[Scienza delle Costruzioni] Momento di inerzia per una trave di sezione rettangolare
Ciao a tutti ragazzi.
Su un manuale di esercizi ho trovato scritto che una trave di sezione rettangolare, il cui asse longitudinale corrisponde con l'asse x, ha i seguenti momenti di inerzia:
\(\displaystyle I_{xz} = \frac{b \cdot h^3}{12}\)
\(\displaystyle I_{xy} = \frac{h \cdot b^3}{12}\)
da cui si ricava il momento polare:
\(\displaystyle I_P = I_{xz} + I_{xy} \)
(\(\displaystyle b \)=base della sezione rettangolare lungo \(\displaystyle z \); \(\displaystyle h \) = altezza della sezione rettangolare lungo \(\displaystyle y \))
Vi chiedo se quanto scritto è corretto?
Di preciso cosa indicano \(\displaystyle I_{xz} \) e \(\displaystyle I_{xy} \)? Io temo sia più corretto definirli momenti centrifughi anziché di inerzia, ma forse coincidono, oppure no?...Avendo trattato scienza delle costruzioni tantissimi anni fa, ho perso manualità con questi concetti.
Vi sarei grato se poteste aiutarmi!
Su un manuale di esercizi ho trovato scritto che una trave di sezione rettangolare, il cui asse longitudinale corrisponde con l'asse x, ha i seguenti momenti di inerzia:
\(\displaystyle I_{xz} = \frac{b \cdot h^3}{12}\)
\(\displaystyle I_{xy} = \frac{h \cdot b^3}{12}\)
da cui si ricava il momento polare:
\(\displaystyle I_P = I_{xz} + I_{xy} \)
(\(\displaystyle b \)=base della sezione rettangolare lungo \(\displaystyle z \); \(\displaystyle h \) = altezza della sezione rettangolare lungo \(\displaystyle y \))
Vi chiedo se quanto scritto è corretto?
Di preciso cosa indicano \(\displaystyle I_{xz} \) e \(\displaystyle I_{xy} \)? Io temo sia più corretto definirli momenti centrifughi anziché di inerzia, ma forse coincidono, oppure no?...Avendo trattato scienza delle costruzioni tantissimi anni fa, ho perso manualità con questi concetti.
Vi sarei grato se poteste aiutarmi!
Risposte
Calma, calma.
Hai detto che l'asse longitudinale della trave è indicato con $x$ . D'accordo.
Una qualunque sezione trasversale della trave è rettangolare (e suppongo che le sezioni siano tutte uguali).
Nel piano di questo rettangolo, l'origine $O$ è il punto in cui l'asse $x$ attraversa la sezione. Questo punto è il baricentro della sezione, ovvero il "centro geometrico" , che si può trovare ad esempio tracciando le due diagonali del rettangolo.
Con origine in $O$, si tracciano due assi nel piano del rettangolo : l'asse $z$ è per ipotesi parallelo al lato $b$ del rettangolo, l'asse $y$ è parallelo al lato $h$ del rettangolo.
Si dimostra che il momento di inerzia del rettangolo rispetto all'asse $z$ è dato da :
$I_z = (bh^3)/(12)$
e il momento di inerzia del rettangolo rispetto all'asse $y$ è dato da :
$I_y = (hb^3)/(12) $
I momenti centrifughi sono un'altra cosa . I momenti di inerzia scritti sopra sono detti anche "momenti centrali di inerzia , perché i due assi sono baricentrici, e sono "principali di inerzia" per il rettangolo in oggetto. Si tratta ovviamente di momenti di inerzia di "area" , espressi dimensionalmente in $[L^4]$ .
Il momento di inerzia della figura piana rettangolare rispetto all'asse $x$, cioè quello perpendicolare alla figura stessa, è il momento di inerzia polare del rettangolo rispetto all'origine $O$ che coincide col baricentro. Esso è dato dalla somma :
$I_O = I_x = I_y + I_z $
Non è corretto indicare un momento d' inerzia con due pedici diversi, come fa il tuo manuale (ma sei sicuro di aver letto bene?? Mi sembra molto strano!) , e cioè ad esempio con $I_(xz) $
I due pedici si usano per i momenti centrifughi, che sono un'altra cosa . Nel caso in esame, rispetto alla terna di assi detta, che è principale di inerzia per il punto $O$ , i momenti centrifughi sono nulli.
Hai detto che l'asse longitudinale della trave è indicato con $x$ . D'accordo.
Una qualunque sezione trasversale della trave è rettangolare (e suppongo che le sezioni siano tutte uguali).
