[Tecnica delle costruzioni] Soluzione Solaio, come ricavare queste equazioni?
Salve! ho questo problema, sto cercando di fare un progetto su un solaio; devo fare ora un'analisi dei carichi, sto studiando un esercizio svolto per capire come fare ma proprio non ci salto fuori!
non riesco a capire da dove derivino delle fomule che scrive!!! Citano l'equazione dei 3 momenti, ma anche cercando su internet trovo cose che smebrano non centrare assolutamente nulla con quello che serve a me!!!
questo è l'esempio
da dove vengono quelle 3 equazioni?? come fa a scriverle??? ma poi anche il primo risultato... sono Momenti.. come può essere un $l^3$??? dovrebbe esser un $l^2$ bho io ho provato ma a logica non ci arrivo!!!
non riesco a capire da dove derivino delle fomule che scrive!!! Citano l'equazione dei 3 momenti, ma anche cercando su internet trovo cose che smebrano non centrare assolutamente nulla con quello che serve a me!!!
questo è l'esempio
da dove vengono quelle 3 equazioni?? come fa a scriverle??? ma poi anche il primo risultato... sono Momenti.. come può essere un $l^3$??? dovrebbe esser un $l^2$ bho io ho provato ma a logica non ci arrivo!!!
Risposte
Ciao...si si tratta l'equazione dei tre momenti che praticamente rappresenta l'applicazione del metodo delle forze ad una trave continua.
Quindi se sai come applicare tale metodo, puoi facilmente capire da dove deriva tale equazione.
Qua puoi trovare alcuni esempi elementari che abbiamo fatto in alcune discussioni:
viewtopic.php?f=38&t=104076&p=732477#p732367
Questo file, riporta le rotazioni elementari notevoli:
http://staff.polito.it/fabrizio.barpi/t ... azioni.pdf
ciao
Quindi se sai come applicare tale metodo, puoi facilmente capire da dove deriva tale equazione.
Qua puoi trovare alcuni esempi elementari che abbiamo fatto in alcune discussioni:
viewtopic.php?f=38&t=104076&p=732477#p732367
Questo file, riporta le rotazioni elementari notevoli:
http://staff.polito.it/fabrizio.barpi/t ... azioni.pdf
ciao
"ELWOOD":
Ciao...si si tratta l'equazione dei tre momenti che praticamente rappresenta l'applicazione del metodo delle forze ad una trave continua.
Quindi se sai come applicare tale metodo, puoi facilmente capire da dove deriva tale equazione.
Qua puoi trovare alcuni esempi elementari che abbiamo fatto in alcune discussioni:
viewtopic.php?f=38&t=104076&p=732477#p732367
Questo file, riporta le rotazioni elementari notevoli:
http://staff.polito.it/fabrizio.barpi/t ... azioni.pdf
ciao
Ciao.. no mi spiace, è tutto il giorno che mi scervello e anche ora con la tua spiegazione i conti non mi tornano!!! a questo punto NO non so come applicare tale metodo... dove posso guardare per impararlo??? il mio prof non ha spiegato NULLA, non ci ha dato un testo di riferimento ne niente.. sono abbandonato a me stesso...
No però qua non è possibile eh!!! io ho cercato su internet "Equazione dei 3 momenti" ho anche poi cercato l'altro suo nome "equazione delle forze" non c'è un sito che sia uno che lo spieghi in modo chiaro, semplice e rigoroso!! io continuo a non saltarci fuori... per come è impostata la formula in questo esempio non trovo nulla di simile!!!
ho scaricato le dispense del corso di tecnica delle costruzioni di un altro prof e mi sono studiato il capitolo dove parla del METODO DELL’EQUILIBRIO O METODO DEGLI SPOSTAMENTI e nell'introduzione dice "metodo della congruenza, anche detto metodo delle forze".
Ma spiega altre cose... non ci sono momenti moltiplicati per lunghezze come nel mio esempio!!! ci sono casi noti e classici con i soliti $ql^2$.
Insomma qualcuno mi vuole spiegare?
Equazione dei 3 momenti, detto anche metodo delle forze detto anche metodo della congruenza??? ma poi li fa solo riferimento a valori di tabelle dove non compaiono valori al cubo!! e tantomeno momenti moltiplicati per lunghezze come in quell'equzione!!!
Insomma c'è un libro a cui far riferimento per imparare queste cose???
ho scaricato le dispense del corso di tecnica delle costruzioni di un altro prof e mi sono studiato il capitolo dove parla del METODO DELL’EQUILIBRIO O METODO DEGLI SPOSTAMENTI e nell'introduzione dice "metodo della congruenza, anche detto metodo delle forze".
