Scienza delle costruzioni: torsione di sezione rettangolare
Mi sono bloccato su un passaggio del mio libro riguardante la torsione di una sezione sottile rettangolare. Vi riporto il testo:
Prescindendo dall'andamento delle tensioni tangenziali nelle zone di estremità, ci limitiamo a imporre le condizioni al contorno solo per i lati maggiori del rettangolo.
Assunto il riferimento Gxy principale d'inerzia, le equazioni dei lati maggiori risultano:
$ x-b/2 = 0 $ e $ x+b/2 = 0 $ Domanda: queste cosa sono? cosa vuol dire equazioni dei lati?
essendo b lo spessore del rettangolo.
procediamo con la funzione delle tensioni. La condizione al contorno $ F = 0 $ è senz'altro soddisfatta sui lati maggiori se si pone:
$ F = c (x-b/2)(x+b/2) = c(x^2 - (b^2)/4) $ dove c è una costante da determinarsi.
L'equazione di poisson: $ nabla^2 F = -2 M_t / J_t $ impone la condizione: $ 2c = -2 M_t / J_t $ da cui $ c = M_t / J_t $ Domanda: perchè proprio $ 2c $ ?
La funzione $ F = M_t / J_t (x^2 - (b^2) /4) $ soddisfa quindi l'equazione di poisson per la funzione delle tensioni tranna che nelle due estremità.
In generale non mi è molto chiaro tutto il passaggio, ma immagino sia dovuto al dubbio che ho sulle prime due equazioni. grazie in anticipo!
Prescindendo dall'andamento delle tensioni tangenziali nelle zone di estremità, ci limitiamo a imporre le condizioni al contorno solo per i lati maggiori del rettangolo.
Assunto il riferimento Gxy principale d'inerzia, le equazioni dei lati maggiori risultano:
$ x-b/2 = 0 $ e $ x+b/2 = 0 $ Domanda: queste cosa sono? cosa vuol dire equazioni dei lati?
essendo b lo spessore del rettangolo.
procediamo con la funzione delle tensioni. La condizione al contorno $ F = 0 $ è senz'altro soddisfatta sui lati maggiori se si pone:
$ F = c (x-b/2)(x+b/2) = c(x^2 - (b^2)/4) $ dove c è una costante da determinarsi.
L'equazione di poisson: $ nabla^2 F = -2 M_t / J_t $ impone la condizione: $ 2c = -2 M_t / J_t $ da cui $ c = M_t / J_t $ Domanda: perchè proprio $ 2c $ ?
La funzione $ F = M_t / J_t (x^2 - (b^2) /4) $ soddisfa quindi l'equazione di poisson per la funzione delle tensioni tranna che nelle due estremità.
In generale non mi è molto chiaro tutto il passaggio, ma immagino sia dovuto al dubbio che ho sulle prime due equazioni. grazie in anticipo!
Risposte
1)le equazioni dei lati sono semplicemente le
equazioni cartesiane per i due segmenti verticali.
2)Il Laplaciano è la divergenza del gradiente: deriva perciò $F$...
equazioni cartesiane per i due segmenti verticali.
2)Il Laplaciano è la divergenza del gradiente: deriva perciò $F$...
ok, giusto. mi sapresti dire ancora da dove salta fuori questa formula?
$ F=c(x−b2)(x+b2)=c(x2−b24) $
$ F=c(x−b2)(x+b2)=c(x2−b24) $
Casomai è
$F=C(y-b/2)(y+b/2)=C(y-\frac{b^2}{4})$
$F=C(y-b/2)(y+b/2)=C(y-\frac{b^2}{4})$
si scusa il copia incolla mi è venuto male... in ogni caso perchè F è uguale proprio alleequazioni cartesiane per i due segmenti verticali moltiplicate per una costante?
Ciò deriva dalla proprietà di $F$
per essere sintetici, $F$ deve essere una funzione tale per cui $\tau_{zx}=(\partial F)/(\partial x)$ e $\tau_{zy}=-(\partial F)/(\partial y) \ \ (1)$
e in generale deve essere verificata la condizione di equilibrio, cioè $\frac{\partial \tau_{zx}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{zy}}{\partial y}=0 \ \ (2)$
Quindi la tua $F$ definita con le condizioni cartesiane verifica esattamente le 2 condizioni. Provare per credere
per essere sintetici, $F$ deve essere una funzione tale per cui $\tau_{zx}=(\partial F)/(\partial x)$ e $\tau_{zy}=-(\partial F)/(\partial y) \ \ (1)$
e in generale deve essere verificata la condizione di equilibrio, cioè $\frac{\partial \tau_{zx}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{zy}}{\partial y}=0 \ \ (2)$
Quindi la tua $F$ definita con le condizioni cartesiane verifica esattamente le 2 condizioni. Provare per credere
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