[Scienza delle Costruzioni] Torsione, Neumann significato fisico
Salve a tutti,
nel problema di Neumann di una trave di sezione generica, non riesco a capire cosa rappresenta quest'equazione che deve essere rispettata dalla funzione ingobbamento $w(x,y)$ ossia:
$[(\partial w)/(\partial x) - (y-y_c)]n_x + [(\partial w)/(\partial y) - (x-x_c)]n_y = 0$
dove C = centro di torsione
n= normale
l'equazione è la terza equazione al contorno sulla superficie laterale
Domanda:
cosa indica questa condizione ? quando la sezione era circolare si vedeva che la tensione era sempre tangente alla superficie laterale e ortogonale al raggio vettore; qui mi viene da dire che tale equazione scritta senza esplicitare i termini è:
$\t_{zx} n_x + \t_{zy} n_y = 0$
il che implica che la tensione è tangente alla superficie laterale (ovviamente qua non abbiamo un raggio).....E' giusto ?
Vi ringrazio a priori.
nel problema di Neumann di una trave di sezione generica, non riesco a capire cosa rappresenta quest'equazione che deve essere rispettata dalla funzione ingobbamento $w(x,y)$ ossia:
$[(\partial w)/(\partial x) - (y-y_c)]n_x + [(\partial w)/(\partial y) - (x-x_c)]n_y = 0$
dove C = centro di torsione
n= normale
l'equazione è la terza equazione al contorno sulla superficie laterale
Domanda:
cosa indica questa condizione ? quando la sezione era circolare si vedeva che la tensione era sempre tangente alla superficie laterale e ortogonale al raggio vettore; qui mi viene da dire che tale equazione scritta senza esplicitare i termini è:
$\t_{zx} n_x + \t_{zy} n_y = 0$
il che implica che la tensione è tangente alla superficie laterale (ovviamente qua non abbiamo un raggio).....E' giusto ?
Vi ringrazio a priori.
Risposte
Si, è la condizione $tau*n=0$ lungo la frontiera $delOmega$ della generica sezione $Omega$ del cilindro di de Saint Venant
Ok grazie mille !
Un'altra informazione, non capisco perché $\nabla^2 w = 0$ ha come dominio la sezione e non il volume, eppure questa equazione scaturisce dalle equazioni indefinite di equilibrio che sono definite nel volume e non nella superficie solamente
Un'altra informazione, non capisco perché $\nabla^2 w = 0$ ha come dominio la sezione e non il volume, eppure questa equazione scaturisce dalle equazioni indefinite di equilibrio che sono definite nel volume e non nella superficie solamente
Perché w è definita solo sulla sezione: $w=w(x,y)$, stai considerando una generica sezione del cilindro, avendo prima dimostrato che le tensioni tangenziali non dipendono da $z$ o $x_3$, comunque lo chiami.
Vero !! Quindi svolgendo i conti dopo aver usato l'eq. indefinita di equilibrio+ l'eq al contorno ; tali equazioni svolte ci dicono che w sarà funzione solo di x e y, $w(x,y)$
Un'ultimissima cosa perché quando la sezione del cilindro è circolare l'asse di torsione passa per G, mentre per una sezione qualsiasi passa per un punto diverso dal baricentro provocando appunto un ingobbamento ?
Un'ultimissima cosa perché quando la sezione del cilindro è circolare l'asse di torsione passa per G, mentre per una sezione qualsiasi passa per un punto diverso dal baricentro provocando appunto un ingobbamento ?
Non so cosa sia questo asse di torsione, ma non ha nessuna importanza, quello che si studia sono le rotazioni relative tra due sezioni contigue del cilindro...inoltre si può dimostrare che qualsiasi asse viene preso come "asse di torsione", la soluzione del problema è la stessa a meno di uno spostamento rigido (che è quello che dice il teorema di esistenza e unicità del problema elastostatico lineare)...in pratica considerare un certo polo $(x_c, y_c)$ che interseca questo ipotetico asse di rotazione è del tutto arbitrario...la cosa più semplice è sempre mettersi nel baricentro...perché complicarsi le cose?
Ok perfetto ! il Nunziante quando parla di torsione nella trave di sezione generica cerca di complicarmele 
Quindi c'è un motivo per cui questa funzione ingobbamento w che sopra tramite Neumann abbiamo dimostrato essere funzione di x,y quindi w(x,y) non compare nelle travi con sezione circolare ? cioè perché solo per la sezione circolare si assume nullo lo spostamento w ?
