[Scienza delle Costruzioni] Momento di una figura composta
Devo andare a calcolare l'equazione dell'asse neutro di questa figura, e so come fare.
L'unico problema che mi sorge nello svolgimento è il calcolo del momento di inerzia Jx, Jy.
I dubbi li ho sui rettangoli inclinati perchè non so bene come procedere... ho pensato in questo modo
Pensavo di fissare un sistema di riferimento x'y' per ogni rettangolo (ma già qui ho un dubbio, metto la x sul lato lungo o corto del rettangolo? Perchè insomma, poi il momento di inerzia cambierà), calcolare Jx' J'y . Poi penso di poter procedere in due modi
-usare il momento del trasporto
-usare la formula per rotazione, dato che so di quando sono inclinati i vari rettangoli rispetto agli assi xy
Però mi perdo un po' nei calcoli e quindi ho l'impressione di aver sbagliato procedimento
L'unico problema che mi sorge nello svolgimento è il calcolo del momento di inerzia Jx, Jy.
I dubbi li ho sui rettangoli inclinati perchè non so bene come procedere... ho pensato in questo modo
Pensavo di fissare un sistema di riferimento x'y' per ogni rettangolo (ma già qui ho un dubbio, metto la x sul lato lungo o corto del rettangolo? Perchè insomma, poi il momento di inerzia cambierà), calcolare Jx' J'y . Poi penso di poter procedere in due modi
-usare il momento del trasporto
-usare la formula per rotazione, dato che so di quando sono inclinati i vari rettangoli rispetto agli assi xy
Però mi perdo un po' nei calcoli e quindi ho l'impressione di aver sbagliato procedimento
Risposte
a mio avviso le ipotesi che fai sono corrette, ma vanno usate entrambe. La prima per determinare il momenti d'inerzia dei singoli rettangoli ruotati, la seconda per definire il momento principale d'inerzia dell'intera figura.
Rifatti alle praticissime formule di mohr per il cambiamento di coordinate.
Rifatti alle praticissime formule di mohr per il cambiamento di coordinate.
Ehm ,quale intendi di preciso per formule di Mohr ?
Aaaah sisi! Io infatti volevo usare queste, dopo aver calcolato Jx e Jy totali
Solo cheil mio dubbio rimane. Metto un disegno per chiarezza...
Se uso i sistemi di riferimento della prima figura, verranno ad esempio ...
Rettangolo piccolo: $ Jy' = (sl^3)/96 $ $ Jx' = (s^3 l)/24 $
Mentre se uso il secondo sistema di riferimento $ Jx' = (sl^3)/96 $ ... insomma verranno invertiti.
E questo non comporterebbe un diverso risultato di Jx e Jy alla fine ?
"ELWOOD":
$J_{\xi}=\sum_i m_i*y_i^2=J_x\cos^2\alpha+J_y\sin^2\alpha-2J_{xy}\sin\alpha\cos\alpha$
$J_{\eta}=J_x\sin^2\alpha+J_y\cos^2\alpha+2J_{xy}\sin\alpha\cos\alpha$
$J_{\xi\eta}=J_x\cos\alpha\sin\alpha-J_y\cos\alpha\sin\alpha+J_{xy}(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)$
Solo cheil mio dubbio rimane. Metto un disegno per chiarezza...
Se uso i sistemi di riferimento della prima figura, verranno ad esempio ...
Rettangolo piccolo: $ Jy' = (sl^3)/96 $ $ Jx' = (s^3 l)/24 $
Mentre se uso il secondo sistema di riferimento $ Jx' = (sl^3)/96 $ ... insomma verranno invertiti.
E questo non comporterebbe un diverso risultato di Jx e Jy alla fine ?
Scusa ma da dove ti vengono quei numeri?
Innanzitutto riferiamoci a delle misure (che non conosco ma suppongo)....mi sembra che la figura possa essere schematizzata come segue:
Visto che si tratta di un triangolo rettangolo, i momenti d'inerzia della parte perimetrale potresti determinarla più furbescamente dalla semplice sottrazione dei momenti d'inerzia notevoli dei triangoli:
$
J_x|_{viola}=\frac{\sqrt{3}l^4}{32}
$
$
J_y|_{viola}=\frac{\sqrt{3}l^4}{96}
$
Cambiando poi il lato con $l=l-2s$ trovi poi i momenti della parte verde che sosttrai.
