[Scienza delle Costruzioni, formula dei piccoli spostamenti di un corpo rigido]

[daniele.candelaresi96]

Salve a tutti !
Ho appena intrapreso il corso di Scienza delle Costruzioni . Vorrei capire come ricondurre la formula dei piccoli spostamenti di un corpo rigido ( detta anche equazione di Eulero per il corpo rigido) :
$ vec{S}(P) = vec(S)(O)+ vec(θ) \times ( P-O) $
$vec(θ)$ vettore rotazione rispetto al sistema solidale al corpo rigido e fissato in O
$ vec{S} $ vettore piccolo spostamento
con il campo di velocità dei punti del corpo rigido :
$ vec{v}(P) = vec(v)(O)+ vec(ω) \times ( P-O) $
$vec(ω)$ velocitá angolare con cui ruota il sistema solidale ( vettore di Poisson)

Ho provato a chiederlo al professore ma lui mi ha liquidato dicendomi " accelerazione di Coriolis" e francamente non ho capito come viene fuori .
Pensavo di fare la derivata del campo piccoli spostamenti $vec(S)$ ma non mi aspetto che venga uguale all'altra espressione. Infatti si osserva subito che derivando il prodotto vettoriale rispetto al tempo $vec(θ) \times ( P-O) $ :
$ d(vec(θ) \times ( P-O))/dt = vec(ω) \ times (P-O) + vec(θ) times ( vec(v)(P)+ vec(v)(O)) $
Inoltre la velocità è la derivata del vettore posizione e non dello spostamento quindi non poteva essere .
Sapete aiutarmi ?
Ringrazio.

[Shackle]

Mi sembra che la cosa sia semplice :

dato il campo di velocita del corpo rigido :

$ vec{v}(P) = vec(v)(O)+ vec(ω) \times ( P-O) $

per ottenere lo spostamento , basta "integrare" rispetto al tempo , essendo $vdt = ds$ , e anche $\omegadt = d\theta$ .

Per dirla in maniera poco matematica , " moltiplica" tutto per $dt$ .

Coriolis ? Non c'entra proprio nulla, IMHO !

[daniele.candelaresi96]

Ciao Schackle e grazie per l'intervento !
Tuttavia secondo me è piú facile ragionare per derivazione che per integrazione . Affinchè poi tutto combaci dovrebbe scomparire il termine
$ vec(θ) \times ( vec(v)(P) - vec(v)(O))$
ma non so proprio il motivo ...

[Shackle]

SE derivi una velocità rispetto al tempo, ottieni una accelerazione , non certo uno spostamento.
Mi rifaccio a quello che ti ho detto, per farti notare che , se assumi un tempo unitario, velocità e spostamento sono rappresentati dallo stesso vettore, ma con unità di misura diverse.

[donald_zeka]

Le rotazioni finite, al contrario delle traslazioni, non possono essere rappresentate da un vettore, nel caso delle rotazioni infinitesime invece questi si può fare, infatti si può dimostrare che una matrice di rotazione infinitesima $E$ è antisimmetrica, e le matrici antisimmetriche 3x3 hanno una particolare proprietà:
Esiste un $dvecOmega$ tale che per ogni $vecx$ risulti $Evecx=dvecOmega wedge vecx = dvecx$

La relazione $dvecx=dvecOmega wedge vecx$ è proprio la formula che cerchi