[Scienza delle Costruzioni]Esercizio sezione a doppio T, taglio Tx
Salve a tutti,
data questa sezione a doppio T
mi chiede di calcolare le tensioni di taglio dovute a $Tx$
Ho calcolato $I_y$ ma per $S_y$ mi viene zero ovunque come è possibile ? Eppure sul libro trova un andamento parabolico delle tensioni sulle ali
Cioè io ho usato la formula
$Sy(A_1)= A_1 * x_{G_1}$
$Sy(A_2)= A_2 * x_{G_2}$
$Sy(A_3)= Sy(A_1)$
dove $x_{G_i}$ sono le coordinate dei baricentri di ciascuno dei 3 rettangoli calcolati rispetto all'origine del sistema che coincide con il baricentro dell'intera sezione
Per $Sx$ adottando tale ragionamento mi trovo, ad esempio il momento statico nella sezione situato in mezzo alle ali è
$Sx = b*h/2 * h/2$
oppure il momento statico nella sezione di attacco delle ali sull'anima mi trovo
$Sx=b*h*h/2$
E così via, mentre tale ragionamento non funziona per le $Sy$
Cosa sbaglio ?
Ci sto pensando da ieri ma non capisco cosa sbaglio
data questa sezione a doppio T
mi chiede di calcolare le tensioni di taglio dovute a $Tx$
Ho calcolato $I_y$ ma per $S_y$ mi viene zero ovunque come è possibile ? Eppure sul libro trova un andamento parabolico delle tensioni sulle ali
Cioè io ho usato la formula
$Sy(A_1)= A_1 * x_{G_1}$
$Sy(A_2)= A_2 * x_{G_2}$
$Sy(A_3)= Sy(A_1)$
dove $x_{G_i}$ sono le coordinate dei baricentri di ciascuno dei 3 rettangoli calcolati rispetto all'origine del sistema che coincide con il baricentro dell'intera sezione
Per $Sx$ adottando tale ragionamento mi trovo, ad esempio il momento statico nella sezione situato in mezzo alle ali è
$Sx = b*h/2 * h/2$
oppure il momento statico nella sezione di attacco delle ali sull'anima mi trovo
$Sx=b*h*h/2$
E così via, mentre tale ragionamento non funziona per le $Sy$
Cosa sbaglio ?
Ci sto pensando da ieri ma non capisco cosa sbaglio
Risposte
Sbagli per il fatto che devi considerare una ascissa curvilinea partendo da un punto estremo della sezione e scrivere il momento statico dell' elemento di area, in funzione dell' ascissa, rispetto al baricentro della sezione.
Direi che devi riguardarti la formula di Jourawski
Ad esempio per le ali le tensioni tangenziali sono :
$\tau_{zx}=(Ty*((bh^2)/4))/(b* 7/12 * bh^3 )$
Dove per calcolare $Sx=bh/2 * h/2$, ossia ho fatto: area della mezza ala * la distanza di $y_{G1}$ da 0
Mentre sull'anima la tensione massima è
$\tau_{zy} = (Ty*(5/8 bh^2))/(b*7/12* bh^3)$
dove $Sx=bh*h/2 + b*h/2 * h/4$ ossia ho fatto: area dell'intera ala * distanza del baricentro dell'ala da 0 + area di mezza anima* distanza del baricentro di mezza anima da 0
Non capisco come fare quando si ha Tx,come calcolare Sy...potete farmi un esempio, in che senso devo riguardare la formula ?
$\tau_{zx}=(Ty*((bh^2)/4))/(b* 7/12 * bh^3 )$
Dove per calcolare $Sx=bh/2 * h/2$, ossia ho fatto: area della mezza ala * la distanza di $y_{G1}$ da 0
Mentre sull'anima la tensione massima è
$\tau_{zy} = (Ty*(5/8 bh^2))/(b*7/12* bh^3)$
dove $Sx=bh*h/2 + b*h/2 * h/4$ ossia ho fatto: area dell'intera ala * distanza del baricentro dell'ala da 0 + area di mezza anima* distanza del baricentro di mezza anima da 0
Non capisco come fare quando si ha Tx,come calcolare Sy...potete farmi un esempio, in che senso devo riguardare la formula ?
in che senso devo riguardare la formula ?
