Taratura regolatore standard PID

[lucamennoia]

Mi affaccio a questi esercizi per le prime volte quindi vorrei esser sicuro di capire tutto. Propongo quindi un esercizio che ho iniziato a svolgere.

Viene assegnato un sistema con retroazione unitaria negativa sul cui ramo diretto ci sono in serie il blocco del regolatore \(\displaystyle G_c(s) \) e immediatamente dopo il blocco del sistema da controllare \(\displaystyle G_p(s) \).

Sia \(\displaystyle G_p(s)=\frac{1}{1+10s} \)

Prima richiesta: tarare il regolatore di tipo integrale in modo che il sistema presenti un picco di risonanza uguale a 1.4.

Seconda richiesta: adottando il regolatore precedentemente tarato, calcolare:
pulsazione di risonanza;
sovraelongazione della risposta ad un gradino di ampiezza 2;
margine di fase.
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In anello chiuso ho: \(\displaystyle G_0(s)=\frac{\frac{K_I}{10}}{s^2+\frac{s}{10}+\frac{K_I}{10}} \)
il sistema è del second'ordine.

il picco di risonanza dipende unicamente dal fattore di smorzamento \(\displaystyle \delta \):
con quali formule posso trovare il fattore di smorzamento?

[cyd1]

una coppia di poli cc puoi esprimerla nella forma $s^2 + 2 delta omega_n s + omega_n^2$
quindi il coeff. di smorzamento lo trovi eguagliando l'espressione col denominatore la pulsazione naturale pure
la sovraelongazione in % la trovi con $S =100e^(-(delta pi)/sqrt(1- delta^2))$

[lucamennoia]

Ecco! Grazie!! Ero incerto perché nei miei appunti la forma per i poli cc era \(\displaystyle s^2+2\delta\omega_N+\omega_N^2 \). Quindi allora ottengo i valori della pulsazione naturale e del coefficiente di smorzamento pari a
\(\displaystyle \omega_N=\sqrt{\frac{K_I}{10}}\)
\(\displaystyle \delta = \frac{1}{2\sqrt{10K_I}}\)

ma imponendo il vincolo per il picco di risonanza ottengo:

\(\displaystyle \frac{20K_I}{\sqrt{40K_I-1}}=1.4 \)

che è valida sia per \(\displaystyle K_I \backsimeq 0.029\)
che per \(\displaystyle K_I \backsimeq 0.166\)

come faccio a tarare il regolatore? Quale costante scelgo?