Ma spiega altre cose... non ci sono momenti moltiplicati per lunghezze come nel mio esempio!!! ci sono casi noti e classici con i soliti $ql^2$.
Insomma qualcuno mi vuole spiegare?
Equazione dei 3 momenti, detto anche metodo delle forze detto anche metodo della congruenza??? ma poi li fa solo riferimento a valori di tabelle dove non compaiono valori al cubo!! e tantomeno momenti moltiplicati per lunghezze come in quell'equzione!!!
Insomma c'è un libro a cui far riferimento per imparare queste cose???
Esatto....metodo della congruenza....metodo delle forze...chi più ne ha più ne metta!
Tanti sono i nomi e pochi sono i riferimenti dettagliati....perchè??
Questi metodi non sono altro che applicazioni di quello che conosci come principio dei lavori virtuali (che fortunatamente ha solo questo nome!
)
Dunque....di questo perlomeno ne hai mai sentito parlare?Lo sai applicare?
Posso anche provare a spiegarti quell'esercizio...ma mi piacerebbe capire fino a che punto arrivano le tue conoscenze...
Tanti sono i nomi e pochi sono i riferimenti dettagliati....perchè??
Questi metodi non sono altro che applicazioni di quello che conosci come principio dei lavori virtuali (che fortunatamente ha solo questo nome!
)Dunque....di questo perlomeno ne hai mai sentito parlare?Lo sai applicare?
Posso anche provare a spiegarti quell'esercizio...ma mi piacerebbe capire fino a che punto arrivano le tue conoscenze...
"ELWOOD":
Esatto....metodo della congruenza....metodo delle forze...chi più ne ha più ne metta!
Tanti sono i nomi e pochi sono i riferimenti dettagliati....perchè??
Questi metodi non sono altro che applicazioni di quello che conosci come principio dei lavori virtuali (che fortunatamente ha solo questo nome!
Dunque....di questo perlomeno ne hai mai sentito parlare?Lo sai applicare?
Posso anche provare a spiegarti quell'esercizio...ma mi piacerebbe capire fino a che punto arrivano le tue conoscenze...
ah il PLV per i normali sistemi iperstatici lo so fare.. noi a scienza delle costruzioni (la prima parte propedeutica a questo corso) abbiamo usato il PLV per calcolare o lo spostamento nelle strutture isostatiche (sistema reale, sistema fittizio) o per calcolare l'incognita iperstatica in una struttura una volta iperstatica tramite il sistema 0 e il sistema 1.
e alla fine si faceva
$int M_1/(EJ) * (M_0 + X_1 * M_1)=0 $ per l'incognita iperstatica.. altrimenti $int M_f * M_r/(EJ) = v_b$ dove $v_b$ è lo spostamento
Ok...allora dimmi come risolveresti una semplice struttura continua...tipo questa:
Allora... da quel che vedo la struttura (se quelle sono cerniere) sarebbe più volte iperstatica... ma per la particolare condizione di carico può essere considerata isostatica (abbiamo 3 gradi di libertà dati dall'asta e 3 reazioni vincolari verticali.. $v_1 ; v_2 ; v_3$ non ci sono reazioni orizzontali o momenti.
Quindi scrivo l'equilibrio Verticale
$v_1+v_2+v_3-2ql=0$
poi mi punto in 1, in 2 e in 3 e scrivo le equazioni dell'equilibrio giratorio ottenendo:
$v_2 *l -2ql^2 + 2v_3*l=0$
$-v_1*l+v_3*l=0$
$-v1*2l-v_2*l+2ql^2=0$
Il problema è che risolvendo questo sistema mi viene solo l'identità $v_1=v_3$ senza giungere a una soluzione :S
Quindi adesso provo a risolverlo col PLV togliendo un vincolo...
Quindi scrivo l'equilibrio Verticale
$v_1+v_2+v_3-2ql=0$
poi mi punto in 1, in 2 e in 3 e scrivo le equazioni dell'equilibrio giratorio ottenendo:
$v_2 *l -2ql^2 + 2v_3*l=0$
$-v_1*l+v_3*l=0$
$-v1*2l-v_2*l+2ql^2=0$
Il problema è che risolvendo questo sistema mi viene solo l'identità $v_1=v_3$ senza giungere a una soluzione :S
Quindi adesso provo a risolverlo col PLV togliendo un vincolo...
