[Scienza delle Costruzioni] Spostamenti corpo rigido
Ciao a tutti.
In questi giorni sto studiando la cinematica del corpo rigido, nell'ambito della scienza delle costruzioni, e ho un problema con dei passaggi riportati nella dispensa da cui sto studiando (fornita dal docente) che non riesco a capire.
Cerco di spiegare le difficoltà riscontrate in modo semplice e conciso.
Sto studiando gli spostamenti, e le relative espressioni analitiche, che riguardano i corpi rigidi; in particolare ho già studiato la traslazione rigida piana, la rotazione rigida piana e la rototraslazione rigida piana.
Per quest'ultima si ha la seguente relazione analitica:
$u(x)= [ ( u_1 ),( u_2 ) ]=[ ( u^Omega_1 ),( u^Omega_2 ) ]+[ ( cosvarphi-1 , -senvarphi ),( senvarphi , cosvarphi-1 ) ]*[ ( x_1 , -x^Omega_1 ),( x_2 , -x^Omega_2 ) ] $
Dove:
$u(x)$ rappresenta il vettore spostamento di un punto del corpo;
$\varphi$ è l'angolo di rotazione;
$Omega$ è il punto prescelto rispetto al quale si sono ricondotti gli spostamenti di traslazione e rotazione.
$x_1$ e $x^Omega_1$ sono rispettivamente le ascisse del punto generico del corpo e del punto $Omega$;
$x_2$ e $x^Omega_2$ sono rispettivamente le ordinate del punto generico del corpo e del punto $Omega$.
Il sistema di riferimento cartesiano fissato è il seguente: $Ox_1x_2x_3$ e versori degli assi coordinati $e_1$, $e_2$ ,$e_3$.
Fin quì non ho avuto molti problemi.
Successivamente, si introduce l'ipotesi dei piccoli spostamenti rigidi che porta ad una semplificazione dell'espressione di rototraslazione scritta su. In particolare, si pressuppone che l'angolo di rotazione sia piccolo per cui:
$ varphi ~= 0 rArr senvarphi ~= varphi $ , $cosvarphi ~= 1$
La formula di rototraslazione, tenendo conto di quanto scritto, assume la forma
$u(x)= [ ( u_1 ),( u_2 ) ]=[ ( u^Omega_1 ),( u^Omega_2 ) ]+[ ( 0 , -varphi ),( varphi , 0 ) ]*[ ( x_1 , -x^Omega_1 ),( x_2 , -x^Omega_2 ) ] $
A questo punto si pone
$W =[ ( 0 , -varphi ),( varphi , 0 ) ]$
e quindi in definitvia, lo spostamento di rototraslazione di un generico punto del corpo rigido è dato da
$u(x)= u(x_Omega) + W(x - x_Omega)$
Dove $x$ è il vettore posizione del generico punto e $x_Omega$ è il vettore posizione del punto $Omega$.
Adesso riporto la parte in cui trovo difficoltà. Allora, nella dispensa si dice che tale formula è valida anche nello spazio e scrive subito la matrice $W$ nel seguente modo:
$W= [ ( 0 , -varphi_3 , varphi_2 ),( varphi_3 , 0 , -varphi_1 ),( -varphi_2 , varphi_1 , 0 ) ] $
Poi dice: si introduce il vettore assiale delle piccole rotazioni:
$omega=[varphi_1$, $varphi_2$, $varphi_3$]$^T$
E poi scrive che:
$u(x)= u(x_Omega) + omega^^(x - x_Omega)$
Bene, quest'ultima parte è quella che non ho capito, anche perchè non ero presente a lezione il giorno in cui l'ha spiegata.
In particolare non ho capito:
1. Perchè estendendo i ragionamenti fatti al caso spaziale la matrice $W$ assume quella forma;
2. Cosa è questo vettore assiale delle piccole rotazioni;
3. Come si ricava l'ultima espressione scritta, ovvero come mai spunta il prodotto vettoriale.
Per maggiore completezza riporto la pagina a cui ho fatto riferimento e un file trovato in rete in cui viene detta praticamente la stessa cosa:
- Dispensa: http://imageshack.us/photo/my-images/10 ... tiva1.jpg/
- File trovato in rete (pag. 43): http://www.ateneonline.it/nunziante/6100-6_anteCap2.pdf
Concludo questo mio post rinraziandovi in anticipo per l'aiuto e sperando di essere stato chiaro.
