del gradino nel tempo continuo.
La confusione che genera questa formula e' impressionante.
Comunque l'ho trovata
https://www.docenti.unina.it/webdocenti ... ico/548272
1.8.2 - 16 Trasformata di Fourier a TD: definizioni, proprietà e trasformate notevoli
La confusione viene dal fatto che usa le parentesi tonde, pero' il titolo dice TD, quindi si desume che sia tempo discreto.
L'altra confusione viene da quel FT scritto sopra alla freccia.
Allora, la FT di una sequenza a tempo discreto e' zero...
Al posto di quel FT andava scritto DTFT come farebbe il resto del mondo.
Vedi che nella definizione usa quella della DTFT, poi sopra alla freccia scrive FT.
Bravo.
Dal contesto si capisce cosa sta facendo, ma bisogna vederlo questo contesto. Adesso e' piu' chiaro.
"DeltaEpsilon":
[quote="Quinzio"]
Si ma nel sito LibreText usano le parentesi quadre $\delta [n]$.
Questa e' la convenzione che ho sempre visto.
Parentesi tonde, tempo continuo.
Parentesi quadre, tempo discreto, indice intero.
Il prof Gelli usa lo stesso simbolo con parentesi tonde per entrambe le delta.
Dico la verità, io ho visto usare entrambe le convenzioni.
Perdipiù, ho sempre visto usare $t$ nel continuo e $n$ o $k$ nel discreto.
[/quote]
https://dsp.stackexchange.com/questions ... e-brackets
Direi che eravamo parecchio sfasati. [nota]Non lo ripeto sotto ogni messaggio, ma apprezzo tanto e ringrazio sempre per il tempo dedicato.[/nota]
Sono contento che adesso siamo sulla stessa $\lambda = c/f$
Ora che è più chiaro il contesto e le notazioni, ricominciamo da questo:
Sono contento che adesso siamo sulla stessa $\lambda = c/f$
Ora che è più chiaro il contesto e le notazioni, ricominciamo da questo:
Su questo vorrei una tua conferma. Voglio capire se è un errore di battitura nel libro.
La DTFT di un pettine di delta $\tilde{\delta}(n)$ (tempo discreto) di periodo $N_0$ è:
Nota che la somma dei pettini ha bisogno solo di $N_0$ termini, al contrario se uso singole delta ne ho bisogno di infinite.
Sia ora $s(n)$ un segnale tempo discreto. Moltiplicando nel tempo $s(n)$ con $x(n)$ ottengo
$x(n)\cdot s(n) = s(n) \cdot \sum_{k = -\infty}^{+\infty} \delta(n-kN_0)$
In frequenza ho la convoluzione:
$X(\nu) \ast S(\nu) = S(\nu) \ast1/N_0 \sum_{k = -\infty}^{+\infty} \delta(\nu-k/N_0) = 1/N_0 \sum_{k = -\infty}^{+\infty} S(\nu-k/N_0)$
Questo è il campionamento nel tempo di un segnale tempo discreto, e la somma ha infiniti termini.
Il libro invece la riporta così
Sei d'accordo con me che il libro, magari per un copia e incolla erroneo, ha probabilmente tenuto la somma finita che proviene dal pettina di delta?
"DeltaEpsilon":
Sei d'accordo con me che il libro, magari per un copia e incolla erroneo, ha probabilmente tenuto la somma finita che proviene dal pettina di delta?
Direi che la formula e' corretta, nell'ambito della DTFT.
Puoi fare tu stesso la prova con alcuni semplici esempi.
Ad es prendi $x[n] = cos ( \pi /50 n)$ e trovi la DTFT di $x[n]$.
Poi tramite la proprieta' e $N_0 = 5$ ti calcoli la nuova DTFT.
Poi fai la trasformata inversa e devi ritrovare la $x[n]$ ma i campioni che hanno indice $n$ che non e' multiplo di $5$ devono essere a $0$.
Si fa presto, non e' complicato.
Capisco il motivo di avere la somma per $k$ tra $0$ e $N_0-1$ in quella proprietà, e mi ricollego all'esercizio che mi hai fornito per spiegarmi:
La $Y(\nu)$ che ho calcolato è composta da 5 pettini discreti, che sono periodici di periodo 1.