mi è venuta la pelle di gallina nel leggere fino alla penultima riga...vediamo come la risolvi
Dunque, tolgo il vincolo centrale e scrivo il sistema 0 dove ho:
$v_1=ql$
$v_2=ql$
entrambe rivolte verso l'alto
scrivo la legge del momento che è $M_0$
$M_0= (qz^2)/2 -qlz$ per $0<=z<=2l$ (fibre sotto tese)
scrivo ora il sistema 1 dove trovo
$v_1=1/2$
$v_2=1/2$
entrambe rivolte verso il basso
scrivo la legge del momento $M_1$ divisa in due parti
$M_1=-(1/2)z$ per $0<=z<=l$
$M_1=-(1/2)l+(1/2)z$ per $0<=z<=l$ (partendo da mezza asta)
Fibre sopra tese.
ora abbiamo che lavoro virtuale interno = lavoro virtuale esterno quindi faccio l'integrale (che ometto perché lungo.. l'ho risolto e ricontrollato su foglio normale) che mi da come risultato:
$x_1=-ql$ ergo nel punto centrale ho una forza che vale $ql$ rivolta verso il basso.. la vado a sostituire all'inizio di tutto e risolvo come una normale isostatica ottenendo:
$v_1=3/2 ql$ (verso l'alto) (vincolo sinistro)
$v_2= 3/2 ql$ (verso l'alto) (vincolo destro)
$v_3= ql$ (verso il basso) (vincolo centrale)
A me han insegnato solo questo modo nel corso di Scienza delle costruzioni...
$v_1=ql$
$v_2=ql$
entrambe rivolte verso l'alto
scrivo la legge del momento che è $M_0$
$M_0= (qz^2)/2 -qlz$ per $0<=z<=2l$ (fibre sotto tese)
scrivo ora il sistema 1 dove trovo
$v_1=1/2$
$v_2=1/2$
entrambe rivolte verso il basso
scrivo la legge del momento $M_1$ divisa in due parti
$M_1=-(1/2)z$ per $0<=z<=l$
$M_1=-(1/2)l+(1/2)z$ per $0<=z<=l$ (partendo da mezza asta)
Fibre sopra tese.
ora abbiamo che lavoro virtuale interno = lavoro virtuale esterno quindi faccio l'integrale (che ometto perché lungo.. l'ho risolto e ricontrollato su foglio normale) che mi da come risultato:
$x_1=-ql$ ergo nel punto centrale ho una forza che vale $ql$ rivolta verso il basso.. la vado a sostituire all'inizio di tutto e risolvo come una normale isostatica ottenendo:
$v_1=3/2 ql$ (verso l'alto) (vincolo sinistro)
$v_2= 3/2 ql$ (verso l'alto) (vincolo destro)
$v_3= ql$ (verso il basso) (vincolo centrale)
A me han insegnato solo questo modo nel corso di Scienza delle costruzioni...
mah...non so dove sbagli ma non è corretta.
La reazione verticale nel primo appoggio è $3/8ql$
Comunque, mi sembra tu abbia una qualche padronanza col PLV, quindi potrei provare a spiegarti il metodo utilizzato nell'arrivare all'equazione che chiedi.
Nell'utilizzare il PLV tu non hai fatto altro che definire un sistema di sollecitazioni interne ($M(z)$) e un sistema di deformazioni congruenti a quel sistema di sollecitazioni e imporne l'uguaglianza col lavoro esterno che in questo caso era nullo.
Per cui in formule:
$ L_i=L_e \rarr [F*u]^{ext}=[F*u]^{int}$
Il metodo delle forze (o dei 3 momenti...o delle congruenze)....insomma....il metodo che ha portato la scrittura di quell'equazione cosa ha fatto?
Assume come incognite le forze e per ognuna di essa viene determinato il campo di deformazioni ad esse congruente.
Forse viene utile che utilizziamo questi concetti tramite un esempio, risolvendo così quella semplice struttura.
Allora andiamo per passi:
- individuo le incognite: Saranno quindi delle forze, che furbescamente, prendo come incognita il momento flettente in prossimità dell'appoggio:
Ora voglio capire quale è il campo di deformazioni che viene prodotto, dall'insieme di forze agenti sulla struttura.
