[Scienza delle Costruzioni] - Schemi notevoli di travi, CALCOLO
Buonasera a tutti! Seguendo gli esami orali, ho notato che il mio professore all'orale vuole sapere come calcolare gli "schemi noti di travi"; da subito negli esercizi gli assistenti ci hanno dato gli schemi risolti (quelli che si trovano in rete) ma nessuno ci ha mai spiegato come si trovano. La domanda risulterà stupida però preferisco chiarire adesso i miei dubbi.
Inoltre il professore lascia all'orale degli esercizi da svolgere tra cui una trave (non so dirvi precisamente di che complessità perchè non riusciamo mai a vedere il foglio) e chiede di trovare l'abbassamento massimo o cose del genere. Intende per caso l'applicazione della linea elastica?
Grazie anticipatamente
Inoltre il professore lascia all'orale degli esercizi da svolgere tra cui una trave (non so dirvi precisamente di che complessità perchè non riusciamo mai a vedere il foglio) e chiede di trovare l'abbassamento massimo o cose del genere. Intende per caso l'applicazione della linea elastica?
Grazie anticipatamente
Risposte
Non basta la spiegazione : la linea elastica tramite le funzioni generalizzate permette di studiare il problema senza dover dividere ogni tratto. Le equazioni vengono ridotte notevolmente rispetto al metodo classico?
Voleva sapere proprio l'integrazione di delta, U, ecc.?
Voleva sapere proprio l'integrazione di delta, U, ecc.?
Avete provato a chiedere all' assistente, a ricevimento, cosa vogliono sapere più nel dettaglio?
Non ho capito, quale altra informazione?
Non ho capito, quale altra informazione?
Scusate, ma siamo abbondantemente OT: ulteriori informazioni potete scambiarle tramite messaggi privati.
Tempo permettendo, ripesco i miei appunti e cerco di dare una spiegazione più dettagliata alla domanda di Biser. Fermo restando che se la domanda è: «Perché nel caso del carrello intermedio si usa la delta di Dirac» la risposta è quella che ho data prima; se la domanda è «Perché i carichi concentrati si trattano con la delta di Dirac» la risposta rigorosa non è alla nostra portata. Probabilmente è richiesto il procedimento che spiega il prof. a lezione e che cercherò di riassumere qui e che comunque dovreste avere nei vostri appunti se avete seguito le lezioni. La situazione del ragazzo citata da Biser non ci è nota nei dettagli, quindi non possiamo fare altro che ipotesi su «cosa» nello specifico è stato chiesto. Per togliersi ogni dubbio comunque, è consigliabile fare visita all'assistente.
Tempo permettendo, ripesco i miei appunti e cerco di dare una spiegazione più dettagliata alla domanda di Biser. Fermo restando che se la domanda è: «Perché nel caso del carrello intermedio si usa la delta di Dirac» la risposta è quella che ho data prima; se la domanda è «Perché i carichi concentrati si trattano con la delta di Dirac» la risposta rigorosa non è alla nostra portata. Probabilmente è richiesto il procedimento che spiega il prof. a lezione e che cercherò di riassumere qui e che comunque dovreste avere nei vostri appunti se avete seguito le lezioni. La situazione del ragazzo citata da Biser non ci è nota nei dettagli, quindi non possiamo fare altro che ipotesi su «cosa» nello specifico è stato chiesto. Per togliersi ogni dubbio comunque, è consigliabile fare visita all'assistente.
Ho capito il perchè della delta di Dirac nel carrello. Provo a dare una spiegazione sul perchè nei carichi distribuiti si usa la U:
Noi abbiamo bisogno di una funzione che vale 0 per zz0, quindi uso la U che è la funzione gradino che vale 0 o 1.
Per la cerniera interna, momento concentrato e bipendolo interno invece perchè si usano le derivate della delta di Dirac? Possiamo dare anche qui una spiegazione alla buona?
