Serie di fourier
non riesco a capire come svolgere un integrale della serie di fourier...
sto calcolando il coefficiente an che dalle formule è:
[tex]\frac{2}{T} \int_{0}^{T} v(t)cos(2\pi nf_0 t) dt[/tex]
con [tex]v(t)=Acos(2\pi f_0t+\phi[/tex]
non riesco a trovare un approccio "semplice" per la risoluzione di questo integrale... se lo faccio per parti sto sempre punto e a capo, per sostituzione non saprei cosa sostituire... aiutatemi voi!
sto calcolando il coefficiente an che dalle formule è:
[tex]\frac{2}{T} \int_{0}^{T} v(t)cos(2\pi nf_0 t) dt[/tex]
con [tex]v(t)=Acos(2\pi f_0t+\phi[/tex]
non riesco a trovare un approccio "semplice" per la risoluzione di questo integrale... se lo faccio per parti sto sempre punto e a capo, per sostituzione non saprei cosa sostituire... aiutatemi voi!
Risposte
Puoi, ad esempio, sfruttare le formule di addizione e sottrazione:
[tex]\cos\alpha \cdot \cos\beta = \frac{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}{2}[/tex]
[tex]\cos\alpha \cdot \cos\beta = \frac{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}{2}[/tex]
allora usando quella formula mi viene (e usando omega al posto di 2pf_0:
[tex]\frac{A}{T} \int_{0}^{T} cos(\omega t(1+n)+\phi) + cos(\omega t(1-n)+ \phi) dt[/tex]
arrivato a questo punto (sempre che sia giusto, come posso andare avanti? divido l'integrale come la somma degli integrali e uso la sostituzione per l'argomento dei coseni?
[tex]\frac{A}{T} \int_{0}^{T} cos(\omega t(1+n)+\phi) + cos(\omega t(1-n)+ \phi) dt[/tex]
arrivato a questo punto (sempre che sia giusto, come posso andare avanti? divido l'integrale come la somma degli integrali e uso la sostituzione per l'argomento dei coseni?
Adesso hai a che fare con 2 integrali immediati. Devi discutere cosa succede al variare di $n$.
Sinceramente non vedo la necessità di svolgere l'integrale.
La funzione $Acos(2*pi*f_0*t+phi)=A*cos(phi)*cos(2*pi*f_0*t)-A*sen(phi)*sen(2*pi*f_0*t)$.
Dallo sviluppo hai già tutti i coefficienti.
Ciao ciao.
La funzione $Acos(2*pi*f_0*t+phi)=A*cos(phi)*cos(2*pi*f_0*t)-A*sen(phi)*sen(2*pi*f_0*t)$.
Dallo sviluppo hai già tutti i coefficienti.
Ciao ciao.
"luca.barletta":
Adesso hai a che fare con 2 integrali immediati. Devi discutere cosa succede al variare di $n$.
guarda sinceramente non saprei in che modo la cosa cambi al variare di n, visto che n puo variare da 0 a infinito...
"giozh":
[quote="luca.barletta"]Adesso hai a che fare con 2 integrali immediati. Devi discutere cosa succede al variare di $n$.
guarda sinceramente non saprei in che modo la cosa cambi al variare di n, visto che n puo variare da 0 a infinito...[/quote]
In realtà è molto semplice, stai integrando da $0$ a $T$ una cosinusoide la cui frequenza dipende da $n$. Pensa a quanti cicli del coseno hai nell'intervallo di integrazione al variare di $n$, e troverai immediatamente il valore degli integrali.
"clrscr":
Sinceramente non vedo la necessità di svolgere l'integrale.
Suppongo che la richiesta dell'esercizio sia quella di calcolare esplicitamente gli integrali...
"luca.barletta":
[quote="giozh"][quote="luca.barletta"]Adesso hai a che fare con 2 integrali immediati. Devi discutere cosa succede al variare di $n$.
guarda sinceramente non saprei in che modo la cosa cambi al variare di n, visto che n puo variare da 0 a infinito...[/quote]
In realtà è molto semplice, stai integrando da $0$ a $T$ una cosinusoide la cui frequenza dipende da $n$. Pensa a quanti cicli del coseno hai nell'intervallo di integrazione al variare di $n$, e troverai immediatamente il valore degli integrali.[/quote]
allora, il seno ha periodicità T, cioè ogni T si ripete uguale. se per cicli intendi quante volte il coseno si ripete nell'intervallo, beh non si ripete una volta sola??
"giozh":
allora, il seno ha periodicità T, cioè ogni T si ripete uguale. se per cicli intendi quante volte il coseno si ripete nell'intervallo, beh non si ripete una volta sola??
no, il periodo di [tex]cos(2\pi\frac{t}{P}+\phi)[/tex] é [tex]P[/tex], quindi al variare di $n$ il periodo dell'integranda cambia.
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