[Scienza delle Costruzioni] Trave piana isostatica

[telerino]

Buonasera a tutti, vorrei postare questo esercizio che ho risolto interamente per verificare se le mie ipotesi sono corrette. Il testo chiede di calcolare le reazioni vincolari, riportare le espressioni analitiche di taglio e momento flettente e tracciarne i diagrammi. Allego i file con la trave e i diagrammi.
Il mio procedimento è questo (le convenzioni dei segni sono gli assi $a$ e $z$ positivi e momento positivo in senso antiorario):

sostituisco i vincoli con le rispettive reazioni vincolari, per il tratto A-C $\{(R_(Az) + R_(Cz)^(Sx) = 0),(R_(By) + R_(Cy)^(Sx)=0),(M_A - M -R_(By) * b=0):}$

per il tratto C-D $\{(-R_(Cz)^(Dx)=0),(R_(Cy)^(Dx)+R_D-qa=0),(-q(a^2)/2 + R_Da=0):}$
e infine per l'equilibrio al nodo in C $\{(R_(Cz)^(Sx)-R_(Cz)^(Dx)=0),(R_(Cy)^(Sx)-F+R_(Cy)^(Dx)=0):}$

alla fine risulta $\{(R_(Az)=0),(R_(By)=0),(M_A=M=256kN),(R_(Cz)^(Sx)=0),(R_(Cy)^(Sx)=F-q*(a/2)=0),(R_(Cz)^(Dx)=0),(R_(Cy)^(Dx)=q*(a/2)=16kN),(R_(Dy)=q*(a/2)=16kN):}$
Per quanto riguarda le espressioni analitiche di taglio e momento, nel tratto A-B risulta
$(dT)/(dz)=0 rarr T_((z))=A$
$M_((z))=\int (T dz)=Az+B$
e con le condizioni al contorno $M_((0))=M_A$ e $M_((a))=M$ risulta $A=0$ e $B=M_A=M$
il tratto B-C è completamente scarico e infine il tratto C-D
$T_((z))=-qz+A$ e $M_((z))=\int (T dz)=-qz^2 /2+Az+B$
dalle condizioni al contorno che il momento si annulla sia in C che in D risulta $B=0$ e $A=qa/2$
e quindi $T_((z))=-qz+16$ e $M_((z))=-qz^2 /2+qa/2*z$

che dite? sbagliato qualcosa? suggerimenti?

[ELWOOD1]

Ciao,
a me le reazioni esterne vengono:

${[M_A=M+(F+\frac{qa}{2})b],[V_B=F+(qa)/2],[V_D=(qa)/2]:}$

[telerino]

ok, quindi l'errore era nell'equazione di equilibrio al nodo cerniera in C che invece di $V_C^(Sx)-F+V_C^(Dx)=0$ deve essere $V_C^(Sx)-F-V_C^(Dx)=0$ saranno poi i calcoli successivi a mostrare il fatto che entrambe le forze di reazione della cerniera sono nello stesso verso, non devo imporlo preventivamente...giusto? grazie dell'aiuto.

[ELWOOD1]

In questo Cas non vi è equilibrio nel nodo C perché c'è la forza esterna che crea la discontinuità per cui la somma delle forze interne deve essere pari alla discontinuità
Per cui l equazione corretta è $V_C^{sx}+V_C^{dx}=-F$

[telerino]

scusa Elwood ma considerando un concio proprio sulla cerniera (lascia stare il resto della struttura)

l'equazione di equilibrio non è proprio $R^(y(I))−F−R^(y(II))=0$ ?
i risultati numerici risultano uguali con la tua equazione, ma cambiano le direzioni delle reazioni vincolari e quindi i diagrammi di taglio e momento.

[ELWOOD1]

Ti ripeto che a mio avviso non si tratta di imporre l'equilibrio, perchè l'equilibrio in C non c'è a causa della forza esterna.
Aspettiamo il parere di qualcun altro anche se potrei metterci una "mezza" mano sul fuoco

[ELWOOD1]

Vediamo di sostenere scientificamente quanto dico.

Chiamo A,B,C e D i punti nodali della struttura partendo da sinistra verso destra, imponiamo le equazioni di equilibrio globale:

${[V_B+V_D=F+qa \ \ (1)],[M_A-M-F*(a+b)-qa*(3/2a+b)+V_B*a+V_D*(2a+b)=0 \ \ (2)]:}$

Supponiamo di isolare il tratto $CD$, allora per l'equilibrio determiniamo

$V_D=(qa)/2$ e conseguentemente $V_C^{dx}=(qa)/2$

Per cui se inseriamo questo risultato nella $(1)$ otteniamo

$V_B=F+(qa)/2$

Se ora isoliamo il tratto $AC$ e imponiamo l'equilibrio in direzione verticale troviamo che

$V_C^{sx}=-V_B=-(F+(qa)/2)$

Si può quindi dire che

$V_C^{sx}+V_C^{dx}=-F$

come avevo detto.

[peppe.carbone.90]

Credo che state dicendo la stessa cosa, solo che telemaco ha ragione a dire che l'equilibrio in $C$ va imposto a causa della presenza del carico.
Ed infatti, quanto ottiene ELWOOD è proprio una equazione di equilibrio (della cerniera) che stabilisce che, affinché essa sia equilibrata, la somma delle sue reazioni deve essere pari al carico applicato (ovviamente non possono essere "uguali e opposte", perché ciò vale solo nel caso di cerniera scarica).

[ELWOOD1]

Ok bene, grazie Jojo per la precisazione.

[telerino]

Vi ringrazio molto per l'aiuto a capire il problema
vorrei chiedervi a questo proposito se l'interpretazione dei diagrammi di taglio e momento che ho dato alla struttura è corretta

[ELWOOD1]

Si sono corretti.
Ma ritornando alle equazioni di congruenza in $C$ mi accorgo che non avevi scritto esattamente la mia cosa....riguarda perchè ciò che dicevo è corretto.