Nel piano di questo rettangolo, l'origine $O$ è il punto in cui l'asse $x$ attraversa la sezione. Questo punto è il baricentro della sezione, ovvero il "centro geometrico" , che si può trovare ad esempio tracciando le due diagonali del rettangolo.
Con origine in $O$, si tracciano due assi nel piano del rettangolo : l'asse $z$ è per ipotesi parallelo al lato $b$ del rettangolo, l'asse $y$ è parallelo al lato $h$ del rettangolo.
Si dimostra che il momento di inerzia del rettangolo rispetto all'asse $z$ è dato da :
$I_z = (bh^3)/(12)$
e il momento di inerzia del rettangolo rispetto all'asse $y$ è dato da :
$I_y = (hb^3)/(12) $
I momenti centrifughi sono un'altra cosa . I momenti di inerzia scritti sopra sono detti anche "momenti centrali di inerzia , perché i due assi sono baricentrici, e sono "principali di inerzia" per il rettangolo in oggetto. Si tratta ovviamente di momenti di inerzia di "area" , espressi dimensionalmente in $[L^4]$ .
Il momento di inerzia della figura piana rettangolare rispetto all'asse $x$, cioè quello perpendicolare alla figura stessa, è il momento di inerzia polare del rettangolo rispetto all'origine $O$ che coincide col baricentro. Esso è dato dalla somma :
$I_O = I_x = I_y + I_z $
Non è corretto indicare un momento d' inerzia con due pedici diversi, come fa il tuo manuale (ma sei sicuro di aver letto bene?? Mi sembra molto strano!) , e cioè ad esempio con $I_(xz) $
I due pedici si usano per i momenti centrifughi, che sono un'altra cosa . Nel caso in esame, rispetto alla terna di assi detta, che è principale di inerzia per il punto $O$ , i momenti centrifughi sono nulli.
Grazie mille navigatore. Risposta esaustiva, chiara e molto precisa.
Il mio manuale usa proprio i due pedici, ma non da un "nome". Nel senso che nel corso dello svolgimento (per una risoluzione agli elementi finiti) introduce queste grandezze, senza mai "nominarle". Io ho subito pensato si trattasse di momenti di inerzia, ma l'uso dei due pedici mi ha portato fuori strada.
Che forse voglia indicare il momento di inerzia rispetto al piano \(\displaystyle xz \)? Io ho pensato che quest'ultimo potesse coincidere con il momento di inerzia rispetto a \(\displaystyle z \)?
E' scorretto?
Il mio manuale usa proprio i due pedici, ma non da un "nome". Nel senso che nel corso dello svolgimento (per una risoluzione agli elementi finiti) introduce queste grandezze, senza mai "nominarle". Io ho subito pensato si trattasse di momenti di inerzia, ma l'uso dei due pedici mi ha portato fuori strada.
Che forse voglia indicare il momento di inerzia rispetto al piano \(\displaystyle xz \)? Io ho pensato che quest'ultimo potesse coincidere con il momento di inerzia rispetto a \(\displaystyle z \)?
E' scorretto?
"Mathcrazy":
Grazie mille navigatore. Risposta esaustiva, chiara e molto precisa.
Il mio manuale usa proprio i due pedici, ma non da un "nome". Nel senso che nel corso dello svolgimento (per una risoluzione agli elementi finiti) introduce queste grandezze, senza mai "nominarle". Io ho subito pensato si trattasse di momenti di inerzia, ma l'uso dei due pedici mi ha portato fuori strada.
Lo credo, che ti abbia portato fuori strada! Non è usuale, anzi è proprio fuorviante, come dimostrato dal tuo dubbio, indicare un momento di inerzia con due pedici. Semmai puoi trovare scritto qualche volta $I_("xx") , I_(yy) , I_(zz) $ , come elementi della diagonale principale della matrice di inerzia , e la scrittura serve solo a mantenere una certa simmetria con i momenti centrifughi $ I_(xy) …..$ ecc. ecc. Ma è solo una simmetria "di scrittura" .
Che forse voglia indicare il momento di inerzia rispetto al piano \(\displaystyle xz \)? Io ho pensato che quest'ultimo potesse coincidere con il momento di inerzia rispetto a \(\displaystyle z \)?
E' scorretto?
Non va bene; dato un corpo rigido e dato un punto $P$ , messo anche sulla Luna, si definiscono i momenti di inerzia del corpo rispetto ad "assi" passanti per $P$ , non a "piani " . Poi si definiscono i momenti di inerzia "polari" rispetto a un polo, se occorre.
Non ho mai sentito parlare di momenti di inerzia "rispetto a piani" .
Ciao.
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