Questo vuol dire che, se considero ad esempio il primo pettine centrato in $1/100$, il prossimo impulso lo genera in $1/100+1 = 101/100$.
Se invece di arrestare la somma a $k = 5-1 = 4$ considerassi un termine in più, vorrebbe dire considerare un altro pettine di delta, e questo verrebbe centrato proprio alla frequenza $101/100$ andando a sommarsi con il primo pettine (che si è ottenuto per $k = 0$), il che sarebbe sbagliato.
Lo stesso discorso deve valere nel momento in cui cerco di dimostrare la proprietà di campionamento nel tempo. Siccome $S(\nu)$ è periodica di periodo 1, allora quella somma invece di contenere infiniti termini dovrebbe contenere solo quelli che vanno da $0$ a $N_0-1$ perchè poi tanto si ripete uguale. Ti trovi?
Ok, ma questo "a chiacchiere".
Qual è il passaggio matematico/rigoso/formale che ho sbagliato?
"DeltaEpsilon":
Ok, ma questo "a chiacchiere".
Qual è il passaggio matematico/rigoso/formale che ho sbagliato?
In realta' tu non hai sbagliato niente. E' la trasformata di Fourier che e' afflitta da un grave problema, che per le funzioni periodiche l'integrale della trasformata non converge.
Cioe' per essere "trasformabili", le funzioni devono essere integrabili $L_1$ o $L_2$, ma le funzioni periodiche non sono in questa categoria.
Quindi cosa si fa ? Si limita l'integrale ad un solo periodo.
Nel nostro caso c'e' da fare una sommatoria, ma il concetto e' lo stesso. Se estendi la sommatoria da $-infty$ a $+infty$ la sommatoria non converge. E la devi fare da $0$ a $N_0 -1$.
Ogni termine della sommatoria somma il triangolo dello spettro ad un altro triangolo shiftato in frequenza.
Se sommi infiniti triangoli sulla stessa frequenza, la sommatoria non converge.
Quindi anche la sommatoria e' limitata ad un periodo.
Per dare un quadro formale bisogna fare le trasformate nelle senso delle distribuzioni, le distribuzioni che tengono conto di funzione come la delta di Dirac, il gradino, ecc...
Infatti le funzioni di cui stiamo parlando generano delle delta di Dirac.
"Quinzio":
Quindi cosa si fa ? Si limita l'integrale ad un solo periodo.
Nel nostro caso c'e' da fare una sommatoria, ma il concetto e' lo stesso. Se estendi la sommatoria da $-infty$ a $+infty$ la sommatoria non converge. E la devi fare da $0$ a $N_0 -1$.
Grazie.
Avevo il sentore che fosse qualcosa per far quadrare la trasformata. In effetti non dovrebbe essere tanto diverso da quello che si fa quando si calcola, per dire, l'energia di un segnale. Per i segnali periodici questa si calcola tenendo conto di un solo periodo, altrimenti l'integrale su $\mathbb{R}$ del modulo quadro non potrebbe che divergere.
*
Adesso che abbiamo chiarito un po' di cose e siamo sincronizzati su notazioni e formulario...
Volendo scrivere $x_1$ come un segnale tempo discreto, siamo infine d'accordo che posso scriverlo come
[tex]x_1(k) = r(kT_1) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty}r(nT_1)\delta(k-nT_1)[/tex]
Come calcolo la DTFT adesso?
Non ha senso applicare la proprietà di decimazione della DTFT, perché $r(kT_1)$ non è una decimazione essendo $r$ un segnale tempo continuo.
Non ha nemmeno senso parlare di proprietà del campionamento nel tempo di un segnale tempo discreto della DTFT, poiché in quell'espressione non sto campionando un segnale tempo discreto ma $r$ che è continuo.
"DeltaEpsilon":
[quote="Quinzio"]
Quindi cosa si fa ? Si limita l'integrale ad un solo periodo.
Nel nostro caso c'e' da fare una sommatoria, ma il concetto e' lo stesso. Se estendi la sommatoria da $-infty$ a $+infty$ la sommatoria non converge. E la devi fare da $0$ a $N_0 -1$.
Grazie.