Per la cerniera direi che:
essendo che questo vincolo se è interno alla struttura provoca un salto nel diagramma della rotazione posso dire che ho la funzione gradino nella derivata prima dell'equazione della linea elastica, derivando fino alla derivata quarta otterrò la derivata seconda della D
Per il bipendolo interno:
Avrò un salto nell'abbassamento (o traslazione) quindi ho la U nella funzione finale, se derivo 4 volte arrivo alla derivata terza della Delta di Dyrac.
Per il momento concentrato:
Avrò un salto del momento e quindi la U nella derivata seconda, se derivo fino alla derivata quarta arrivo alla derivata prima della delta di Dyrac.
Questi ragionamenti funzionano oppure ho detto un mare di scemenze?
Noi abbiamo bisogno di una funzione che vale 0 per z
Per la cerniera interna, momento concentrato e bipendolo interno invece perchè si usano le derivate della delta di Dirac? Possiamo dare anche qui una spiegazione alla buona?
Per la cerniera direi che:
essendo che questo vincolo se è interno alla struttura provoca un salto nel diagramma della rotazione posso dire che ho la funzione gradino nella derivata prima dell'equazione della linea elastica, derivando fino alla derivata quarta otterrò la derivata seconda della D
Per il bipendolo interno:
Avrò un salto nell'abbassamento (o traslazione) quindi ho la U nella funzione finale, se derivo 4 volte arrivo alla derivata terza della Delta di Dyrac.
Per il momento concentrato:
Avrò un salto del momento e quindi la U nella derivata seconda, se derivo fino alla derivata quarta arrivo alla derivata prima della delta di Dyrac.
Questi ragionamenti funzionano oppure ho detto un mare di scemenze?
Non hai scritto scemenze 
.
Solo qualche precisazione. Sulla questione del momento concentrato si può arrivare con un ragionamento meno algebrico e più intuitivo (più tardi lo scrivo). Per la cerniera, ricorda che c'è un meno: \(-\Delta\varphi\,\mathcal{U}(z-z_0)\) che ti porti fino alla derivata quarta.
. Solo qualche precisazione. Sulla questione del momento concentrato si può arrivare con un ragionamento meno algebrico e più intuitivo (più tardi lo scrivo). Per la cerniera, ricorda che c'è un meno: \(-\Delta\varphi\,\mathcal{U}(z-z_0)\) che ti porti fino alla derivata quarta.
Perfetto!Aspetto con ansia quest'altra spiegazione Comunque sulla scia di questi ragionamenti (oltre la tua spiegazione) posso dire che nel caso del carrello e della forza concentrata uso la D nella derivata quarta perché ho un salto nel taglio e quindi la U nella derivata terza, giusto?
Comunque sulla scia di questi ragionamenti (oltre la tua spiegazione) posso dire che nel caso del carrello e della forza concentrata uso la D nella derivata quarta perché ho un salto nel taglio e quindi la U nella derivata terza, giusto?
"Biser":
Comunque sulla scia di questi ragionamenti (oltre la tua spiegazione) posso dire che nel caso del carrello e della forza concentrata uso la D nella derivata quarta perché ho un salto nel taglio e quindi la U nella derivata terza, giusto?
Credo proprio che lo puoi dire: si tratta di applicare lo stesso ragionamento speditivo fatto per i vincoli. Nei casi di forza e coppia, il prof. preferisce riportare il ragionamento qualitativo legato alla natura e alle proprietà della delta di Dirac, ma credo nulla vieti di procedere come scrivi.