Io questi argomenti li ho studiati da un punto di vista più generale e moderno, quando avrai dato l'esame, se vuoi capire un po' più a fondo questi concetti ti consiglio questo libro:
https://www.amazon.it/Fondamenti-di-mec ... 8833958930
Non è semplice perché usa una notazione tensoriale abbastanza "hard"
https://www.amazon.it/Fondamenti-di-mec ... 8833958930
Non è semplice perché usa una notazione tensoriale abbastanza "hard"
Grazie ! Lo prenderò sicuramente, dato che scienza delle costruzioni è la materia che più mi piace !
Allora tieniti pronto ad aiutarmi a decifrarlo !!!
Scherzo, grazie mille per l'aiuto e per la segnalazione del libro
Allora tieniti pronto ad aiutarmi a decifrarlo !!!
Scherzo, grazie mille per l'aiuto e per la segnalazione del libro
Per quanto riguarda l'altra domanda provo domani, ora è un po' tardi e questo argomento non è di certo semplice.
Perfetto ! A domani 
Allora...senza complicarsi le cose con questo centro di torsione, le tensioni tangenziali sulla generica sezione, in torsione pura, sono date da:
$sigma_(31)=mutheta((dw)/(dx_1)-x_2)$
$sigma_(32)=mutheta((dw)/(dx_2)+x_1)$
E questo è un risultato "esatto" valido per qualsiasi tipo di sezione, il problema è chiaramente determinare la $w$ di ogni sezione.
Nel caso di sezione circolare, si dimostra che le tensioni tangenziali sono rispettivamente:
$sigma_(31)=-muthetax_2$
$sigma_(31)=muthetax_1$
Confrontando questo risultato "esatto" solo per la sezione circolare, con il risultato esatto per qualsiasi sezione, si deduce che nella sezione circolare deve essere $(dw)/(dx_1)=(dw)/(dx_2)=0$ e quindi $w(x_1,x_2)=cost$
Il campo di spostamenti del cilindro, di qualsiasi sezione, su tutto il cilindro in torsione pura, si può dimostrare che è:
$u_1=-thetax_3x_2$
$u_2=thetax_3x_1$
$u_3=thetaw(x_1,x_2)$
Come si vede, se il momento torcente agisce su un estremo del cilindro, nell'estremo opposto $x_3=0$ non si ha nessuno spostamento della sezione (l'estremo x3=0 è tenuto "fisso", è come incastrato), più ci si avvicina all'estremo in cui è applicato il momento più gli spostamenti u1 e u2 sono maggiori, inoltre si vede che le sezioni si ingobbano, infatti u3 è in genere diverso da zero e pari a questa funzione di ingobbamento. nel caso della sezione circolare, per quanto detto, $w=cost$, quindi le sezioni traslano tutte della stessa quantità, dato che per quanto detto la soluzione del problema è unica a meno di uno spostamento rigido, è normale porre $w=cost=0$, ossia le sezioni circolari non si ingobbano.
$sigma_(31)=mutheta((dw)/(dx_1)-x_2)$
$sigma_(32)=mutheta((dw)/(dx_2)+x_1)$
E questo è un risultato "esatto" valido per qualsiasi tipo di sezione, il problema è chiaramente determinare la $w$ di ogni sezione.
Nel caso di sezione circolare, si dimostra che le tensioni tangenziali sono rispettivamente:
$sigma_(31)=-muthetax_2$
$sigma_(31)=muthetax_1$
Confrontando questo risultato "esatto" solo per la sezione circolare, con il risultato esatto per qualsiasi sezione, si deduce che nella sezione circolare deve essere $(dw)/(dx_1)=(dw)/(dx_2)=0$ e quindi $w(x_1,x_2)=cost$
Il campo di spostamenti del cilindro, di qualsiasi sezione, su tutto il cilindro in torsione pura, si può dimostrare che è:
$u_1=-thetax_3x_2$
$u_2=thetax_3x_1$
$u_3=thetaw(x_1,x_2)$
Come si vede, se il momento torcente agisce su un estremo del cilindro, nell'estremo opposto $x_3=0$ non si ha nessuno spostamento della sezione (l'estremo x3=0 è tenuto "fisso", è come incastrato), più ci si avvicina all'estremo in cui è applicato il momento più gli spostamenti u1 e u2 sono maggiori, inoltre si vede che le sezioni si ingobbano, infatti u3 è in genere diverso da zero e pari a questa funzione di ingobbamento. nel caso della sezione circolare, per quanto detto, $w=cost$, quindi le sezioni traslano tutte della stessa quantità, dato che per quanto detto la soluzione del problema è unica a meno di uno spostamento rigido, è normale porre $w=cost=0$, ossia le sezioni circolari non si ingobbano.