Avevo il sentore che fosse qualcosa per far quadrare la trasformata. In effetti non dovrebbe essere tanto diverso da quello che si fa quando si calcola, per dire, l'energia di un segnale. Per i segnali periodici questa si calcola tenendo conto di un solo periodo, altrimenti l'integrale su $\mathbb{R}$ del modulo quadro non potrebbe che divergere.
[/quote]Esattamente
*
Adesso che abbiamo chiarito un po' di cose e siamo sincronizzati su notazioni e formulario...
Volendo scrivere $x_1$ come un segnale tempo discreto, siamo infine d'accordo che posso scriverlo come
[tex]x_1(k) = r(kT_1) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty}r(nT_1)\delta(k-nT_1)[/tex]
Come calcolo la DTFT adesso?
Non la calcoli, la disegni come avevi gia' fatto.
I calcoli dicono poco, un disegno ben fatto in questo caso dice tutto.
Pero' con l'accortezza di mettere sull'asse orizzontale i valori in frequenza unitaria e solo quelli, se vuoi usare le frequenza unitaria.
Non ha senso applicare la proprietà di decimazione della DTFT, perché $r(kT_1)$ non è una decimazione essendo $r$ un segnale tempo continuo.
Non ha nemmeno senso parlare di proprietà del campionamento nel tempo di un segnale tempo discreto della DTFT, poiché in quell'espressione non sto campionando un segnale tempo discreto ma $r$ che è continuo.
Benissimo.
"Quinzio":
Non la calcoli, la disegni come avevi gia' fatto.
I calcoli dicono poco, un disegno ben fatto in questo caso dice tutto.
Pero' con l'accortezza di mettere sull'asse orizzontale i valori in frequenza unitaria e solo quelli, se vuoi usare le frequenza unitaria.
Eh ma quel disegno era sbagliato, perchè avevo calcolato $X(\nu)$ applicando la proprietà di campionamento nel tempo di un segnale discreto, e poi l'ho graficato.
Ad esempio
Ma quella DTFT io l'avevo ottenuta applicando una proprietà sbagliata (quella del campionamento di un segnale tempo discreto).
Quindi è come se mi stessi dicendo che il disegno è corretto quando l'espressione analitica di $X(\nu)$ non lo è.
[tex]x_1(k) = r(kT_1) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty}r(nT_1)\delta(k-nT_1)[/tex]
La DTFT sarà
$X_1(\nu) = 1/T_1 \sum_{n = 0}^{T_1-1}R(\nu - n/T_1)$
Quindi è come se mi stessi dicendo che il disegno è corretto quando l'espressione analitica di $X(\nu)$ non lo è.
"DeltaEpsilon":
Ma quella DTFT io l'avevo ottenuta applicando una proprietà sbagliata (quella del campionamento di un segnale tempo discreto).
[tex]x_1(k) = r(kT_1) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty}r(nT_1)\delta(k-nT_1)[/tex]
La DTFT sarà
$X_1(\nu) = 1/T_1 \sum_{n = 0}^{T_1-1}R(\nu - n/T_1)$
Quindi è come se mi stessi dicendo che il disegno è corretto quando l'espressione analitica di $X(\nu)$ non lo è.
Facciamo il riassunto delle puntate precedenti.
Tu mi avevi detto: "Uso questa...."
Io ti avevo detto: "Noooo pazziaaa !!! Ci sono le parentesi tonde, quindi e' a tempo continuo, ma poi c'e' $N_0$ che e' un intero !!! Non va bene."
Poi mi hai detto: "Guarda che quelle sono delta di Kroneker"
E io ho risposto: "Com'e' possibile !!! Non si fa la FT con le delta di Kroneker, pazziaaa !!!"
In realta' il tuo prof, che scrive libri eccellenti, e' un po' creativo e usa le parentesi tonde per il TC e il TD e usa lo stesso simbolo per la delta di Dirac e di Kroneker.
Infine ho visto il formulario del tuo prof, e ho capito come usa i simboli.
E ho capito che quella formula e' per il tempo discreto.
Benissimo.
Adesso andiamo a prendere la formula del tuo prof per il campionamento del tempo continuo.
Ecco qua, vedi che alla fine non cambia molto, pero c'e' $T_0 \in RR$ e la delta e' quella di Dirac (speriamo).
Quindi si, hai usato una formula che non va bene, ma alla fine il disegno era corretto (a parte la frequenza unitaria o non unitaria).