Per quanto riguarda le alette (ne vediamo per una quella in basso a sx) ti puoi riferire al sistema di figura:
in cui il momento d'inerzia rispetto all'asse $x$ è:
$
J_x*=\frac{J_x+J_y}{2}+\frac{J_x-J_y}{2}\cos(2\beta)-J_{xy}\sin(2\beta)=(13)/(24)s^4
$
e poi applichi Huygens-Steiner:
$
J_x=J_x*+A\cdotd_y^2
$
(lascio a te il calcolo di $d_y$)
ma se si tratta di sezioni sottili, i termini cubici e quartici in $s$ spariscono, lasciandoti solo il trasporto.
Innanzitutto riferiamoci a delle misure (che non conosco ma suppongo)....mi sembra che la figura possa essere schematizzata come segue:
Visto che si tratta di un triangolo rettangolo, i momenti d'inerzia della parte perimetrale potresti determinarla più furbescamente dalla semplice sottrazione dei momenti d'inerzia notevoli dei triangoli:
$
J_x|_{viola}=\frac{\sqrt{3}l^4}{32}
$
$
J_y|_{viola}=\frac{\sqrt{3}l^4}{96}
$
Cambiando poi il lato con $l=l-2s$ trovi poi i momenti della parte verde che sosttrai.
Per quanto riguarda le alette (ne vediamo per una quella in basso a sx) ti puoi riferire al sistema di figura:
in cui il momento d'inerzia rispetto all'asse $x$ è:
$
J_x*=\frac{J_x+J_y}{2}+\frac{J_x-J_y}{2}\cos(2\beta)-J_{xy}\sin(2\beta)=(13)/(24)s^4
$
e poi applichi Huygens-Steiner:
$
J_x=J_x*+A\cdotd_y^2
$
(lascio a te il calcolo di $d_y$)
ma se si tratta di sezioni sottili, i termini cubici e quartici in $s$ spariscono, lasciandoti solo il trasporto.
Si scusa mi sono dimenticata i scrivere le misure. L'ho disegnato parecchio male ma i rettangolini lateral hanno spessore s e lunghezza l/2. Tutte misure riferite alla linea media.
Quelle misure che ho scritto erano i momenti di inerzia SOLO dell'aletta di sinistra, rispetto al suo sistema di riferimento x'y'
Quindi....vediamo se ho capito (spero di riuscire a spiegarmi)... quel dubbio che avevo posto io (su come orientare le tue x*y*) non è influente perchè poi quando vado a calcolare iil momento di inerzia ruotato dell'aletta, i conti mi si aggiustano a seconda dell'angolo che considero, giusto?
Non ho ben capito come hai fatto a fare i momenti di inerzia relativi al triangolo, ci penso un po' ... al limite li posso calcolare con lo stesso metodo usato per le alette, no?
Quelle misure che ho scritto erano i momenti di inerzia SOLO dell'aletta di sinistra, rispetto al suo sistema di riferimento x'y'
Quindi....vediamo se ho capito (spero di riuscire a spiegarmi)... quel dubbio che avevo posto io (su come orientare le tue x*y*) non è influente perchè poi quando vado a calcolare iil momento di inerzia ruotato dell'aletta, i conti mi si aggiustano a seconda dell'angolo che considero, giusto?
Non ho ben capito come hai fatto a fare i momenti di inerzia relativi al triangolo, ci penso un po' ... al limite li posso calcolare con lo stesso metodo usato per le alette, no?
"Yumina92":
quel dubbio che avevo posto io (su come orientare le tue x*y*) non è influente perchè poi quando vado a calcolare iil momento di inerzia ruotato dell'aletta, i conti mi si aggiustano a seconda dell'angolo che considero, giusto?
si ok...ma perchè non dovrebbero aggiustarti?
"Yumina92":
Non ho ben capito come hai fatto a fare i momenti di inerzia relativi al triangolo, ci penso un po' ... al limite li posso calcolare con lo stesso metodo usato per le alette, no?
Ho semplicemente usato le formule notevoli per un triangolo isoscele per cui:
$J_{xG}=\frac{bh^3}{36}$ e $J_{yG}=\frac{b^3h}{48}$
sostituendo al posto di $b$ e $h$ le relazioni per il triangolo equilatero (anzi dagli un occhio che potrei aver fatto qualche errore di calcolo).
Comunque la struttura è simmetrica e per semplificarti ulteriormente la vita potresti studiarne solo metà
Ho provato a rifarlo, grazie mille per l'aiuto 
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