In questa dispensa è spiegato bene, anche la questione dell'asse di torsione (qui il campo di spostamenti lo da a priori, ma per esempio nel libro che ti ho suggerito lo dimostra con dei passaggi rognosi, definendo la rotazione $theta=(domega_(21))/(dx_3)$ essendo $omega_(21)$ la componente 2-1 del tensore delle piccole rotazioni del cilindro, lo chiama "curvatura torsionale")
http://webuser.unicas.it/dweb/gestione/ ... hp?id=2019
http://webuser.unicas.it/dweb/gestione/ ... hp?id=2019
L'unica cosa che vorrei chiederti, ma non per qualche mancanza in quanto la tua spiegazione è praticamente perfetta !
E' la seguente:
la soluzione del problema è unica a meno di uno spostamento rigido; perché la $w(x,y)$ soluzione del problema di Neumann esiste ed è unica a meno di una costante, quindi andando a sostituire il risultato all'interno degli spostamenti si vede che in $u_3$ la soluzione è unica a meno di uno spostamento rigido...giusto ?
Ora do uno sguardo al link
Un'ultima curiosità :
è complicato dimostrare matematicamente che il problema di Neumann ammette soluzione ed è unica ?
E' la seguente:
la soluzione del problema è unica a meno di uno spostamento rigido; perché la $w(x,y)$ soluzione del problema di Neumann esiste ed è unica a meno di una costante, quindi andando a sostituire il risultato all'interno degli spostamenti si vede che in $u_3$ la soluzione è unica a meno di uno spostamento rigido...giusto ?
Ora do uno sguardo al link
Un'ultima curiosità :
è complicato dimostrare matematicamente che il problema di Neumann ammette soluzione ed è unica ?
Si, w è unica a meno di una costante, ponendo $u3=thetaw+c$, quella c non è altro che una traslazione rigida lungo $x_3$, che per quanto detto, è ininfluente.
Ah boh, questa è una questione di analisi matematica, in particolare di equazioni differenziali alle derivate parziali...in tutto ciò che ho studiato di analisi si è sempre preso per vero, probabilmente perché la dimostrazione non è di certo facilissima.
è complicato dimostrare matematicamente che il problema di Neumann ammette soluzione ed è unica ?
Ah boh, questa è una questione di analisi matematica, in particolare di equazioni differenziali alle derivate parziali...in tutto ciò che ho studiato di analisi si è sempre preso per vero, probabilmente perché la dimostrazione non è di certo facilissima.
Grazie mille per l'enorme aiuto che mi hai dato
"Faffa":
Quindi c'è un motivo per cui questa funzione ingobbamento w che sopra tramite Neumann abbiamo dimostrato essere funzione di x,y quindi w(x,y) non compare nelle travi con sezione circolare ? cioè perché solo per la sezione circolare si assume nullo lo spostamento w ?
Non so se l' altro utente ti ha già risposto ma per la sezione circolare la funzione di ingobbamento è nulla in quanto qualsiasi asse passante per il centro è un asse di simmetria per la sezione
Si, grazie anche a te 
avevamo già risolto
avevamo già risolto
Salve, se si volesse passare dalla teoria alla pratica con un semplice esempio come una trave a sezione retta quadrata: come si deve operare per trovare la funzione ingobbamento?
Posso scrivere l'equilibrio indefinito $\Delta$ $\omega$ = 0 come $\omega=Ax+By+Cx y+D+E(x^2+y^2)$ ?
Osservando la condizione di equilibrio al bordo mi sono fermato al polinomio di grado 2.
Per scrivere l'equilibrio infinitesimo al bordo, spezzo il perimetro del quadrato nei 4 lati.
Lato con punti P t.c. Xp=l/2 e Yp varia tra - l/2 e l/2; l'ingobbamento mi esce $\omega=xy$
Lato con punti Q t.c. Xq varia tra - l/2 e l/2 e Yq=-l/2; l'ingobbamento mi esce $\omega=-xy$
Sicuramente sbaglio perché l'ingobbamento é una funzione unica per l'intera sezione retta, ma non capisco dove.
Posso scrivere l'equilibrio indefinito $\Delta$ $\omega$ = 0 come $\omega=Ax+By+Cx y+D+E(x^2+y^2)$ ?
Osservando la condizione di equilibrio al bordo mi sono fermato al polinomio di grado 2.
Per scrivere l'equilibrio infinitesimo al bordo, spezzo il perimetro del quadrato nei 4 lati.
Lato con punti P t.c. Xp=l/2 e Yp varia tra - l/2 e l/2; l'ingobbamento mi esce $\omega=xy$
Lato con punti Q t.c. Xq varia tra - l/2 e l/2 e Yq=-l/2; l'ingobbamento mi esce $\omega=-xy$
Sicuramente sbaglio perché l'ingobbamento é una funzione unica per l'intera sezione retta, ma non capisco dove.
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