Nel senso che, in base a quello che scrivi, non hai capito il suo significato e il significato dei termini che appaiono in essa...è molto probabile pure che dove l'hai studiata l'abbiano spiegata da cani.
Sì abbastanza male, l'ho fatta sul Nunziante ma dato che non si capiva molto ho cercato su uninettuno che diciamo era fatta un pochino meglio ma non è che sia spiegata bene, anzi
Ora ci sono gli esempi e speravo di capirla meglio svolgendoli ma non riesco
Ora ci sono gli esempi e speravo di capirla meglio svolgendoli ma non riesco
"Secco Jones":
Sbagli per il fatto che devi considerare una ascissa curvilinea partendo da un punto estremo della sezione e scrivere il momento statico dell' elemento di area, in funzione dell' ascissa, rispetto al baricentro della sezione.
cioè ad esempio per S_x ha fatto così:
perchè non è partito da un estremo ? cioè ha moltiplicato l'area della sezione considerata * la distanza del baricentro della zona considerata dal baricentro totale della sezione
Considera la seguente sezione generica $Omega$ di un solido di dsv su cui agisce unìazione di taglio verticale $T_2$, dal trinomio di Navier si ha:
$sigma_(33)=(T_2x_3x_2)/(I_1)$, quindi dall'equazione di bilancio:
$nabla*tau+(partialsigma_(33))/(x_3)=0$ si ottiene:
$nabla*tau=-(T_2x_2)/(I_1)$
SIa quindi $Omega_0 sub Omega$ una parte della sezione tale che il suo contorno $partialOmega_0$ sia contenuto in parte sul contorno $partialOmega$ della sezione e in parte sul segmento $AB$ in figura, integrando su tale sezione si ha:
$int_(Omega_0)nabla*taudA=-int_(Omega_0)T_2x_2/(I_1)dA=-T_2/I_1(S_1)_0$
Dove $(S_1)_0$ è il momento statico di $Omega_0$ rispetto all'asse $x_1$
Applicando il teorema della divergenza al primo integrale si ha inoltre:
$int_(Omega_0)nabla*taudA=int_(partialOmega_0)tau*nds$
Ricordando che il contorno $partialOmega$ della sezione le tensioni tangenziali sono tangenti alla sezione, l'ultimo integrale si riduce a:
$int_(partialOmega_0)tau*nds=int_(AB)tau*nds$
Detto $tau_n=tau*n$ e detto $hat(tau_n)$ il valor medio di $tau_n$ lungo il segmento AB di lunghezza $l$ si ha:
$int_(AB)tau*nds=hat(tau_n)l$ e quindi:
$hat(tau_n)=-T_2(S_1)_0/(I_1l)$
Che è la ben nota formula di Jourawski.
Analizzando quindi come si è ottenuta, essa ci permette di capire che:
1) E' stata ottnuta solo con le equazioni di bilancio sulla sezione, pertanto è una formula approssimata
2) Permette di calcolare il valore medio della tensione tangenziale agente ortogonalmente a una data retta $AB$ che divide la sezione, pertanto la formula è tanto più accurata quanto più il segmento AB è piccolo, quando AB è grande la formula perde di utilità.
Similmente se il taglio agisce orizzontalmente basta sostituire 1 con 2 e viceversa.
In base a quanto detto quindi, nella formula non ci devi mettere il momento statico di tutta la sezione, ma solo il momento statica della parte di sezione compresa tra il tratto AB con cui tagli la sezione e il resto.
p.s. in quelle dispense di cui posti l'immagine qui non si capisce veramente nulla, studia da qualche fonte più chiara...