In questi giorni sto studiando la cinematica del corpo rigido, nell'ambito della scienza delle costruzioni, e ho un problema con dei passaggi riportati nella dispensa da cui sto studiando (fornita dal docente) che non riesco a capire.
Cerco di spiegare le difficoltà riscontrate in modo semplice e conciso.
Sto studiando gli spostamenti, e le relative espressioni analitiche, che riguardano i corpi rigidi; in particolare ho già studiato la traslazione rigida piana, la rotazione rigida piana e la rototraslazione rigida piana.
Per quest'ultima si ha la seguente relazione analitica:
$u(x)= [ ( u_1 ),( u_2 ) ]=[ ( u^Omega_1 ),( u^Omega_2 ) ]+[ ( cosvarphi-1 , -senvarphi ),( senvarphi , cosvarphi-1 ) ]*[ ( x_1 , -x^Omega_1 ),( x_2 , -x^Omega_2 ) ] $
Dove:
$u(x)$ rappresenta il vettore spostamento di un punto del corpo;
$\varphi$ è l'angolo di rotazione;
$Omega$ è il punto prescelto rispetto al quale si sono ricondotti gli spostamenti di traslazione e rotazione.
$x_1$ e $x^Omega_1$ sono rispettivamente le ascisse del punto generico del corpo e del punto $Omega$;
$x_2$ e $x^Omega_2$ sono rispettivamente le ordinate del punto generico del corpo e del punto $Omega$.
Il sistema di riferimento cartesiano fissato è il seguente: $Ox_1x_2x_3$ e versori degli assi coordinati $e_1$, $e_2$ ,$e_3$.
Fin quì non ho avuto molti problemi.
Successivamente, si introduce l'ipotesi dei piccoli spostamenti rigidi che porta ad una semplificazione dell'espressione di rototraslazione scritta su. In particolare, si pressuppone che l'angolo di rotazione sia piccolo per cui:
$ varphi ~= 0 rArr senvarphi ~= varphi $ , $cosvarphi ~= 1$
La formula di rototraslazione, tenendo conto di quanto scritto, assume la forma
$u(x)= [ ( u_1 ),( u_2 ) ]=[ ( u^Omega_1 ),( u^Omega_2 ) ]+[ ( 0 , -varphi ),( varphi , 0 ) ]*[ ( x_1 , -x^Omega_1 ),( x_2 , -x^Omega_2 ) ] $
A questo punto si pone
$W =[ ( 0 , -varphi ),( varphi , 0 ) ]$
e quindi in definitvia, lo spostamento di rototraslazione di un generico punto del corpo rigido è dato da
$u(x)= u(x_Omega) + W(x - x_Omega)$
Dove $x$ è il vettore posizione del generico punto e $x_Omega$ è il vettore posizione del punto $Omega$.
Adesso riporto la parte in cui trovo difficoltà. Allora, nella dispensa si dice che tale formula è valida anche nello spazio e scrive subito la matrice $W$ nel seguente modo:
$W= [ ( 0 , -varphi_3 , varphi_2 ),( varphi_3 , 0 , -varphi_1 ),( -varphi_2 , varphi_1 , 0 ) ] $
Poi dice: si introduce il vettore assiale delle piccole rotazioni:
$omega=[varphi_1$, $varphi_2$, $varphi_3$]$^T$
E poi scrive che:
$u(x)= u(x_Omega) + omega^^(x - x_Omega)$
Bene, quest'ultima parte è quella che non ho capito, anche perchè non ero presente a lezione il giorno in cui l'ha spiegata.
In particolare non ho capito:
1. Perchè estendendo i ragionamenti fatti al caso spaziale la matrice $W$ assume quella forma;
2. Cosa è questo vettore assiale delle piccole rotazioni;
3. Come si ricava l'ultima espressione scritta, ovvero come mai spunta il prodotto vettoriale.
Per maggiore completezza riporto la pagina a cui ho fatto riferimento e un file trovato in rete in cui viene detta praticamente la stessa cosa:
- Dispensa: http://imageshack.us/photo/my-images/10 ... tiva1.jpg/
- File trovato in rete (pag. 43): http://www.ateneonline.it/nunziante/6100-6_anteCap2.pdf
Concludo questo mio post rinraziandovi in anticipo per l'aiuto e sperando di essere stato chiaro.
Risposte
Se hai studiato meccanica razionale, la notazione contenente il prodotto vettoriale dovrebbe ricordarti la formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi:
$[vec(v_P)=vec(v_O)+vec\omega^^(P-O)] rarr [vec(v_P)*dt=vec(v_O)*dt+vec\omega*dt^^(P-O)] rarr [dvecP=dvecO+dvec\phi^^(P-O)]$
Inoltre:
$dvec\phi^^(P-O)=((vec(i_1),vec(i_2),vec(i_3)),(\phi_1,\phi_2,\phi_3),(x_1^P-x_1^O,x_2^P-x_2^O,x_3^P-x_3^O))=$
$=[-\phi_3(x_2^P-x_2^O)+\phi_2(x_3^P-x_3^O)]vec(i_1)$
$+[\phi_3(x_1^P-x_1^O)-\phi_1(x_3^P-x_3^O)]vec(i_2)$
$+[-\phi_2(x_1^P-x_1^O)+\phi_1(x_2^P-x_2^O)]vec(i_3)$
è uguale a:
$((0,-\phi_3,\phi_2),(\phi_3,0,-\phi_1),(-\phi_2,\phi_1,0))((x_1^P-x_1^O),(x_2^P-x_2^O),(x_3^P-x_3^O))=((-\phi_3(x_2^P-x_2^O)+\phi_2(x_3^P-x_3^O)),(\phi_3(x_1^P-x_1^O)-\phi_1(x_3^P-x_3^O)),(-\phi_2(x_1^P-x_1^O)+\phi_1(x_2^P-x_2^O)))$
Tra l'altro, questo spiega anche per quale motivo la matrice $W$ si possa esprimere in quella forma. Infine, si comprende come il vettore assiale delle piccole rotazioni sia un vettore infinitesimo diretto lungo l'asse di istantanea rotazione e di modulo pari all'angolo di rotazione infinitesimo.
$[vec(v_P)=vec(v_O)+vec\omega^^(P-O)] rarr [vec(v_P)*dt=vec(v_O)*dt+vec\omega*dt^^(P-O)] rarr [dvecP=dvecO+dvec\phi^^(P-O)]$
Inoltre:
$dvec\phi^^(P-O)=((vec(i_1),vec(i_2),vec(i_3)),(\phi_1,\phi_2,\phi_3),(x_1^P-x_1^O,x_2^P-x_2^O,x_3^P-x_3^O))=$
$=[-\phi_3(x_2^P-x_2^O)+\phi_2(x_3^P-x_3^O)]vec(i_1)$
$+[\phi_3(x_1^P-x_1^O)-\phi_1(x_3^P-x_3^O)]vec(i_2)$
$+[-\phi_2(x_1^P-x_1^O)+\phi_1(x_2^P-x_2^O)]vec(i_3)$
è uguale a:
$((0,-\phi_3,\phi_2),(\phi_3,0,-\phi_1),(-\phi_2,\phi_1,0))((x_1^P-x_1^O),(x_2^P-x_2^O),(x_3^P-x_3^O))=((-\phi_3(x_2^P-x_2^O)+\phi_2(x_3^P-x_3^O)),(\phi_3(x_1^P-x_1^O)-\phi_1(x_3^P-x_3^O)),(-\phi_2(x_1^P-x_1^O)+\phi_1(x_2^P-x_2^O)))$
Tra l'altro, questo spiega anche per quale motivo la matrice $W$ si possa esprimere in quella forma. Infine, si comprende come il vettore assiale delle piccole rotazioni sia un vettore infinitesimo diretto lungo l'asse di istantanea rotazione e di modulo pari all'angolo di rotazione infinitesimo.
Ciao. Purtroppo non ho studiato ancora meccanica razionale, anche se sono consapevole del fatto che essa è propedeutica a molte materie, tra cui scienza delle costruzioni.