"Biser":
Perfetto!Aspetto con ansia quest'altra spiegazione
Beh, sono solo gli appunti che a suo tempo presi a lezione. E ovviamente non garantisco nulla (come per il 99,99% delle cose che scrivo qui sul forum
)
"JoJo_90":
Beh, sono solo gli appunti che a suo tempo presi a lezione. E ovviamente non garantisco nulla (come per il 99,99% delle cose che scrivo qui sul forum
Non essere così pessimista, e comunque è sempre meglio avere più idee
Intanto grazie ad entrambi! Queste spiegazioni sono utili anche a me
"JoJo_90":
Sulla questione del momento concentrato si può arrivare con un ragionamento meno algebrico e più intuitivo (più tardi lo scrivo)
Eccoci qua. Ricordiamo intanto che l'equazione differenziale della linea elastica è:
\[
\frac{\mathrm{d}^4 u_y(z)}{\mathrm{d}z^4} = \frac{q(z)}{\mathrm{EI}}.
\]
Consideriamo la seguente struttura con una coppia concentrata in mezzeria:
La singolarità causata da questa condizione di carico è nella funzione momento \(M(z)\) (presenta un salto in \(z=z_0=L/2\)). La funzione carico \(q(z)\) può essere descritta tramite la derivata prima (generalizzata) della delta di Dirac, che consente di assimilare il carico concentrato \(M\), ad una distribuzione uniforme di coppie momento[nota]La peculiarità della delta di Dirac applicata al carico concentrato è tale da «trasformare» lo stesso in un carico distribuito, che in quanto tale non genera discontinuità.[/nota], in particolare può scriversi:
\[
q(z) = M \,\delta'(z-z_0).
\]
Vediamo perché.
Osserviamo per prima cosa, che una coppia concentrata è equivalente (stesso risultante e stesso momento risultante) a due forze $F$ poste ad una certa distanza $a$, tale che il prodotto $F\cdot a$ a sia proprio uguale al momento $M$.
Le forze concentrate possono esprimersi tramite la delta di Dirac. Sebbene queste due forze siano staticamente equivalenti al momento concentrato, non producono sulla trave gli stessi effetti del momento. Nel primo caso si verifica infatti che in mezzeria si avrà un salto del diagramma dei momenti che invece non si ha nel caso delle due forze concentrate. Allo stesso modo, nel caso delle forze si avranno due salti nel diagramma del taglio che non ci sono nello schema dato. È evidente allora che le due forze concentrate non possono considerarsi sostitutive del momento, e quindi, per descrivere la condizione di carico data tramite funzioni generalizzate, non è sufficiente aver espresso le forze concentrate con la funzione \(\delta\), ma bisogna fare un passo ulteriore.
Consideriamo che l’effetto prodotto dal momento, è tanto più prossimo a quello prodotto dalle due forze quanto minore è il braccio \(a\). I due effetti saranno coincidenti per \(a\to 0\); ma se il braccio tende a zero, dovendo rimanere costante e pari a \(M\) il prodotto \(F\cdot a\), dovrà necessariamente tendere ad infinito l’intensità di ciascuna forza. In tale condizione limite, i due sistemi di carico sono equivalenti del tutto.
Dovendo far tendere ad infinito la forza \(F\), che è già espressa con la delta di Dirac («contiene» già un infinito), implica che bisogna considerare un infinito di ordine \(2\). In altre parole, sta tendendo ad infinito una quantità che è già infinita.
La funzione che esprime ciò e che consente di assimilare ad un carico distribuito la coppia concentrata, è la derivata prima generalizzata della delta di Dirac, \(\delta'(z-z_0)\) e quindi il carico si scriverà:
\[
q(z) = M \,\delta'(z-z_0).
\]
Grazie veramente... Io non si sarei mai arrivato a questa dimostrazione con le due forze.
Ora direi veramente che sulla linea elastica con le funzioni generalizzate abbiamo una panoramica abbastanza ampia.
Mi verrebbe però un ultimo dubbio. Se considero un carrello o un pendolo (verticale) intermedio uso la D nella derivata quarta perchè ho un salto nel taglio, ma se il pendolo fosse interno alla struttura e fosse orizzontale posso dire sempre la stessa cosa?