$sigma_(33)=(T_2x_3x_2)/(I_1)$, quindi dall'equazione di bilancio:
$nabla*tau+(partialsigma_(33))/(x_3)=0$ si ottiene:
$nabla*tau=-(T_2x_2)/(I_1)$
SIa quindi $Omega_0 sub Omega$ una parte della sezione tale che il suo contorno $partialOmega_0$ sia contenuto in parte sul contorno $partialOmega$ della sezione e in parte sul segmento $AB$ in figura, integrando su tale sezione si ha:
$int_(Omega_0)nabla*taudA=-int_(Omega_0)T_2x_2/(I_1)dA=-T_2/I_1(S_1)_0$
Dove $(S_1)_0$ è il momento statico di $Omega_0$ rispetto all'asse $x_1$
Applicando il teorema della divergenza al primo integrale si ha inoltre:
$int_(Omega_0)nabla*taudA=int_(partialOmega_0)tau*nds$
Ricordando che il contorno $partialOmega$ della sezione le tensioni tangenziali sono tangenti alla sezione, l'ultimo integrale si riduce a:
$int_(partialOmega_0)tau*nds=int_(AB)tau*nds$
Detto $tau_n=tau*n$ e detto $hat(tau_n)$ il valor medio di $tau_n$ lungo il segmento AB di lunghezza $l$ si ha:
$int_(AB)tau*nds=hat(tau_n)l$ e quindi:
$hat(tau_n)=-T_2(S_1)_0/(I_1l)$
Che è la ben nota formula di Jourawski.
Analizzando quindi come si è ottenuta, essa ci permette di capire che:
1) E' stata ottnuta solo con le equazioni di bilancio sulla sezione, pertanto è una formula approssimata
2) Permette di calcolare il valore medio della tensione tangenziale agente ortogonalmente a una data retta $AB$ che divide la sezione, pertanto la formula è tanto più accurata quanto più il segmento AB è piccolo, quando AB è grande la formula perde di utilità.
Similmente se il taglio agisce orizzontalmente basta sostituire 1 con 2 e viceversa.
In base a quanto detto quindi, nella formula non ci devi mettere il momento statico di tutta la sezione, ma solo il momento statica della parte di sezione compresa tra il tratto AB con cui tagli la sezione e il resto.
p.s. in quelle dispense di cui posti l'immagine qui non si capisce veramente nulla, studia da qualche fonte più chiara...
Quindi vediamo se ho capito bene, le tensioni tangenziali nascono perché non abbiamo più un momento costante come si aveva nella flessione che portava a una tensione normale $\sigma_{33}$ costante; poichè in questo caso essendo presente un taglio costante abbiamo un momento lineare che ci porterà a una variazione delle $\sigma_{33}$ lungo l'asse z
Dopo il tuo enorme aiuto, cerco di rifare l'esercizio da capo.
L'unica cosa che mi manca da capire adesso è dove devo mettere il sistema di riferimento quando calcolo i vari momenti statici al variare del pezzetto di area che vado a considerare ?
nel senso che, se traccio un segmento AB in un punto qualunque dell'ala, che sistema di riferimento andrò a utilizzare ?
---------------------------
Finora studiando dal Nunziante e integrando con uninettuno mi sono trovato abbastanza bene, solo che questa parte è fatta veramente male su entrambi
L'unica cosa che mi manca da capire adesso è dove devo mettere il sistema di riferimento quando calcolo i vari momenti statici al variare del pezzetto di area che vado a considerare ?
nel senso che, se traccio un segmento AB in un punto qualunque dell'ala, che sistema di riferimento andrò a utilizzare ?
---------------------------
Finora studiando dal Nunziante e integrando con uninettuno mi sono trovato abbastanza bene, solo che questa parte è fatta veramente male su entrambi
Quindi vediamo se ho capito bene, le tensioni tangenziali nascono perché non abbiamo più un momento costante come si aveva nella flessione che portava a una tensione normale σ33 costante
No, ma perché queste complicazioni...prendi una trave incastrata a un estremo, con una forza di taglio T verticale applicata all'estremo libera, se tu consideri una sezione della trave a distanza $x_3$ dall'estremo libero, hai che, per l'equilibrio, la parte di trave dopo questa sezione genera sulla parte di trave prima della sezione una forza verticale T uguale e contraria a quella che agisce sull'estremo libero, questa T che si scambiano le due parti di trave deve essere generata da tensioni tangenziali, ecco quindi che sulla trave agiscono tensioni tangenziali quando è presente taglio.
