[Telecomunicazioni, Elettrotecnica] Camo elettrico sfera uniformemente carica

[gnammo]

Salve, sto affrontando questo argomento per l'ennesima volta nella mia carriera universitaria e, ovviamente, ogni docente l'ha spiegato in modo diverso.

In questo corso, per trovare l'espressione del campo elettrico di una sfera uniformemente carica, il professore è partito da questa equazione.

\(\displaystyle \frac{1}{r^2}\ \frac{\partial}{\partial r}\ \lgroup r^2 \frac{\partial u}{\partial r}\ \rgroup = -\frac{q}{\epsilon}\ \delta(r) \)

qualche idea di cosa stia facendo o da quale osservazione sia scaturita questa relazione?

[Quinzio]

Quella e' la divergenza in coordinate sferiche di un campo che ha la sola componente radiale, o meglio solo la componente radiale è contemplata.
Comunque quello non è li campo elettrico, ma la distribuzione della carica di un guscio sferico, che poi viene rappresentato matematicamente dalla delta di Dirac, ovvero una carica elementare concentrata nell'origine.

Nel caso del guscio sferico di raggio $R$ si può vedere come funziona il meccanismo della formula partendo dalla nota funzione del potenziale, cioè, chiamando $\sigma$ la densità superficiale di carica:


$u(r)={(\sigma/R 1/(4\pi\epsilon_0), r<=R),(\sigma/r 1/(4\pi\epsilon_0), r>R):}$

$(\partial u)/(\partial r)={(0, r<=R),(\sigma/(r^2) 1/(4\pi\epsilon_0), r>R):}$

$r^2 (\partial u)/(\partial r)={(0, r<=R),(\sigma 1/(4\pi\epsilon_0), r>R):} = H(R)\ \sigma 1/(4\pi\epsilon_0)$

dove $H(R)$ è la Heaviside

$ \partial /(\partial r)r^2 (\partial u)/(\partial r)= = \delta(R)\ \sigma 1/(4\pi\epsilon_0) $

$1/(r^2) \partial /(\partial r)r^2 (\partial u)/(\partial r)= = \delta(R)\ \sigma/(r^2) 1/(4\pi\epsilon_0) $

Siccome la carica totale è $q = \sigma r^2\ 4\pi$

ritroviamo $\delta\ q/(\epsilon_0)$, ovvero una carica $q$ concentrata nell'origine (abbiamo fatto tendere anche $R->0$)

[elgiovo]

Aggiungo solo una cosa: l'equazione scritta da gnammo e' l'equazione di Poisson in coordinate sferiche.
Escludendo le coordinate angolari si assume che il potenziale $u$ dipenda solo dalla coordinata radiale, ovvero che la soluzione abbia simmetria radiale (il che mi sembra giustificato visto che si parla del potenziale di una sfera).