[Scienza delle Costruzioni]: stato tensionale sezione a C
Buonasera a tutti, scusate l'ora e la giornata ma avrei bisogno di una mano nella risoluzione del seguente esercizio d'esame (de saint venant)
L'unico contributo è dato ovviamente dal taglio Ty = 5000N. Ho calcolato dapprima le coordinate del baricentro ottenendo (posizionando il sistema di riferimento arbitrariamente in basso a sinistra nella sezione a C, all'inizio sulla base inferiore a sx, con asse x positivo verso sinistra e asse y positivo verso il basso) e ottenendo:
$x_G$ = -22,83 mm
$y_G$ = 42,11 mm
dopodichè ho calcolato inerzia e momenti statici per applicare la formula di jourawsky e determinare le tensioni tangenziali nelle differenti aree rettangolari in cui ho diviso la sezione (se dovessero servire i calcoli scritti li posterò, anche perchè mi interessa un riscontro sui risultati che ho ottenuto) e ottenendo:
$\tau_{zm1}$ = -12,79 MPa
$\tau_{zm2}$ = -5,99 MPa
$\tau_{zm3}$ = 10,92 MPa
Successivamente ho iniziato a determinare il centro di taglio per capire se il taglio era puro o apportava un contributo torsionale sulla sezione. Il risultato mi viene 36 mm. Ora vorrei capire se il risultato è coerente o meno e inoltre vorrei capire come poter determinare l'altra coordinata del centro di taglio (y_T, io ho determinato x_T)
Grazie a chiunque mi riuscirà ad aiutare.
L'unico contributo è dato ovviamente dal taglio Ty = 5000N. Ho calcolato dapprima le coordinate del baricentro ottenendo (posizionando il sistema di riferimento arbitrariamente in basso a sinistra nella sezione a C, all'inizio sulla base inferiore a sx, con asse x positivo verso sinistra e asse y positivo verso il basso) e ottenendo:
$x_G$ = -22,83 mm
$y_G$ = 42,11 mm
dopodichè ho calcolato inerzia e momenti statici per applicare la formula di jourawsky e determinare le tensioni tangenziali nelle differenti aree rettangolari in cui ho diviso la sezione (se dovessero servire i calcoli scritti li posterò, anche perchè mi interessa un riscontro sui risultati che ho ottenuto) e ottenendo:
$\tau_{zm1}$ = -12,79 MPa
$\tau_{zm2}$ = -5,99 MPa
$\tau_{zm3}$ = 10,92 MPa
Successivamente ho iniziato a determinare il centro di taglio per capire se il taglio era puro o apportava un contributo torsionale sulla sezione. Il risultato mi viene 36 mm. Ora vorrei capire se il risultato è coerente o meno e inoltre vorrei capire come poter determinare l'altra coordinata del centro di taglio (y_T, io ho determinato x_T)
Grazie a chiunque mi riuscirà ad aiutare.
Risposte
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"sellacollesella":
Da quello che ho capito, hai fissato un sistema di riferimento \(O\bar{x}\bar{y}\) e hai calcolato le coordinate
\(\bar{x}_G\) e \(\bar{y}_G\) del baricentro della sezione retta considerata. Credo che anche l'ordinata sia negativa.
Quindi, considerato il sistema di riferimento baricentrico \(Gxy\) con gli assi orientati come in foto,
suppongo tu abbia calcolato \(J_x\), \(J_y\) e \(J_{xy}\), dove quest'ultimo non essendo nullo implica che il
sistema di riferimento centrale d'inerzia \(G\xi\eta\) sia ruotato di un angolo \(\alpha\) rispetto a \(Gxy\).
Scrivo questo perché temo tu non abbia tenuto conto di tale fatto, il quale è dovuto essenzialmente al
fatto che la sezione retta considerata è sprovvista di assi di simmetria e quindi il sistema di riferimento centrale d'inerzia non sia banalmente individuabile. E questo fatto è cruciale, perché le "formulette"
con cui si è soliti calcolare le tensioni normali e le tensioni tangenziali sono dolci e carine solamente
perché sono riferite a \(G\xi\eta\), altrimenti sarebbero moooooooolto più spinose e ingarbugliate!
Una volta individuato tale sistema di riferimento, allora dovrai anche proiettare \(T_y\) lungo gli assi \(\xi\),
\(\eta\) andando di fatto a sdoppiare il problema in due tagli retti: uno parallelo a \(\xi\), uno parallelo ad \(\eta\).
In tal modo potrai calcolare le tensioni tangenziali per entrambi i tagli retti, che integrate porteranno
alle forze taglianti risultanti in ogni tratto della sezione. Quindi, imponendo l'equilibrio alla rotazione
rispetto al centro di taglio \(C\) per entrambi i tagli otterrai un sistema lineare nelle incognite \(\bar{x}_C\), \(\bar{y}_C\).
Insomma, la mancanza di simmetria la si paga moooooooolto cara in termini di calcolo!
Buonasera, innanzitutto ti ringrazio per la risposta.
Per quanto riguarda $ y_G $ ovviamente si è negativo mi sono scordato di mettere il segno meno:
$ y_G $ = -42,11
Per quanto concerne la questione del sistema di riferimento in effetti ciò che dici è vero e io non me sono reso conto quindi adesso proverò a rifare i calcoli e vedere cosa mi esce fuori. Ti ringrazio ancora.
"Karim_the_dream":[/quote]
[quote="sellacollesella"]Da quello che ho capito, hai fissato un sistema di riferimento \(O\bar{x}\bar{y}\) e hai calcolato le coordinate
\(\bar{x}_G\) e \(\bar{y}_G\) del baricentro della sezione retta considerata. Credo che anche l'ordinata sia negativa.
Quindi, considerato il sistema di riferimento baricentrico \(Gxy\) con gli assi orientati come in foto,
suppongo tu abbia calcolato \(J_x\), \(J_y\) e \(J_{xy}\), dove quest'ultimo non essendo nullo implica che il
sistema di riferimento centrale d'inerzia \(G\xi\eta\) sia ruotato di un angolo \(\alpha\) rispetto a \(Gxy\).
Scrivo questo perché temo tu non abbia tenuto conto di tale fatto, il quale è dovuto essenzialmente al
fatto che la sezione retta considerata è sprovvista di assi di simmetria e quindi il sistema di riferimento centrale d'inerzia non sia banalmente individuabile. E questo fatto è cruciale, perché le "formulette"
con cui si è soliti calcolare le tensioni normali e le tensioni tangenziali sono dolci e carine solamente
perché sono riferite a \(G\xi\eta\), altrimenti sarebbero moooooooolto più spinose e ingarbugliate!
Una volta individuato tale sistema di riferimento, allora dovrai anche proiettare \(T_y\) lungo gli assi \(\xi\),
\(\eta\) andando di fatto a sdoppiare il problema in due tagli retti: uno parallelo a \(\xi\), uno parallelo ad \(\eta\).
In tal modo potrai calcolare le tensioni tangenziali per entrambi i tagli retti, che integrate porteranno
alle forze taglianti risultanti in ogni tratto della sezione. Quindi, imponendo l'equilibrio alla rotazione
rispetto al centro di taglio \(C\) per entrambi i tagli otterrai un sistema lineare nelle incognite \(\bar{x}_C\), \(\bar{y}_C\).
Insomma, la mancanza di simmetria la si paga moooooooolto cara in termini di calcolo!
Allora calcolando l'angolo $ \alpha $ tra il vecchio sistema $ G_{xy} $ e il nuovo sistema $ G_{\xi \eta} $ ho ricavato un angolo di:
$ \alpha $ = -π/8
quindi il nuovo sistema è ruotato di 22,5 gradi in senso orario rispetto al vecchio.
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