L'unica cosa che mi manca da capire adesso è dove devo mettere il sistema di riferimento quando calcolo i vari momenti statici al variare del pezzetto di area che vado a considerare ?
Chiaramente: dove ti pare. Il risultato è lo stesso, solo che scegliendo bene il ssistema di riferimento ti puoi semplificare i calcoli.
Per esmpio, in una trave a T, sul pezzo di ala destro prendi un sdr $s_1$ che parte dell'estremo destro, sul pezzo d'ala sinistrao scegli $s_2$ che parte dall'estremo sinistro, per l'anima centrale puoi scegliere $s_3$ che parte dal basso.
Ovviamente, non c'è bisogno di calcolare esplicitamente quale andamento hanno le tensioni tangenziali (a meno che non te lo richiedano), con un po' di pratica vedrai che l'andamento è o lineare o parabolico a seconda di opportuni casi,e tenendo conto che sul contorno della sezione il taglio deve essere nullo, basta che ti calcoli le tensioni solo ai punti estremi e li colleghi da una retta o una parabola.
perché nella trave a T partendo da s_1, arrivati nella mezzeria della sezione a T si inverte il segno ?
cioè perchè il momento statico non è
$b*s_1* s_1/2$
come mai ?
cioè perchè il momento statico non è
$b*s_1* s_1/2$
come mai ?
Arrivato in quel punto devi considerare anche l' area dell' anima, ma ti conviene ripartire dall' altro estremo dell' ala superiore per fare i calcoli, sono meno laboriosi. Inoltre essendo la sezione simmetrica e caricata simmetricamente avrai un adamento simmetrico delle $tau$
Eh no...mica puoi considerare solo la parte gialla che hai evidenziato, se te tagli la sezione con una retta AB, la retta divide la sezione in due parti, qualunque tu scelga di queste due parti per calcolare il momento statico, il risultato è lo stesso, quindi conviene scegliere la parte "più semplice". Nel tuo caso, una volta che lungo $s_1$ arrivi all'anima centrale, la retta AB taglia anche l'anima, quindi se vuoi calcolare il momento statico della parte gialla, devi metterci anche l'anima verticale...che fa si che si inverta il segno. Il trucco è, una volta arrivati con $s_1$ nel mezzo dell'anima centrale, prendere $s_2$ da destra e da destra arrivare fino al centro...in questo modo ti semplifichi i calcoli.
edit. intanto che scrivevo non mi ero accorto che SeccoJones aveva risposto, abbiamo chiaramente detto la stessa cosa.
edit. intanto che scrivevo non mi ero accorto che SeccoJones aveva risposto, abbiamo chiaramente detto la stessa cosa.
Ok perfetto, quindi in una sezione a T con ala lunga H e alta H e spessa b, tagliando una sezione qualsiasi prima dell'inizio dell'anima sarà pari a
$b*s_1*s_1/2$
dove $b*s_1$ è l'area e $s_1 /2$ è la distanza del baricentro locale dall'asse $s_1$
mentre nella mezzaria avrò:
$b*h/2*b/2 + (h-b)*b/2 * b/4 $
ossia il momento statico di mezza ala + quello di mezza ala dato dall'area* distanza del baricentro dell'anima da $s_2$
giusto ?
$b*s_1*s_1/2$
dove $b*s_1$ è l'area e $s_1 /2$ è la distanza del baricentro locale dall'asse $s_1$
mentre nella mezzaria avrò:
$b*h/2*b/2 + (h-b)*b/2 * b/4 $
ossia il momento statico di mezza ala + quello di mezza ala dato dall'area* distanza del baricentro dell'anima da $s_2$
giusto ?
