[Scienze delle Costruzioni] Sforzo T
Ciao a tutti,
Purtroppo sto avendo grossi problemi per quanto riguarda gli esercizi di scienza in merito allo sforzo T... A grandi linee (il grosso dello studio partirà sa settimana prossima) l'ho capito solo che non riesco ad applicare i concetti studiati gli esercizi.
Prendiamo ad esempio l'esercizio numero 2 di questo esame: http://www.unifi.it/costruzioni/upload/sub/Zani/scienza-2-7-09/t1.pdf
Dato lo sforzo T mi si chiede di determinare la componente normale e tangenziale della tensione relativa a quella giacitura data.
Io sono partito facendo $|T -lambda I | =0 $ mi trovo la mia equazione secolare e mi calcolo i tre invarianti che poi sostituisco nella mia equazione secolare che dovrebbe tornare così: $ lambda^3 -(p-q) lambda^2 +(pq-q^3) lambda +q =0$ con ruffini scompongo l'equazione di terzo grado e mi trovo $( lambda +q)(lambda^2 -lambda p +q^2) =0 $
Posso anche trovarmi gli altri due valori di lambda ma credo che questa strada mi stia portando ad un vicolo cieco... Secondo voi, che siete più competenti del sottoscritto, come dorei impostare il problema? Grazie.
Purtroppo sto avendo grossi problemi per quanto riguarda gli esercizi di scienza in merito allo sforzo T... A grandi linee (il grosso dello studio partirà sa settimana prossima) l'ho capito solo che non riesco ad applicare i concetti studiati gli esercizi.
Prendiamo ad esempio l'esercizio numero 2 di questo esame: http://www.unifi.it/costruzioni/upload/sub/Zani/scienza-2-7-09/t1.pdf
Dato lo sforzo T mi si chiede di determinare la componente normale e tangenziale della tensione relativa a quella giacitura data.
Io sono partito facendo $|T -lambda I | =0 $ mi trovo la mia equazione secolare e mi calcolo i tre invarianti che poi sostituisco nella mia equazione secolare che dovrebbe tornare così: $ lambda^3 -(p-q) lambda^2 +(pq-q^3) lambda +q =0$ con ruffini scompongo l'equazione di terzo grado e mi trovo $( lambda +q)(lambda^2 -lambda p +q^2) =0 $
Posso anche trovarmi gli altri due valori di lambda ma credo che questa strada mi stia portando ad un vicolo cieco... Secondo voi, che siete più competenti del sottoscritto, come dorei impostare il problema? Grazie.
Risposte
Vedendo come è fatta la matrice delle tensioni potresti semplificare i conti, notando che $tau_(zx)$ e $tau_(zy)$ sono entrambi nulli e quindi $sigma_z=q$ è un autovalore della matrice, associato alla direzione $z$. Questo permette di ridurre la ricerca agli altri due autovalori, diagonalizzando la matrice 2X2 $((p,q),(q,0))$.
ok quindi invece che l'equazione secolare mi ritrovo una semplice equazione di secondo grado e mi definisco in tutto i 3 $lambda$ che rappresentano gli autovalori della matrice.
A quel punto faccio la nuova matrice matrice T $ ( ( lambda_1 , 0 , 0 ),( 0 , lambda_2 , 0 ),( 0 , 0 , lambda_3 ) ) $ e qui però mi fermo (sempre che sia giusto il ragionamento fatto fino ad ora)...
A quel punto faccio la nuova matrice matrice T $ ( ( lambda_1 , 0 , 0 ),( 0 , lambda_2 , 0 ),( 0 , 0 , lambda_3 ) ) $ e qui però mi fermo (sempre che sia giusto il ragionamento fatto fino ad ora)...
Arrivati a questo punto diventa un problema di geometria analitica. La matrice delle tensioni è proprio quella matrice che applicata ad un versore fornisce il vettore delle tensioni agenti in un punto su una superficie perpendicolare al versore e dalla parte indicata dal verso del versore.
Quindi dovrei fare $n * T * n$ ? Dove T è la mia nuova matrice e dove n è il vettore dato nei dati?
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