Quindi, a quanto ho capito, posso in definitiva dire che:
$W(x-x^Omega)=omega ^^ (x-x^Omega)$ ?
Poi, dato che non sono molto perspicace, da dove vedo che omega è un vettore infinitesimo diretto lungo l'asse di istantanea rotazione e di modulo pari all'angolo di rotazione infinitesimo?
Quindi, a quanto ho capito, posso in definitiva dire che:
$W(x-x^Omega)=omega ^^ (x-x^Omega)$ ?
Poi, dato che non sono molto perspicace, da dove vedo che omega è un vettore infinitesimo diretto lungo l'asse di istantanea rotazione e di modulo pari all'angolo di rotazione infinitesimo?
"JoJo_90":
Quindi, a quanto ho capito, posso in definitiva dire che $W(x-x^Omega)=omega^^(x-x^Omega)$.
Se non ti dispiace, continuo ad utilizzare le mie notazioni. Come avrai avuto modo di verificare, esse sono del tutto equivalenti, anche se il tuo $[vec\omega]$ è il mio $[dvec\phi]$. Del resto, in meccanica razionale $[vec\omega]$ ha le dimensioni di una velocità angolare, mentre nella tua definizione compaiono degli angoli infinitesimi, accreditando il mio $[dvec\phi]$. Con queste premesse, $W*(P-O)=dvec\phi^^(P-O)$ è assolutamente corretta.
"JoJo_90":
Poi, dato che non sono molto perspicace, da dove vedo che omega è un vettore infinitesimo diretto lungo l'asse di istantanea rotazione e di modulo pari all'angolo di rotazione infinitesimo?
In meccanica razionale si dimostra che il vettore $[vec\omega]$ inteso come velocità angolare, quindi $[|vec\omega|=|(d\phi)/(dt)|]$, è diretto lungo l'asse di istantanea rotazione. Inoltre $|vec\omega|*|dt|=|d\phi|=|dvec\phi|$. Quindi, più correttamente, non $|vec\omega|$ ma $|dvec\phi|$ è uguale all'angolo di rotazione infinitesimo.
Ok, credo di aver capito, anche se per penso che una maggiore consapevolezza mi verrà dallo studio della meccanica razionale.
Se non ti dispisace avrei un ultima cosa da chiedere, perchè mi piacerebbe capire piuttosto che accontentarmi delle sole formule.
In termini di informazioni sulla descrizione del moto del corpo rigido, quali possono essere, se ci sono, le differenze tra l'espressione:
$u(x)= u(x_Omega)+W(x - x_Omega)$
e l'espressione "alternativa"
$u(x)= u(x_Omega)+omega ^^ (x - x_Omega)$
Grazie ancora.
P.S. Scusa se anche io continuo ad usare le mie notazioni, al quanto approssimative e informali.
Se non ti dispisace avrei un ultima cosa da chiedere, perchè mi piacerebbe capire piuttosto che accontentarmi delle sole formule.
In termini di informazioni sulla descrizione del moto del corpo rigido, quali possono essere, se ci sono, le differenze tra l'espressione:
$u(x)= u(x_Omega)+W(x - x_Omega)$
e l'espressione "alternativa"
$u(x)= u(x_Omega)+omega ^^ (x - x_Omega)$
Grazie ancora.
P.S. Scusa se anche io continuo ad usare le mie notazioni, al quanto approssimative e informali.
"JoJo_90":
In termini di informazioni sulla descrizione del moto del corpo rigido, quali possono essere, se ci sono, le differenze tra l'espressione:
$u(x)= u(x_Omega)+W(x - x_Omega)$
e l'espressione "alternativa"
$u(x)= u(x_Omega)+omega ^^ (x - x_Omega)$
Come ti ho mostrato nel primo messaggio, sono assolutamente equivalenti:
$[dvecP=dvecO+dvec\phi^^(P-O)] iff [dvecP=dvecO+W*(P-O)]$
Giova comunque ribadire che stiamo parlando di spostamenti infinitesimi.
Ho capito. Grazie mille per la disponibilità nell'aiuto e la pazienza mostratami.
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