anzi credo proprio di aver sbagliato il momento statico è dato dall'area * la distanza tra il baricentro locale e quello globale dell'intero figura
Non capisco quelle relazioni che hai scritto, molto probabilmente sono sbagliate. Guarda questa immagine:
Parti a destra da $s_1$, e ti calcoli l'andamento del momento statico, una volta giunta in prossimità del raccordo con l'anima, in teoria, se continui oltre, dovresti considerare anche il momento statico dovuto all'anima...ecco, se lo spessore $b$ di ali e anime è sottile, questa cosa è trascurabile, ossia partendo a destra da $s_1$, ti puoi calcolare il momento statico fino alla mezzeria dell'anima come se questa non ci fosse, nell'immagine è rappresentata dalla parte rossa, ma non puoi andare oltre, ti devi fermare alla mezzeria se vuoi sfruttare questa approssimazione. Una volta giunto alla mezzeria, prendi $s_2$ a sinistra e fai la stessa cosa fino alla mezzeria, trascurando il contributo dell'anima.
Per quanto riguarda la parte rossa, il momento statico rispetto all'asse $x_1$ è $S_1=b*s_1*d$, essendo $d$ la distanza della mezzeria dell'ala rispetto all'asse $x_1$, il momento statico rispetto all'asse $x_2$ è $S_2=b*s_1*(l-s_1)$
Parti a destra da $s_1$, e ti calcoli l'andamento del momento statico, una volta giunta in prossimità del raccordo con l'anima, in teoria, se continui oltre, dovresti considerare anche il momento statico dovuto all'anima...ecco, se lo spessore $b$ di ali e anime è sottile, questa cosa è trascurabile, ossia partendo a destra da $s_1$, ti puoi calcolare il momento statico fino alla mezzeria dell'anima come se questa non ci fosse, nell'immagine è rappresentata dalla parte rossa, ma non puoi andare oltre, ti devi fermare alla mezzeria se vuoi sfruttare questa approssimazione. Una volta giunto alla mezzeria, prendi $s_2$ a sinistra e fai la stessa cosa fino alla mezzeria, trascurando il contributo dell'anima.
Per quanto riguarda la parte rossa, il momento statico rispetto all'asse $x_1$ è $S_1=b*s_1*d$, essendo $d$ la distanza della mezzeria dell'ala rispetto all'asse $x_1$, il momento statico rispetto all'asse $x_2$ è $S_2=b*s_1*(l-s_1)$
Mi sto perdendo in una cosa davvero elementare !
Ti volevo chiedere un altra cosa se invece volessi includere arrivati in mezzeria anche la mezza anima e volendo cioè semplificarla dopo (sapendo che il baricentro si trova a distanza h/4 dall'estremo di sopra, h è la lunghezza di tutta la sezione a T)
dovrei scrivere $S_1 = L*b*d+ (h-b)*(b/2)*(h/2 - h/4)$
ma dove sbaglio ?
Ti volevo chiedere un altra cosa se invece volessi includere arrivati in mezzeria anche la mezza anima e volendo cioè semplificarla dopo (sapendo che il baricentro si trova a distanza h/4 dall'estremo di sopra, h è la lunghezza di tutta la sezione a T)
dovrei scrivere $S_1 = L*b*d+ (h-b)*(b/2)*(h/2 - h/4)$
ma dove sbaglio ?
Vulplasir lascio la parola a te che tanto è inutile se diciamo in due le stesse cose 
Ti volevo chiedere un altra cosa se invece volessi includere arrivati in mezzeria anche la mezza anima
Il problema è che non puoi..cioè puoi ma per quanto detto, tagliando verticalmente l'anima, il tratto $AB$ è "abbastanza lungo" e quindi l'approssimazione di Jourawski sarebbe del tutto sballata...la mezzeria NON si taglia verticalmente (perché porterebbe lontani dalle condizioni di approssimazione di jourawski), partendo da destra a sinistra, una volta arrivati in prossimità del raccordo con l'anima, i pezzi rosso e verde li si continua fino alla mezzeria dell'anima, ma si tratta di una approssimazione, perchè se lo spessore dell'anima è abbastanza piccolo, si può ritenere che tra l'inizio del raccordo con l'anima e la sua mezzeria l'andamento delle tensioni sia continuo...si fa un errore del tutto trascurabile.
Mentre se vuoi calcolare l'andamento delle tensioni sull'anima, devi tagliare l'anima orizzontalmente.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo