[Telecomunicazioni] Calcolo energia di un segnale
Ciao a tutti, mi trovo in difficoltà con il calcolo dell'energia di questo segnale:
$ s_1(t) = 2cos(2pif_ot)rect((t-T/2)/T) $
dove: $ f_o=100/T $ con $ T=1*10^(-6)s $
la definizione di energia è questa:
$ E=int_(-oo)^(+oo) |s_1(t)|^2 dt $
ora se applico ciò al mio segnale che cosa accade?
- Gli estremi di integrazione quali sono nel mio caso? - infinito e + infinito?
- il 2 davanti al coseno va fuori dall'integrale e diventa un 4. Così facendo la funzione coseno e rect hanno altezza unitaria
uguale ad 1.. giusto? Ma ora come continuo?
Grazie mille
$ s_1(t) = 2cos(2pif_ot)rect((t-T/2)/T) $
dove: $ f_o=100/T $ con $ T=1*10^(-6)s $
la definizione di energia è questa:
$ E=int_(-oo)^(+oo) |s_1(t)|^2 dt $
ora se applico ciò al mio segnale che cosa accade?
- Gli estremi di integrazione quali sono nel mio caso? - infinito e + infinito?
- il 2 davanti al coseno va fuori dall'integrale e diventa un 4. Così facendo la funzione coseno e rect hanno altezza unitaria
uguale ad 1.. giusto? Ma ora come continuo?
Grazie mille
Risposte
Considera che i tuoi estremi di integrazione coincidono necessariamente con il supporto della funzione $rect()$, che rende uguale a zero l’integrale per valori di $t$ minori di zero e maggiori di $T$ ...
Ok quindi risulterebbe una cosa di questo tipo:
$ E=4int_(0)^(T)|cos(2pif_ot)rect((t-T/2)/T)|^2 dt $
Ora so che il coseno ha altezza 1 (tutto positivo perchè in modulo); stessa cosa per la funzione rect che ha altezza unitaria.
Ma come continuo ora? devo risolvere quella bestia li?
$ E=4int_(0)^(T)|cos(2pif_ot)rect((t-T/2)/T)|^2 dt $
Ora so che il coseno ha altezza 1 (tutto positivo perchè in modulo); stessa cosa per la funzione rect che ha altezza unitaria.
Ma come continuo ora? devo risolvere quella bestia li?
La funzione $rect()$ ha valore unitario all’interno dell’intervallo di integrazione, e il quadrato del modulo del coseno è pari al quadrato del coseno stesso: quindi non ti resta che risolvere l’integrale del coseno al quadrato...
Gli estremi vengono limitati dalla funzione $rect(t)$.
Il coseno, moltiplicato per quella $rect(t)$ che risulta traslata a destra di $\frac{T}{2}$ e di larghezza $T$, sarà uno spezzone di coseno con la sua opportuna frequenza data.
Quindi è come se ti chiedessero di calcolare l'energia di un coseno spezzato.
A questo punto l'integrale sarà da limitare all'intervallo in cui la funzione è non nulla e cioè $[0,T]$.
Svolgendo i calcoli viene:
\[
E_s=\int_0^{T} {|2cos(2\pi f_{0}t)|^2 dt}
\]
Ora sfruttando il fatto che $|2cos(2\pi f_{0}t)|^2=4cos^2(2\pi f_{0}t)$ e che $cos^2(x)=\frac{1+cos(2x)}{2}$ avrò:
\[
E_s=\int_0^{T} {|2cos(2\pi f_{0}t)|^2 dt}=2 \int_0^{T} 1+cos(4\pi f_{0}t) dt
\]
Svolgendo i calcoli,sfruttando il fatto che l'integrale su un periodo (o su un multiplo di esso in questo caso) è uguale a zero, si arriva a:
\[
E_s=\int_0^{T} {|2cos(2\pi f_{0}t)|^2 dt}=2 \int_0^{T} 1+cos(4\pi f_{0}t) dt = 2T
\]
che nel tuo caso $E_s=2T=2 \cdot 10^{-6} J$
Il coseno, moltiplicato per quella $rect(t)$ che risulta traslata a destra di $\frac{T}{2}$ e di larghezza $T$, sarà uno spezzone di coseno con la sua opportuna frequenza data.
Quindi è come se ti chiedessero di calcolare l'energia di un coseno spezzato.
A questo punto l'integrale sarà da limitare all'intervallo in cui la funzione è non nulla e cioè $[0,T]$.
Svolgendo i calcoli viene:
\[
E_s=\int_0^{T} {|2cos(2\pi f_{0}t)|^2 dt}
\]
Ora sfruttando il fatto che $|2cos(2\pi f_{0}t)|^2=4cos^2(2\pi f_{0}t)$ e che $cos^2(x)=\frac{1+cos(2x)}{2}$ avrò:
\[
E_s=\int_0^{T} {|2cos(2\pi f_{0}t)|^2 dt}=2 \int_0^{T} 1+cos(4\pi f_{0}t) dt
\]
Svolgendo i calcoli,sfruttando il fatto che l'integrale su un periodo (o su un multiplo di esso in questo caso) è uguale a zero, si arriva a:
\[
E_s=\int_0^{T} {|2cos(2\pi f_{0}t)|^2 dt}=2 \int_0^{T} 1+cos(4\pi f_{0}t) dt = 2T
\]
che nel tuo caso $E_s=2T=2 \cdot 10^{-6} J$
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