Guardando la deformata della struttura, notiamo che l'angolo $\phi$ di deformazione sulla prima campata dovrà essere uguale anche sulla seconda campata:
Quindi la nostra equazione di congruenza sarà che:
$\phi_{AB}=\phi_{BA}$
Ora dobbiamo capire quali sono i contributi che tutte le sollecitazioni danno nel produrre queste deformazioni angolari:
- L'incognita $X$:
essa (dalle equazioni della linea elastica) vediamo che produce un angolo
$\phi_{AB}^{X}=\frac{X*l}{3EI}$
- Il carico $q$:
produce un angolo:
$\phi_{AB}^{q}=\frac{ql^3}{24EI}$
Per cui la rotazione totale è data dalla somma dei due contributi:
$\phi_{AB}=\frac{X*l}{3EI}+\frac{ql^3}{24EI}$
Se svolgi la stessa operazione nella campata di destra osserverai che la rotazione è uguale in modulo, ottenendo
$\phi_{BA}=\frac{X*l}{3EI}+\frac{ql^3}{24EI}$
Quindi non ci resta che imporre la congruenza ed uguagliare le equazioni:
$\phi_{AB}=\phi_{BA}$
$\phi_{AB}=\frac{X*l}{3EI}+\frac{ql^3}{24EI}=-\frac{X*l}{3EI}-\frac{ql^3}{24EI}$
(Il segno è discorde perchè sono discordi tra loro le rotazioni)
Da questa equazione ti ricavi quindi che
$X=-\frac{ql^2}{8}$
Da cui sei poi in grado di ricavarti il resto.
_______________________________
Bene questo è il principio che sta sotto questo metodo, se l'hai capito ora puoi provare ad applicarlo al tuo esercizio e capire così come fanno a uscire quelle equazioni.
Prova...
ciao
La reazione verticale nel primo appoggio è $3/8ql$
Comunque, mi sembra tu abbia una qualche padronanza col PLV, quindi potrei provare a spiegarti il metodo utilizzato nell'arrivare all'equazione che chiedi.
Nell'utilizzare il PLV tu non hai fatto altro che definire un sistema di sollecitazioni interne ($M(z)$) e un sistema di deformazioni congruenti a quel sistema di sollecitazioni e imporne l'uguaglianza col lavoro esterno che in questo caso era nullo.
Per cui in formule:
$ L_i=L_e \rarr [F*u]^{ext}=[F*u]^{int}$
Il metodo delle forze (o dei 3 momenti...o delle congruenze)....insomma....il metodo che ha portato la scrittura di quell'equazione cosa ha fatto?
Assume come incognite le forze e per ognuna di essa viene determinato il campo di deformazioni ad esse congruente.
Forse viene utile che utilizziamo questi concetti tramite un esempio, risolvendo così quella semplice struttura.
Allora andiamo per passi:
- individuo le incognite: Saranno quindi delle forze, che furbescamente, prendo come incognita il momento flettente in prossimità dell'appoggio:
Ora voglio capire quale è il campo di deformazioni che viene prodotto, dall'insieme di forze agenti sulla struttura.
Guardando la deformata della struttura, notiamo che l'angolo $\phi$ di deformazione sulla prima campata dovrà essere uguale anche sulla seconda campata:
Quindi la nostra equazione di congruenza sarà che:
$\phi_{AB}=\phi_{BA}$
Ora dobbiamo capire quali sono i contributi che tutte le sollecitazioni danno nel produrre queste deformazioni angolari:
- L'incognita $X$:
essa (dalle equazioni della linea elastica) vediamo che produce un angolo
$\phi_{AB}^{X}=\frac{X*l}{3EI}$
- Il carico $q$:
produce un angolo:
$\phi_{AB}^{q}=\frac{ql^3}{24EI}$
Per cui la rotazione totale è data dalla somma dei due contributi:
$\phi_{AB}=\frac{X*l}{3EI}+\frac{ql^3}{24EI}$
Se svolgi la stessa operazione nella campata di destra osserverai che la rotazione è uguale in modulo, ottenendo
$\phi_{BA}=\frac{X*l}{3EI}+\frac{ql^3}{24EI}$
Quindi non ci resta che imporre la congruenza ed uguagliare le equazioni:
$\phi_{AB}=\phi_{BA}$
$\phi_{AB}=\frac{X*l}{3EI}+\frac{ql^3}{24EI}=-\frac{X*l}{3EI}-\frac{ql^3}{24EI}$
(Il segno è discorde perchè sono discordi tra loro le rotazioni)
Da questa equazione ti ricavi quindi che
$X=-\frac{ql^2}{8}$
Da cui sei poi in grado di ricavarti il resto.
_______________________________
Bene questo è il principio che sta sotto questo metodo, se l'hai capito ora puoi provare ad applicarlo al tuo esercizio e capire così come fanno a uscire quelle equazioni.
Prova...
ciao
uhm ok... mi sembra di avere un'idea più chiara ora...
Grazie mille!
Grazie mille!
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