Ho apprezzato molto la ricapitolazione, sembra proprio una serie tragicomica 
Così come è una convenzione usare $n$ o $k$ per il discreto, così lo è la parentesi quadra.
Usare contemporaneamente $n$ e la parentesi quadra, non è come voler indicare per due volte, e in due modi diversi, di stare nel tempo discreto?
Usare la parentesi tonda la vedo una convenzione generale per le funzioni, a prescindere dalla natura del dominio.[nota]Per esempio qui $\varphi$ è una funzione che ha come dominio l'insieme $\mathbb{N}$ e usa le parentesi tonde.[/nota]
Inoltre, ho sempre visto la delta di Dirac e di Kronecker con lo stesso simbolo $\delta$.
Si ma questa è la FT. Giustamente, campiono un segnale tempo continuo e ottengo una trasformata tempo continuo $X_1(f)$. Ma qui dov'è la DTFT? Come dicevo qualche post fa:
"Quinzio":
In realta' il tuo prof, che scrive libri eccellenti, e' un po' creativo e usa le parentesi tonde per il TC e il TD e usa lo stesso simbolo per la delta di Dirac e di Kroneker.
Così come è una convenzione usare $n$ o $k$ per il discreto, così lo è la parentesi quadra.
Usare contemporaneamente $n$ e la parentesi quadra, non è come voler indicare per due volte, e in due modi diversi, di stare nel tempo discreto?
Usare la parentesi tonda la vedo una convenzione generale per le funzioni, a prescindere dalla natura del dominio.[nota]Per esempio qui $\varphi$ è una funzione che ha come dominio l'insieme $\mathbb{N}$ e usa le parentesi tonde.[/nota]
Inoltre, ho sempre visto la delta di Dirac e di Kronecker con lo stesso simbolo $\delta$.
"Quinzio":
Adesso andiamo a prendere la formula del tuo prof per il campionamento del tempo continuo.
Ecco qua, vedi che alla fine non cambia molto, pero c'e' $T_0 \in RR$ e la delta e' quella di Dirac (speriamo).
Quindi si, hai usato una formula che non va bene, ma alla fine il disegno era corretto
Si ma questa è la FT. Giustamente, campiono un segnale tempo continuo e ottengo una trasformata tempo continuo $X_1(f)$. Ma qui dov'è la DTFT? Come dicevo qualche post fa:
"DeltaEpsilon":
dove e perché entrerebbe in gioco la DTFT?
"DeltaEpsilon":[/quote]
[quote="DeltaEpsilon"]dove e perché entrerebbe in gioco la DTFT?
Io lo so che tu vuoi usare la FT per risolvere quest'esercizio.
Hai capito che si puo' risolvere con la FT, per cui perche' impegolarsi con la DTFT ?
Ti spiego una cosa: se stai studiando questi argomenti e' per un solo e unico motivo: che questi argomenti sono molto usati nei microprocessori e sono alla base di una quantita' enorme di applicazioni pratiche.
Se stai studiando questi argomenti non e' perche' il Sig. Jean Baptiste Fourier ha inventato la trasformata che prende il suo nome.
No.
E' perche' esiste una versione della sua trasformata, a tempo discreto, che si puo' usare nei microprocessori.
Se non esistessero i microprocessori, la FT sarebbe una amenita' matematica studiata dai matematici e da qualche fisico, e poco oltre.
I microprocessori non usano la FT ma usano la DTFT, anzi, non usano neanche la DTFT usano la DFT, ma neanche.... nei microprocessori l'unica trasformata usata e' la FFT.
Quindi la domanda non e': dove e perché entrerebbe in gioco la DTFT?
ma piuttosto: dove e perché entrerebbe in gioco la FT?
E' la DTFT e le sue sorelle la DFT e la FFT che la fanno da padrona nel mondo dell'ingegneria e dei microprocessori.
La FT non esiste, e' una astrazione matematica. Che va capita e studiata, ma poi va messa in un angolo.
"DeltaEpsilon":
Si ma questa è la FT. Giustamente, campiono un segnale tempo continuo e ottengo una trasformata tempo continuo $X_1(f)$. Ma qui dov'è la DTFT?
Per questo ci vuole uno schemino, che non c'e' nel libro eccellente, che spero chiarisca le idee. Adesso lo faccio.
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