Ora direi veramente che sulla linea elastica con le funzioni generalizzate abbiamo una panoramica abbastanza ampia.
Mi verrebbe però un ultimo dubbio. Se considero un carrello o un pendolo (verticale) intermedio uso la D nella derivata quarta perchè ho un salto nel taglio, ma se il pendolo fosse interno alla struttura e fosse orizzontale posso dire sempre la stessa cosa?
Pensaci...devi ragionare in modo del tutto analogo a quanto hai fatto per gli altri vincoli interni (cerniera interna e bipendolo interno). Fai 2+2 e hai la risposta
Per quanto riguarda il quadripendolo (anche se non lo abbiamo detto penso si tratti come un momento concentrato e quindi si usa la derivata prima della D) e quindi non credo ci siano problematiche riguardo all'orientamento del vincolo perchè sempre un momento è.
Sulla cerniera ci sono pochi dubbi direi
Veniamo al nodo che riguarda i bipendoli e i pendoli
Il pendolo interno messo in orizzontale potrebbe creare un salto nella traslazione e quindi nella derivata quarta si usa la D"'
Il bipendolo verticale crea un salto nel taglio e quindi nella derivata quarta si usa la D
Sulla cerniera ci sono pochi dubbi direi
Veniamo al nodo che riguarda i bipendoli e i pendoli
Il pendolo interno messo in orizzontale potrebbe creare un salto nella traslazione e quindi nella derivata quarta si usa la D"'
Il bipendolo verticale crea un salto nel taglio e quindi nella derivata quarta si usa la D
Più semplice di quanto credi.
Il pendolo (orizzontale) interno permette sia le rotazioni relative, sia le traslazioni verticali, quindi è in queste due funzioni che si ha un salto. Ma allora, questo vincolo non è altro che la «combinazione» dei precedenti; nella derivata quarta compaiono, sommati, il termine relativo alla cerniera (\(-\Delta\varphi\delta''(z-z_0)\)) e quello relativo al bipendolo orizzontale \(\Delta u_{y}\delta'''(z-z_0)\).
Il bipendolo verticale non interessa ai fini della linea elastica flessionale.
"Biser":
Per la cerniera direi che:
essendo che questo vincolo se è interno alla struttura provoca un salto nel diagramma della rotazione posso dire che ho la funzione gradino nella derivata prima dell'equazione della linea elastica, derivando fino alla derivata quarta otterrò la derivata seconda della D
Per il bipendolo interno:
Avrò un salto nell'abbassamento (o traslazione) quindi ho la U nella funzione finale, se derivo 4 volte arrivo alla derivata terza della Delta di Dyrac.
Il pendolo (orizzontale) interno permette sia le rotazioni relative, sia le traslazioni verticali, quindi è in queste due funzioni che si ha un salto. Ma allora, questo vincolo non è altro che la «combinazione» dei precedenti; nella derivata quarta compaiono, sommati, il termine relativo alla cerniera (\(-\Delta\varphi\delta''(z-z_0)\)) e quello relativo al bipendolo orizzontale \(\Delta u_{y}\delta'''(z-z_0)\).
Il bipendolo verticale non interessa ai fini della linea elastica flessionale.
Ah orrore, non me ne ero accorto:
Sicuro?
"Biser":
Il bipendolo verticale crea un salto nel taglio e quindi nella derivata quarta si usa la D
Sicuro?
Quindi per il pendolo orizzontale nella derivata quarta devo mettere
−Δφδ′′(z−z0))+Δuyδ′′′(z−z0)
Giusto?
Per il bipendolo verticale non sono sicuro per niente e onestamente non ci arrivo
−Δφδ′′(z−z0))+Δuyδ′′′(z−z0)
Giusto?
Per il bipendolo verticale non sono sicuro per niente e onestamente non ci arrivo
Si.
Pensa alle reazioni vincolari: reagisce con due forze verticali, uguali e opposte e due momenti uguali e opposti. Se immagini di calcolare il taglio quando sei in una sezione posta prima del bipendolo, supponendo che la reazione sia verso l'alto, vedi un taglio positivo (per la convenzione del concio). Se fai la stessa cosa a destra del bipendolo, vedi un taglio verso il basso, quindi ancora positivo (sempre per la convenzione del concio). E quindi taglio (e momento) non subiscono variazioni di valore nè segno, nel passare attraverso il bipendolo. Se ti fai uno schemino te ne accorgi subito.
In generale, stante le funzioni associate al problema flessionale dell'equilibrio elastico per la trave piana, cioè: $u_y(z)$, $\varphi(z)$, $M(z)$, $T(z)$, ogni vincolo interno introduce discontinuità in una o più di queste quattro funzioni. Per esercizio, potresti farti una tabellina in cui, vincolo per vincolo, osservi in quale funzione si presenta la discontinuità.
Ad esempio, il bipendolo verticale: impedisce abbassamenti relativi, quindi a sinistra devi leggere lo stesso valore di abbassamento che leggi a destra. Nella $u_y(z)$ non introduce discontiuità. Non permette nemmeno rotazioni relative, quindi non introduce discontinuità nella funzione $\varphi(z)$. Il taglio a sinistra è uguale al taglio a destra e lo stesso dicasi per il momento. In conclusione, il bipendolo verticale non introduce discontinuità in nessuna delle quattro funzioni coinvolte nel problema flessionale, dunque è un tipo di vincolo che non tratti nel problema flessionale, ma in quello assiale. Infatti il bipendolo verticale interno introduce una discontinuità nella funzione $u_z(z)$ (= linea elastica assiale).
Lo stesso discorso si può estendere agli altri vincoli.
Non so se è chiaro.
"Biser":
Per il bipendolo verticale non sono sicuro per niente e onestamente non ci arrivo
Pensa alle reazioni vincolari: reagisce con due forze verticali, uguali e opposte e due momenti uguali e opposti. Se immagini di calcolare il taglio quando sei in una sezione posta prima del bipendolo, supponendo che la reazione sia verso l'alto, vedi un taglio positivo (per la convenzione del concio). Se fai la stessa cosa a destra del bipendolo, vedi un taglio verso il basso, quindi ancora positivo (sempre per la convenzione del concio). E quindi taglio (e momento) non subiscono variazioni di valore nè segno, nel passare attraverso il bipendolo. Se ti fai uno schemino te ne accorgi subito.
In generale, stante le funzioni associate al problema flessionale dell'equilibrio elastico per la trave piana, cioè: $u_y(z)$, $\varphi(z)$, $M(z)$, $T(z)$, ogni vincolo interno introduce discontinuità in una o più di queste quattro funzioni. Per esercizio, potresti farti una tabellina in cui, vincolo per vincolo, osservi in quale funzione si presenta la discontinuità.
Ad esempio, il bipendolo verticale: impedisce abbassamenti relativi, quindi a sinistra devi leggere lo stesso valore di abbassamento che leggi a destra. Nella $u_y(z)$ non introduce discontiuità. Non permette nemmeno rotazioni relative, quindi non introduce discontinuità nella funzione $\varphi(z)$. Il taglio a sinistra è uguale al taglio a destra e lo stesso dicasi per il momento. In conclusione, il bipendolo verticale non introduce discontinuità in nessuna delle quattro funzioni coinvolte nel problema flessionale, dunque è un tipo di vincolo che non tratti nel problema flessionale, ma in quello assiale. Infatti il bipendolo verticale interno introduce una discontinuità nella funzione $u_z(z)$ (= linea elastica assiale).
Lo stesso discorso si può estendere agli altri vincoli.
Non so se è chiaro.
Grazie! Diciamo che il bipendolo sia orizzontale che verticale mi ha dato troppi pensieri però adesso ci sono!
Di nulla!
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